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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级下册期末试卷
1．松山区种子培育基地用A，B，C三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，C型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图：
（1）求C型号种子的发芽数；
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广？
（3）如果将所有已发芽的种子放在一起，从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率．
2．为讴歌抗击新冠肺炎的白衣天使，某校举行了新时代最可爱的人征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记a分 ，组委会统计了他们的比赛成绩，并根据成绩绘制了如下的不完整的统计图表
请根据所给信息回答下列问题
成绩 频数 频率
24 0.3
m 0.4
16 n
8 0.1
（1）参加征文比赛的共有多少人？
（2）在频数分布表中，m= ；n= .
（3）补全图中的频数分别直方图.
3．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高，求足球的单价为多少元？
4．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型 人数
A 20
B a
C 52
D 80
E b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
5．如图1，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点F．
（1）求证： ；
（2）如图2，延长 和 相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形 和四边形 外）
6．夏季是吃水果的季节，某水果超市用4000元购进某种新品种水蜜桃，面市后供不应求，该超市又用10000元购进第二批这种水蜜桃，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．
（1）第一批水蜜桃进货单价为多少元？
（2）超市销售水蜜桃的单价均为15元，两批水蜜桃全部售完后可获利多少元？
7．如图，四边形 是矩形，E、F分别是线段 、 上的点，点O是 与 的交点．若将 沿直线 折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的值．
8．
（1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 .
（2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由.
（3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）.
9．某校为积极响应垃圾分类的号召，从商场购进了、两种品牌的垃圾桶用于回收不同种类垃圾．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用4800元购买品牌垃圾桶的数量是用3600元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元
（2）该学校准备再次用不超过5600元购进、两种品牌垃圾桶共50个，恰逢商场对两种品牌垃圾桶的售价进行了调整：品牌按第一次购买时售价的八折出售，品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF。
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE=3，CD=4，∠EDC=90°，当四边形DEBF是菱形时，AE的长为多少？
12．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
13．如图，在平行四边形ABCD中，，过点D作交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）若，且，求四边形ADEC的周长．
14．某单位工会组织内部抽奖活动， 共准备了100张奖券， 设特等奖1个， 一等奖10个， 二等奖20个， 三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同． 求：
（1）一张奖券中特等奖的概率；
（2）一张奖券中奖的概率；
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
15．某中学在商店购进甲、乙两种品牌的书包，已知购买一个乙品牌书包比购买一个甲品牌书包多花30元，且用300元购买甲品牌书包的数量比用320元购买乙品牌书包的数量多2个．
（1）求购买一个甲品牌、一个乙品牌的书包各需多少元？
（2）该学校决定用不超过2900元购买甲品牌、乙品牌的书包共40个，至少购买甲品牌书包多少个？
16．新冠疫情发生后，全社会积极参与防疫工作某市安排甲、乙两个大型工厂生产一批口罩，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）为尽快完成100万只口罩的生产任务，甲乙合作生产，5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天才能完成任务？
17．如图，将 ABCD的AD边延长至点E，使DE= AD连结CE，F是BC边的中点，连结FD
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DEAC，CEBD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．
19．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3900元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.59 0.604 0.601 0.599 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ．
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
21．给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假．
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例．
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°.将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到△ADE，BD，CE交于点F.
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）求∠CFB的度数.
23．某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数，其图象如图所示(千帕是一种压强单位)
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕；
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米。
24．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
（2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
25．如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使 ，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若 ， ，求OE的长．
26．
（1）计算：
（2）解方程：
（3）先化简 ，然后 在-1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
27．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△A1B2C，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1，B1的坐标．
28．某校在开展读书交流活动中，全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，对部分书据进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图回答下面问题：
（1）本次抽样调查的书有 本；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）本次活动师生共捐书1600本，请估计科普类书籍的本数．
29．某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
30．小明就班级内所有同学的到校方式进行了一次调查，图（1）和图（2）是根据整理后的数据绘制的两幅不完整统计图．
（1）该班共有多少名学生？
（2）该班有多少名学生乘车到校？
（3）在图（1）中，将表示“乘车”的部分补充完整．
31．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；
（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
32．新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行．新修订的分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
频数 3 9 m 12 8
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图
c．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为
80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查样本容量为 ，表中m的值为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩80分为良好，那么估计小明所在的社区良好的人数约为 人；
（4）若达到测试成绩前十五名的可以颁发“垃圾分类知识小达人”奖章，已知居民A的得分为88分，请问居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
33．
（1）化简：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
34．5月11日，深圳市财政局披露数据显示，今年4月深圳市一般公共预算收入下滑约44%．为了扩大内需、促进消费、带动生产，深圳市商务局决定实施消费电子和家用电器购置补贴．星光商店计划购进A、B两种电器进行销售，已知每台B种电器的进价比每台A种电器的进价高1000元，该商店分别用10000元和40000元采购A、B两种电器，且采购的B种电器的数量是A种电器的两倍．
（1）求每台A、B种电器的进价分别为多少元？
（2）商店将A、B两种电器的售价分别定为1500元/台和3000元/台．在销售过程中，B种电器非常畅销，很快就销售一空．但A种电器的销售情况却不理想，在卖出a台后，商店决定进行促销活动，将剩余的A种电器按售价的8折出售，要使该商场卖完两种电器后获得的总利润不低于23200元，求a的最小值．
35．某小区要修建观赏区，计划在长为（4a-b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地面进行绿化改造，若在其中间修建一占地为边长（a+b）米的正方形的花坛，其余地面铺设草坪（阴影部分）.
（1）用含有a、b的式子表示草坪的总面积.（结果化为最简）
（2）若a＝5，b＝1，求出此时草坪的面积.
36．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克．
（1）求牛奶草莓每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值．
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与函数y （m＞0，x＞0）的图象交于A（3，a）、B（14﹣2a，2）两点．
（1）求a、m的值．
（2）求一次函数y＝kx+b所对应的函数表达式．
38．如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足.
（1）求证：△ABE≌△CDF.
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
39．某校课程中心为了了解学生对开设的3D打印、木工制作、机器人和电脑编程四门课程的喜爱程度，随机调查了部分学生，每人只能选一项最喜爱的课程.图①是四门课程最喜爱人数的扇形统计图，图②是四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图，
四门课程最喜爱人数的扇形统计图 四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图
（1）求图①中m的值，补全图②中的条形统计图，标上相应的人数；
（2）若该校共有1800名学生，则该校最喜爱3D打印课程的学生约有多少人？
40．如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积.
41．我市为迎接省运会，要将某一城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
42．如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E.
（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F.
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由.
43．已知： 平分 ，以 为端点作射线 ， 平分 .
（1）如图1，射线 在 内部， ，求 的度数.
（2）若射线 绕点 旋转， ，（ 为大于 的钝角）， ，其他条件不变，在这个过程中，探究 与 之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明.
44．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角尺的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时三角尺旋转过的角度为 ．
（2）继续将图2中的三角尺绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部，试探究 与 之间满足什么等量关系？并说明理由．
45．如图 ，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ，若固定 ，将 绕点 旋转.
（1）当 绕点 旋转到点 恰好落在 边上时，如图 ，则此时旋转角为 （用含的式子表示）.
（2）当 绕点 旋转到如图 所示的位置时，小杨同学猜想： 的面积与 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想.若不正确，请说明理由.
46．如图1，直线y1＝kx+3与双曲线y2＝ （x＞0）交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，直线y1＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP＝27， ．
（1）求OD和AP的长；
（2）求m的值；
（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
47．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
48．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
49．在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．
（1）如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．
②直接写出的最小值．
50．如图，直线y=2x与反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象交于点A(m，8)，AB⊥x轴，垂足为B。
（1）求k的值；
（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；
（3）点D为x轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S△OCD=S△ACD，求点D的坐标。
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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级下册期末试卷
1．松山区种子培育基地用A，B，C三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，C型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图：
（1）求C型号种子的发芽数；
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广？
（3）如果将所有已发芽的种子放在一起，从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率．
【答案】（1）解：读图可知：C型号种子占1﹣30%﹣30%=40%，即1500×40%=600粒；
因为其发芽率为80%，故其发芽数是600×80%=480粒
（2）解：A型号种子数为1500×30%=450，发芽率为： ×100%≈93%；
B型号种子数为1500×30%=450，发芽率为： ×100%≈82%；
C型号种子的发芽率为80%，
所以应选A型号的种子进行推广
（3）解：在已发芽的种子中；有A型号的420粒，B型号的370粒，C型号的480粒；
故从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为
【解析】【分析】先求出C种子的数量，再求出发芽率，二者相乘可求发芽数.将三种种子的发芽率求出，比较即可；C型号种子除以种子总数即为所求.
2．为讴歌抗击新冠肺炎的白衣天使，某校举行了新时代最可爱的人征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记a分 ，组委会统计了他们的比赛成绩，并根据成绩绘制了如下的不完整的统计图表
请根据所给信息回答下列问题
成绩 频数 频率
24 0.3
m 0.4
16 n
8 0.1
（1）参加征文比赛的共有多少人？
（2）在频数分布表中，m= ；n= .
（3）补全图中的频数分别直方图.
【答案】（1）解：根据题意得：参加征文比赛的的人数为：24÷0.3=80（人），
答：参加征文比赛的共有80人
（2）32；0.2
（3）解：由（2）可知，70≤ ＜80段的人数为32人，补全图形：
【解析】【解答】解：（2）m= 80×0.4=32，
n=16÷80=0.2；
故答案为：32，0.2；
【分析】根据频数分布直方图进行求解，总数=频数÷频率；频数=总数×频率求解即可.
3．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高，求足球的单价为多少元？
【答案】足球的单价为元
4．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型 人数
A 20
B a
C 52
D 80
E b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）200；40；8
（2）解：节目类型“C”所占的百分数是：×100%=26%；
（3）解：节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×=144°．
【解析】【解答】解：（1）由统计表可知，喜爱A类节目的学生有20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，
本次抽样调查的学生总数n=20÷10%=200（人），
a=200×20%=40，
b=200-（20+40+52+80）=8．
故答案为：200，40，8；
【分析】（1）根据表格中的数据及扇形统计图中的信息求解即可；
（2）利用“C”的人数除以总人数再乘以100%可得答案；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案。
5．如图1，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点F．
（1）求证： ；
（2）如图2，延长 和 相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形 和四边形 外）
【答案】（1）证明：菱形 ，
四边形 为平行四边形，
四边形 为矩形．
（2）图中的平行四边形有：平行四边形 ，平行四边形 ，平行四边形 ，平行四边形 ．
【解析】【解答】解：图中的平行四边形有：平行四边形 ，平行四边形 ，平行四边形 ，平行四边形 ，
理由如下： 菱形 ，
四边形 为矩形．
，
四边形 为平行四边形，
四边形 ，四边形 ，四边形 都是平行四边形，
【分析】（1）由菱形 的性质得到： ，结合已知条件证明四边形 为矩形，可得答案．（2）利用菱形的性质，结合（1）问的结论，得到四边形 为平行四边形，其它的平行四边形可依次得到．
6．夏季是吃水果的季节，某水果超市用4000元购进某种新品种水蜜桃，面市后供不应求，该超市又用10000元购进第二批这种水蜜桃，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．
（1）第一批水蜜桃进货单价为多少元？
（2）超市销售水蜜桃的单价均为15元，两批水蜜桃全部售完后可获利多少元？
【答案】（1）解：设第一批水蜜桃进货单价为x元，则第二批水蜜桃进货单价为（x+2）元，
依题意得：
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．
答：第一批水蜜桃进货单价为8元．
（2）解：第二批水蜜桃进货单价为8+2＝10（元），
获得的总利润为（15﹣8）×+（15﹣10）×
＝7×+5×
＝7×500+5×1000
＝3500+5000
＝8500（元）．
答：两批水蜜桃全部售完后可获利8500元．
【解析】【分析】（1）设第一批水蜜桃进货单价为x元，则第二批水蜜桃进货单价为（x+2）元，根据“ 两批水果所购数量是第一批的2倍”列出方程并解之即可；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量进行求解即可.
7．如图，四边形 是矩形，E、F分别是线段 、 上的点，点O是 与 的交点．若将 沿直线 折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：证明：∵△BED沿直线BE折叠，点E与点F重合，
∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，
又∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，
∴DE∥DF，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=DF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵ED=2AE，点E是线段AD上的点，
∴ED= AD，
∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，
∴S菱形BEDF= EF·BD=ED·AB= AD·AB，
∵AB·AD= ，
∴ EF·BD= ，
解得：EF·BD= ．
【解析】【分析】（1） 由折叠性质知BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根据矩形的性质可证∠EDB=∠FBD，
可得∠FDB=∠FBD，继而得出BF=DF， 从而可得BE=BF=DF=DE，根据四边相等的四边形是菱形即证；
（2） 由ED=2AE，点E是线段AD上的点，可得ED= AD， 根据矩形与菱形的性质得出S菱形BEDF= EF·BD=ED·AB= AD·AB， 由AB·AD= ，可得 EF·BD= ，据此即得结论.
8．
（1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 .
（2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由.
（3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）32
（2）解：△BCD的面积为 a2. 理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E. ∴∠BED＝∠ACB＝90° ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°. ∴∠ABC+∠DBE＝90°. ∵∠A+∠ABC＝90°. ∴∠A＝∠DBE. 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC＝DE＝a. ∵S△BCD＝ BC DE ∴S△BCD＝ a2；
（3）解：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E， ∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝ BC＝ a. ∴∠FAB+∠ABF＝90°. ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABF+∠DBE＝90°， ∴∠FAB＝∠EBD. ∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB＝BD. 在△AFB和△BED中， ， ∴△AFB≌△BED（AAS）， ∴BF＝DE＝ a. ∵S△BCD＝ BC DE， ∴S△BCD＝ a a＝ a2. ∴△BCD的面积为 a2.
【解析】【解答】解：问题原型：如图1中，
如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E.
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°.
∴∠ABC+∠DBE＝90°.
∵∠A+∠ABC＝90°.
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝8.
∵S△BCD＝ BC DE
∴S△BCD＝32，
故答案为32.
【分析】问题原型：过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，则∠BED＝∠ACB＝90°，由旋转的性质可得AB＝BD，∠ABD＝90°，根据同角的余角相等可得∠A＝∠DBE，然后证明△ABC≌△BDE，得到BC＝DE＝8，接下来根据三角形的面积公式进行求解；
初步探究：过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，同理可证△ABC≌△BDE，得到BC＝DE＝a，然后根据三角形的面积公式进行求解；
简单应用：过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，同理可证△AFB≌△BED，得到BF＝DE＝a，然后根据三角形的面积公式进行求解.
9．某校为积极响应垃圾分类的号召，从商场购进了、两种品牌的垃圾桶用于回收不同种类垃圾．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用4800元购买品牌垃圾桶的数量是用3600元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元
（2）该学校准备再次用不超过5600元购进、两种品牌垃圾桶共50个，恰逢商场对两种品牌垃圾桶的售价进行了调整：品牌按第一次购买时售价的八折出售，品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，
由题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A品牌垃圾桶需80元，购买一个B品牌垃圾桶需120元；
（2）解：设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，
由题意得：，
解得：，
∴m最大值是30．
答：该学校此次最多可购买30个B品牌垃圾桶．
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据题意列出不等式，再求解即可。
10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【答案】（1）点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
（2）将，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线：位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【解析】【分析】（1）连接PA，PF，根据正六边形的性质求得P与E的坐标，再利用待定系数法可得反比例函数的解析式，然后将点E的坐标代入反比例函数解析式检验；
（2）根据两函数图象的位置关系求出不等式的解集．
11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF。
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE=3，CD=4，∠EDC=90°，当四边形DEBF是菱形时，AE的长为多少？
【答案】（1）证明：如图，连接BD，与AC相交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OB=OD.OA=OC
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形DEBF为平行四边形.
（2）解：在RtΔCDE中
∵四边形DEBF为菱形
∴BD⊥EF
∴ .
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】(1)本题中，连接BD交AC于O，则可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．(2)因为DE=3，CD=4，∠EDC=90°，由勾股定理得 5，再根据菱形的对角线互相平分和面积公式计算出 ，再根据勾股定理解得 ，即可解答.
12．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
13．如图，在平行四边形ABCD中，，过点D作交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）若，且，求四边形ADEC的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
（2）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵点M为AB的中点，
∴AB=2CM=26，
∵AC=24，
∴BC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=24，
∴四边形ADEC的周长=2×（10+24）=68．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADEC是平行四边形，再结合∠ACE=90°，即可得到四边形ADEC是矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质求出AB=2CM=26，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用四边形ADEC的周长=2×（10+24）=68计算即可。
14．某单位工会组织内部抽奖活动， 共准备了100张奖券， 设特等奖1个， 一等奖10个， 二等奖20个， 三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同． 求：
（1）一张奖券中特等奖的概率；
（2）一张奖券中奖的概率；
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
【答案】（1）解：中特等奖的张数为1张，根据概率公式，一张奖券中特等奖的概率为；
（2）解：中奖的张数为：1+10+20+30=61张，根据概率公式，一张奖券中奖的概率为；
（3）解：一等奖和二等奖的张数之和为：10+20=30张，根据概率公式，一张奖券中一等奖或二等奖的概率为．
【解析】【分析】（1）利用特等奖的张数除以总张数即可；
（2）首先根据题意求出中奖的张数，然后利用概率公式进行计算；
（3）首先求出一等奖和二等奖的张数之和，然后利用概率公式进行计算.
15．某中学在商店购进甲、乙两种品牌的书包，已知购买一个乙品牌书包比购买一个甲品牌书包多花30元，且用300元购买甲品牌书包的数量比用320元购买乙品牌书包的数量多2个．
（1）求购买一个甲品牌、一个乙品牌的书包各需多少元？
（2）该学校决定用不超过2900元购买甲品牌、乙品牌的书包共40个，至少购买甲品牌书包多少个？
【答案】（1）解：设购买一个甲品牌的书包需 元，购买一个乙品牌的书包需 元，根据题意，得：
化简得，
解得： （舍）
经检验， 是原方程的解．
购买一个乙品牌的书包需 （元）
答：购买一个甲品牌的书包需50元，购买一个乙品牌的书包需80元．
（2）解：设购买甲品牌书包 个，则购买乙品牌的书包 个，根据题意，得
，
解得： ，
a取正整数，则a的最小值为10，
答：至少购买甲品牌书包10个．
【解析】【分析】（1）根据 购买一个乙品牌书包比购买一个甲品牌书包多花30元，且用300元购买甲品牌书包的数量比用320元购买乙品牌书包的数量多2个，列方程求解即可；
（2）先求出 ， 再解不等式即可。
16．新冠疫情发生后，全社会积极参与防疫工作某市安排甲、乙两个大型工厂生产一批口罩，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）为尽快完成100万只口罩的生产任务，甲乙合作生产，5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天才能完成任务？
【答案】（1）解：设乙厂每天生产x万只口罩，则甲厂每天生产万只口罩，根据题意，得
解这个方程，得
经检验是原方程的解，
∴（万只）
答：甲厂每天生产6万只口罩，乙厂每天生产4万只罩．
（2）解：设乙厂还需要工作m天才能完成任务，根据题意，得
∵是整数
∴
答：乙厂至少还需要工作13天才能完成任务．
【解析】【分析】（1）设乙厂每天生产x万只口罩，则甲厂每天生产万只口罩，根据题意列出方程求解即可；
（2）设乙厂还需要工作m天才能完成任务，根据题意列出不等式求解即可。
17．如图，将 ABCD的AD边延长至点E，使DE= AD连结CE，F是BC边的中点，连结FD
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE= AD，F是BC边的中点，
∴DE=FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形
（2）过点D作DN∥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∵AB=3．AD=4，
∴FC=2，NC= DC= ，DN= ，
∴FN= ，
则DF=EC=
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等，可判定四边形为平行四边形。
（2）根据平行四边形的性质，利用勾股定理可求出CE的长度。
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DEAC，CEBD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC=90°．
∵DEAC，CEBD，
∴四边形DECO是平行四边形
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC．
∵四边形DECO是矩形，
∴DE=OC．
∴AO=DE
∵DE=2，
∴DE=AO=2．
∵DEAC，
∴∠OAF=∠DEF．
在△AFO和△EFD中，
，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF=DF．
在Rt△ADO中，tan∠ADB，
∴，
∴DO=2，
∴FO，
∴AF．
【解析】【分析】（1）先证明四边形DECO是平行四边形，再结合∠DOC=90°，即可得到四边形DECO是矩形；
（2）利用“AAS”证明△AFO≌△EFD，可得OF=DF，再利用tan∠ADB，求出FO的长，最后利用勾股定理求出AF的长即可。
19．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3900元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
．
解得： ．
经检验 是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）解：该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为： （天），
则该工程施工费用是： （元）．
答：该工程的费用为234000元．
【解析】【分析】（1）根据题目中的等量关系，列出方程，解出答案即可；
（2）首先计算甲和乙合作需要的时间，然后计算费用即可。
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.59 0.604 0.601 0.599 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ．
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.6
（2）
（3）解：盒子里白色的球有40×0.6=24（只）．
盒子里黑色的球有40-24=16（只）
答：盒子里黑球有16只，白球有24只．
【解析】【解答】解：（1）由表中数据可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴摸到白球的概率P（白球）=0.6=，
故答案为：；
【分析】（1）直接根据表格中的数据进行解答；
（2）根据频率估计概率的知识可得摸到白球的概率；
（3）用球的总数乘以摸到白球的概率可得白球的个数，利用总数减去白球的个数即为黑球的个数.
21．给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假．
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例．
【答案】（1）解：∵等腰三角形的面积一定，∴底边长和底边上的高的乘积为非零常数．∴命题（1）正确
（2）解：∵菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，∴当菱形的面积一定时，对角线长的乘积也一定．
∴它们成反比例．故正确
（3）解：∵矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不一定，∴两对角线长不成反比例，
∴命题（3）为假命题
（4）解：∵直角三角形的面积为直角边乘积的一半，∴当它的面积一定时，其直角边长的乘积也一定．∴两直角边长成反比例，
∴命题（4）正确．
【解析】【分析】反比例函数有三种形式：①一般形式，②乘积形式：xy=k，③负指数形式：y=k·x-1，这三种形式中乘积形式，由于两个变量的乘积是一个常量，常用来判断两个变量是否是反比例函数关系，等腰三角形的面积一定，底边长和底边上的高的乘积为非零常数，菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，故当菱形的面积一定时，对角线长的乘积也一定是个常量；矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不固定；直角三角形的面积为直角边乘积的一半，当它的面积一定时，其直角边长的乘积也一定是个常量，根据定义即可一一判断。
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°.将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到△ADE，BD，CE交于点F.
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）求∠CFB的度数.
【答案】（1）解：由旋转的性质可知AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，
∴AD=AB=AC=AE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：设CE与AB交于点G，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠CFB=180°-∠ABD-∠BGF，∠BAC=180-∠ACE-∠AGC，∠AGC=∠BGF，
∴∠CFB=∠BAC=36°.
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE，由已知条件可知AB=AC，则AD=AB=AC=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）设CE与AB交于点G，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由对顶角的性质可得∠AGC=∠BGF，结合内角和定理可推出∠CFB=∠BAC，据此解答.
23．某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数，其图象如图所示(千帕是一种压强单位)
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕；
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米。
【答案】（1）解：由题意得，温度=PV=1.5×64=96，
∴P=
（2）解：当V=0.8时，P=120（千帕）
（3）解：∵当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，
∴P 144，
∴ 144，
解得：
【解析】【分析】（1）根据温度=PV，可得出p与v的函数解析式。
（2）将v=0.8代入求出p的值。
（3）根据题意可出P ≤ 144，气球不会爆炸，就可求出v的取值范围。
24．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
（2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
【答案】（1）小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
（2）小唐的行驶速度至少提高千米小时．
25．如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使 ，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若 ， ，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：如图所示，过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴F是CD的中点，
∴DF= CD= ×2=1，
又∵DE=CD=AB=2，
∴EF=3，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF= AD=2，
∴Rt△OEF中，OE= ．
【解析】【分析】（1）根据DE=AB，DE∥AB，即可得出四边形ABDE是平行四边形．
（2）过O作OF⊥CD于F，依据矩形的性质即可得到OF以及EF的长，再根据勾股定理即可得到OE的长．
26．
（1）计算：
（2）解方程：
（3）先化简 ，然后 在-1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）解：原式=-2+1+8+1
=8.
（2）解：去分母得：2x-（x-1）=4
去括号得：2x-x+1=4
移项得：2x-x=4-1
合并同类项：，
经检验x=3是原方程的解.
（3）解：原式=
=
= ，
∵a≠1且a≠-1，
∴当 时，原式=.
【解析】【分析】(1)先进行根式的化简和乘方的运算，再进行有理数的加减混合运算，即得结果；
(2)经过去分母、去括号、移项、合并同类项求出x的值，再检验，即可求出方程的解；
(3)先将除法化为乘法，将各分式的分子和分母分解因式，然后进行分式的乘除法运算，再进行分式的加法运算，即可将原式化简，最后代值计算即可.
27．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△A1B2C，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1，B1的坐标．
【答案】（1）解：A(-1，2)，B(-3，1)，C(0，-1)，
（2）解：如图，A1(3，0)，B1(2，2)
【解析】【分析】（1）根据示意图即可得到三个点的坐标。
（2）根据题意将图形进行旋转，得到点的坐标即可。
28．某校在开展读书交流活动中，全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，对部分书据进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图回答下面问题：
（1）本次抽样调查的书有 本；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）本次活动师生共捐书1600本，请估计科普类书籍的本数．
【答案】（1）40
（2）解：其它类的书的数量为40×15%＝6（本），
补全图形如下：
（3）解：估计科普类书籍的本数为1600× ＝480（本）．
【解析】【分析】（1）由艺术类书籍的数量及其所占百分比可得抽取的总数量；（2）用样本容量乘以其它类书籍对应的百分比求出具体数量，从而补全图形；（3）用总数量乘以样本中科普类书籍数量所占比例可得．
29．某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得x=30，
经检验x=30是方程的解，
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）解：该工程由甲、乙合做完成，所需时间为：
，
则该工程的施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元），
答：该工程的施工费用为180000元．
【解析】【分析】（1）根据题意求出 ， 即可作答；
（2）先求出 ， 再作答即可。
30．小明就班级内所有同学的到校方式进行了一次调查，图（1）和图（2）是根据整理后的数据绘制的两幅不完整统计图．
（1）该班共有多少名学生？
（2）该班有多少名学生乘车到校？
（3）在图（1）中，将表示“乘车”的部分补充完整．
【答案】（1）解：由统计图可得：
该班学生的总人数为20÷50％=40（名）；
（2）解：该班乘车到校的人数为40-20-12=8（名）；
（3）解：补全条形统计图如图所示：
【解析】【分析】（1）由题可知：总人数=骑车人数 ÷ 骑车人数占所有同学的百分比；
（2）利用乘车人数=总人数x乘车人数占所有同学的百分比可得；
（3）利用（2）补全条形统计图。
31．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；
（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进圆规的单价为x元/件，
则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，
依题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
则第二批进价为：元/件
答：第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为元/件；
（2）解：第一批购进圆规的数量为1000÷5＝200（件），
第二批购进圆规的数量为200 40＝160（件），
共盈利（200×7 1000）＋（160×8 1000）＝400＋280＝680（元）．
答：一共盈利680元．
【解析】【分析】(1)设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，根据题意列出方程，解之并检验即可得出答案；
（2）根据题意列出算数即可得出答案。
32．新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行．新修订的分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
频数 3 9 m 12 8
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图
c．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为
80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查样本容量为 ，表中m的值为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩80分为良好，那么估计小明所在的社区良好的人数约为 人；
（4）若达到测试成绩前十五名的可以颁发“垃圾分类知识小达人”奖章，已知居民A的得分为88分，请问居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【答案】（1）50；18
（2）解：由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知80≤x＜90这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）800
（4）解：由题意可得，
88分是第10名或者第11名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．本次抽样调查样本容量为50，
表中m的值为：m=50﹣3﹣9﹣12﹣8＝18，
故答案为：50，18；
（3）随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．达到测试成绩80分为良好，良好的人数有：12+8=20（人）
良好的百分比为=
2000×40%＝800（人），
即小明所在的社区良好的人数约为800人，
故答案为：800；
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布直方表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小明所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以计算得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章。
33．
（1）化简：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
【解析】【分析】（1）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；
（2）由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，再根据“≤”实心向左、“＞”空心向右即可求解.
34．5月11日，深圳市财政局披露数据显示，今年4月深圳市一般公共预算收入下滑约44%．为了扩大内需、促进消费、带动生产，深圳市商务局决定实施消费电子和家用电器购置补贴．星光商店计划购进A、B两种电器进行销售，已知每台B种电器的进价比每台A种电器的进价高1000元，该商店分别用10000元和40000元采购A、B两种电器，且采购的B种电器的数量是A种电器的两倍．
（1）求每台A、B种电器的进价分别为多少元？
（2）商店将A、B两种电器的售价分别定为1500元/台和3000元/台．在销售过程中，B种电器非常畅销，很快就销售一空．但A种电器的销售情况却不理想，在卖出a台后，商店决定进行促销活动，将剩余的A种电器按售价的8折出售，要使该商场卖完两种电器后获得的总利润不低于23200元，求a的最小值．
【答案】（1）解：设每台A种电器的进价为x元，则每台B种电器的进价为（x＋1000）元，依题意得：，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，∴x＋1000＝1000＋1000＝2000．答：每台A种电器的进价为1000元，每台B种电器的进价为2000元．
（2）解：购进A种电器的数量为10000÷1000＝10（台），购进B种电器的数量为40000÷2000＝20（台）．依题意得：1500a＋1500×0.8（10 a）＋3000×20 10000 40000≥23200，解得：a≥4．答：a的最小值为4．
【解析】【分析】 (1)设每台A种电器的进价为x元，则每台B种电器的进价为（x＋1000）元，根据题意列方程即可解得。
(2) 先求出购进A、B两种机器的数量，根据题意列式即可求得a。
35．某小区要修建观赏区，计划在长为（4a-b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地面进行绿化改造，若在其中间修建一占地为边长（a+b）米的正方形的花坛，其余地面铺设草坪（阴影部分）.
（1）用含有a、b的式子表示草坪的总面积.（结果化为最简）
（2）若a＝5，b＝1，求出此时草坪的面积.
【答案】（1）解：依题意得：
（4a-b）（3a+2b）-（a+b）2
＝12a2+8ab-3ab-2b2-a2-2ab-b2
＝11a2+3ab-3b2.
答：草坪的总面积是（11a2+3ab-3b2）平方米；
（2）解：当a＝5，b＝1时，
原式＝11×52+3×5×1-3×12
＝275+15-3
＝287（平方米）.
答：草坪的面积是287平方米.
【解析】【分析】（1）根据面积间的和差关系可得：草坪的面积=(4a-b)(3a+2b)-(a+b)2，然后根据整式的混合运算法则进行化简；
（2）将a=5、b=1代入（1）的式子中进行计算.
36．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克．
（1）求牛奶草莓每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值．
【答案】（1）牛奶草莓每千克的进价为20元
（2）m的最小值为6
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与函数y （m＞0，x＞0）的图象交于A（3，a）、B（14﹣2a，2）两点．
（1）求a、m的值．
（2）求一次函数y＝kx+b所对应的函数表达式．
【答案】（1）解：由题意把点A（3，a）、B（14﹣2a，2）代入函数y 得：
，解得： ；
（2）解：由（1）可知点 ，则代入一次函数解析式得：
，解得： ，
∴一次函数解析式为 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a和m的值即可；
（2）将计算得到的点A以及点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可。
38．如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足.
（1）求证：△ABE≌△CDF.
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF， 结合垂直的定义，利用AAS证明 △ABE≌△CDF 即可；
（2）由（1）得 △ABE≌△CDF， 得出AE=CF，再由平行公理的推论得出AE∥CF， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证出四边形AECF是平行四边形.
39．某校课程中心为了了解学生对开设的3D打印、木工制作、机器人和电脑编程四门课程的喜爱程度，随机调查了部分学生，每人只能选一项最喜爱的课程.图①是四门课程最喜爱人数的扇形统计图，图②是四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图，
四门课程最喜爱人数的扇形统计图 四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图
（1）求图①中m的值，补全图②中的条形统计图，标上相应的人数；
（2）若该校共有1800名学生，则该校最喜爱3D打印课程的学生约有多少人？
【答案】（1）解：调查的人数为：（20+2）÷35%=120（人）∴机器人一项所占的百分比m%= ×10%=30%，∴m=30，∵木工制作一项的人数为：15%×120=18（人），∴女生选择木工制作的人数为18-9=9（人），∵电脑编程一项的人数为：20%×120=2（人），∴女生选择电脑编程的人数为24-14=10（人）.
条形统计图如图所示。
（2）解：1800×35%=630（人）.
答：该校最喜爱3D打印课程的学生约有630人
【解析】【分析】（1）先用最喜爱3D打印的总人数除以最喜爱3D打印的百分比求出总人数，再用最喜爱3D打印的人数除以总人数即可求出m；用总人数乘最喜爱木工制作的百分比求出最喜爱木工制作的人数，继而求出最喜爱木工制作的女生人数，同样的，最喜爱电脑编程的女生人数，补全统计图即可；
（2）用1800×35%即可。
40．如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）证明：∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ ，
∴ （AAS）
（2）解：∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及垂直的定义可得∠D=∠ANB=90°，∠BAN=∠AMD，根据AAS可证 ；
（2） 由 ，可得AN=DM=4，利用勾股定理求出AM，即得AB，由四边形 的面积=矩形ABCD的面积-△ABN的面积-△MAD的面积，据此计算即可.
41．我市为迎接省运会，要将某一城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，根据题意得，
，
解得，x=90，
经检验，x=90是原方程的根．
答：乙队单独完成这项工程需90天
（2）解：由甲队独做需：3.5×60=210（万元）；
乙队独做工期超过70天，不符合要求；
甲乙两队合作需1÷（ ）=36天，
需要：36×（3.5+2）=198（万元），
答：由甲乙两队全程合作最省钱
【解析】【分析】（1）这是一道工程问题，工程问题，常把工作总量看成单位1，甲队单独完成这项工程需要60天，则甲队的工作效率是 ，设乙队单独完成这项工程需x天 ，则乙队的工作效率是 ，根据甲独作的工作量+甲乙合作的工作量=1列出方程，求解并检验即可 ；
（2）首先根据单价乘以时间算出甲独作需要的总钱数 ；由于乙队独做工程需要90天 ，而该工程计划在70天内完成，故不能由乙队单独完成；接着算出甲乙两队合作需要的时间，然后根据单价乘以时间算出甲乙合作需要的总钱数 ；进行比较即可得出答案 。
42．如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E.
（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F.
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：如图9-1，在矩形中，，
即，
∴.
∵点P是的中点，
∴.
∴
（2）解：①证明：如图9-2，在矩形中，，
∴.
由折叠可知，
∴.
∴.
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴.
由折叠可知，.
设，则.
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即.
②解：如图9-3，由折叠可知，.
∴.
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小.
连接，在中，，
∴，
∴，
∴.
③解：与的数量关系是.
理由是：如图9-4，由折叠可知.
过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴.
∴，
∴点H是中点.
∵，即，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵点G为中点，点H是中点，
∴.
∴.
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥DC，由平行线的性质可得∠1=∠E，∠B=∠2，根据中点的概念可得BP=CP，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）①根据矩形以及平行线的性质可得∠3=∠FAP，由折叠可知∠3=∠4，则可推出FA=FP，根据矩形以及中点的概念可得BC=AD=8，BP=BC=4，由折叠得AB′=AB=6，PB′=PB=4，∠B=∠AB′P=∠AB′F=90°，设FA=x，则FP=x，FB′=x-4，利用勾股定理可得x；
②由折叠可知AB′=AB=6，PB′=PB，则C△PCB′=8+CB′，由两点之间线段最短可知：当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，利用勾股定理可得AC，根据CB′最小值=AC-AB′可得CB′的最小值，据此解答；
③由折叠可知∠1=∠6，AB′=AB，BB′⊥AE，过点B′作B′M∥DE，交AE于点M，根据平行线的性质可得∠1=∠6=∠5=∠AED，则AB′=B′M=AB，结合已知条件可得∠5=2∠8，由外角的性质可得∠5=∠7+∠8，则∠7=∠8，推出B′M=EM，结合中点的概念可得HG=AG-AH=EM，据此解答.
43．已知： 平分 ，以 为端点作射线 ， 平分 .
（1）如图1，射线 在 内部， ，求 的度数.
（2）若射线 绕点 旋转， ，（ 为大于 的钝角）， ，其他条件不变，在这个过程中，探究 与 之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明.
【答案】（1）解：∵射线 平分 、射线 平分 ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
= 82°
=41°
（2）解： 与 之间的数量关系发生变化，如图，当 在 内部，∵射线 平分 、 射线 平分 ，∴ ，∴= = = 如图，当 在 外部，∵射线 平分 、射线 平分 ，∴ ，∴= = =
=
=
∴ 与 之间的数量关系发生变化.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ， ，进而可得∠COE= ，即可得答案；（2）分别讨论OA在∠BOD内部和外部的情况，根据求得结果进行判断即可.
44．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角尺的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时三角尺旋转过的角度为 ．
（2）继续将图2中的三角尺绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部，试探究 与 之间满足什么等量关系？并说明理由．
【答案】（1）90°
（2）解： ，理由如下：
设 ，由 可得 ，
，
，
解得 ，即 ，
①，
又 ，
②，
由②①得： ．
【解析】【解答】（1） ，
三角尺旋转过的角度为 ，
故答案为：90°；
【分析】（1）根据旋转的性质得出∠MON=90°；
（2），理由：可设∠AOC=α，∠BOC=2α，由邻补角的定义可得α+2α=180°，从而求出∠AOC=60°，∠BOC=120°，从而得出∠AON+∠NOC=60°，由∠AOM+∠AON=90°，据此即可得出.
45．如图 ，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ，若固定 ，将 绕点 旋转.
（1）当 绕点 旋转到点 恰好落在 边上时，如图 ，则此时旋转角为 （用含的式子表示）.
（2）当 绕点 旋转到如图 所示的位置时，小杨同学猜想： 的面积与 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想.若不正确，请说明理由.
【答案】（1）2a
（2）解：小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过 作 于 ，过 作 于 ，如图 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∵ ，∴ .
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵∠C=90°，∠ABC=∠DEC=a，
∴∠BAC=90° a，
∵△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，
∴∠ACD等于旋转角，CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=90° a，
∴∠ACD=180° 2(90 a)=2a；
即旋转角为2a；
故答案为2a；
【分析】（1）易得∠BAC=90° a，根据旋转的性质可得CD=CA，则∠CAD=∠CDA=90° a，然后根据三角形内角和定理进行解答；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作 EM⊥AC于M，由同角的余角相等可得∠1=∠3，证明△CBN≌△CEM，得到BN=EM，然后根据三角形的面积公式进行解答.
46．如图1，直线y1＝kx+3与双曲线y2＝ （x＞0）交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，直线y1＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP＝27， ．
（1）求OD和AP的长；
（2）求m的值；
（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：设P（a，b），则OA＝a，
∵ ，
∴OC＝ AC，
∴C（ a，0），
∵点C在直线y＝kx+3上，
∴0＝ ak+3，即ka＝﹣9，
∴DB＝3﹣b＝3﹣（ka+3）＝﹣ka＝9，
∵BP＝a，
∴S△DBP＝ ×DB BP＝27，
∴ ×9a＝27，
∴a＝6，
∴k＝﹣ ，
∴一次函数的表达式为y＝﹣ x+3；
将x＝6代入一次函数解析式得：y＝﹣6，即P（6，﹣6），
∴AP＝6，
由一次函数表达式得：点D（0，3），故OD＝3；
（2）解：将点P的坐标代入反比例解析式得：m2﹣13m＝﹣36，
解得：m＝4或9；
（3）（4，﹣6）或（10，﹣6）或（±2 ，﹣6）
【解析】【解答】解：（3）由（1）得，点C（2，0）、而点B（0，﹣6），设点M（m，﹣6）；
则BC2＝4+36＝40，CM2＝（m﹣2）2+36，MB2＝m2，
当BC＝CM时，40＝（m﹣2）2+36，解得：m＝4或0（舍去0）；
当BC＝MB时，同理可得：m＝±2 ；
当MB＝CM时，同理可得：m＝10，
故点M的坐标为（4，﹣6）或（10，﹣6）或（±2 ，﹣6）．
【分析】（1） 设P（a，b），则OA＝a，由可得点 C（ a，0）， 将点C代入直线y＝kx+3中，可得ka＝﹣9，从而求出DB=3-b=9，根据S△DBP＝ ×DB BP＝27可求出a值，从而求出k值即得一次函数的表达式 ，从而求出D的坐标，即得OD的长；将x=6代入求出y值即得点P坐标，即可得出AP的长；
（2）由（1）知点P（6，-6），将其代入y2＝ （x＞0） 中，即可求出m值；
（3）设点M（m，﹣6），根据等腰三角形的判定分三种情况：①当BC＝CM时，②当BC＝MB时，③当MB＝CM时，据此分别建立方程求出m值即可.
47．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，
即当t=8分钟时，射线OC与OD重合
（2）解：当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；
当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；
故当t=2或14分钟时，∠COD=90°
（3）解：存在.
当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；
当OC为角平分线时：∠AOC-120°= ∠BOD，则可得20t-120°= ×5t，解得t= 分钟；
当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.
故当t=4.8或 或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.
【解析】【分析】（1）根据题意可得，射线OC与OD重合时，20t=5t+120，可得t的值；（2）根据题意可得，射线OC⊥OD时，20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，可得t的值；（3）分三种情况， 当OB为角平分线时；当OC为角平分线时；当OD为角平分线时，再利用方程求解即可。
48．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB⊥BC，∠B=90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB，EG∥BF.
∵∠B=90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）解：∵正方形ABCD的周长是40cm， ∴AB= =10cm.
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AF=EF，
∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm.
（3）解：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，
∵AF=EF，AB=10cm，
∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形.
【解析】【分析】由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．
49．在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．
（1）如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．
②直接写出的最小值．
【答案】（1）解：菱形，理由如下：连接 ，
在菱形 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
在等边 中， 是 的中线，
∴ ，
由翻折可得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形.
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：①解：过点E作 于点M，过点G作 于点N，
在 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ；
当 时，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上， 的长度为 或3；
②最小值是 ．
【解析】【解答】解：（2）
②如图，在BA上截取BM=BE=2，
连接AC，连接MG并延长交AC于点N，作CH⊥MN，交MN延长线于点H
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC
∵AB=AC
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=∠ACB=60°
∵BM=BE
∴△BME是等边三角形
∴∠BEM=∠BME=∠MEB=60°，ME=BE=2
∵△EFG是等边三角形
∴∠FEG=60°，FE=GE
∴∠BEM+∠FEM=∠FEG+∠FEM
即∠BEF=∠MEG
∴△BEF≌△MEG（SAS）
∴∠EMG=∠B=60°
∴∠EMG=∠MEB
∴MG∥BC
∴点G在直线MH上运动
∴当G与H点重合时，CG最小。
∵∠ACB=∠MEB=60°
∴AC∥ME
∴四边形MNCE是平行四边形
∴CN=ME=2，∠CNH=∠CMG=60°
∴，即CG的最小值是
故答案为：
【分析】（1）先证明四边形BEB'F是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形BEB'F是菱形；
（2）构造全等三角形，得到GN的长，再利用等腰三角形的性质以及勾股定理，求出两种情况下BF的长；
（3）先构造辅助线，通过证明三角形全等发现，G的运动轨迹在直线MN上，从而得出CG的最小值。
50．如图，直线y=2x与反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象交于点A(m，8)，AB⊥x轴，垂足为B。
（1）求k的值；
（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；
（3）点D为x轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S△OCD=S△ACD，求点D的坐标。
【答案】（1）解：∵直线y=2x与反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象交于点A(m，8)，
则2m=8，解得m=4，
∴A(4，8)，
∴k=4X8=32；
（2）解：设AC=x，则OC=x，BC=8-x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC2=OB2+BC2，
即x2=42+(8-x)2，解得x=5，∴AC=5；
（3）解：设点D的坐标为(x，0)，分两种情况：
①当x>4时，如解图①，∵S△OCD= S△ACD
∴ OD·BC= AC·BD，
∴3x=5(x-4)，解得x=10；
②当0∴点D的坐标为(10，0)或（ ，0)
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入两个函数的解析式，得到答案即可；
（2）设AC为x，根据勾股定理列出方程，即可得到AC的长度；
（3）分类讨论D的位置，根据已知三角形的面积列出等式，得到答案即可。
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