【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 两条直线相交或平行问题（含解析）

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两条直线相交或平行问题
一．选择题（共10小题）
1．已知一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积是（　　）
A．4 B．2 C．6 D．12
2．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论错误的是（　　）
A．图象必经过点（0，1）
B．图象经过第一、三、四象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．函数值y随x的增大而减小
3．对于正比例函数y＝2x﹣1，下列判断正确的是（　　）
A．自变量x的值每增加1，函数y的值增加2
B．该函数的图象不经过第一象限
C．当x大于0时y的值也大于0
D．该函数的图象与直线y＝﹣2x平行
4．如图，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），点P是第一象限内直线上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减少
C．先减少后增大 D．不变
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于y轴的左侧），分别交x和的图象于点B、C，若，则a的值为（　　）
A．﹣13 B．﹣12 C．﹣11 D．﹣10
6．如果一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+1在平面直角坐标系中的图象都经过点（﹣2，b），那么a﹣b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知，如图，直线AB：y＝kx﹣k﹣4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD：y＝﹣2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，﹣a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A． B．y＝2x﹣6 C． D．
8．如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，则点A的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
9．已知一个一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且与函数y＝x+3的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（　　）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣2x﹣3
10．直线y＝k1x+2与y＝k2x+b相交于点（2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为6，点P（1，m）是三角形内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）
A．3 B． C．3或 D．3或6
二．填空题（共10小题）
11．如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为 　 　．
12．如图，直线l1：y＝﹣2x与直线l2：y＝2x+m交于点P（﹣1，n），l2与x轴、y轴分别交于点A和点B．
（1）m＝　 　；
（2）点C是y轴上一点，当AC+PC的值最小时，点C的坐标为 　 　．
13．直线y＝ax+4和直线y＝bx﹣6相交于x轴上的同一点，则的值为 　 　．
14．点P（﹣2，4）关于直线y＝2x﹣4的对称点Q的坐标是 　 　．
15．与直线平行，且经过点（0，2）的一次函数的表达式是 　 　．
16．直线y＝kx+b和直线y＝3x+2在y轴上交点相同且过点（2，﹣3），则k+b＝ 　 　．
17．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是 　 　．
18．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　 　．
19．直线1：y＝kx+b与y轴交于点（0，﹣2），且与直线y＝﹣5x+8平行，则直线l的表达式为 　 　．
20．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）在第四象限交于点A，若直线l1与x轴的交点为
B（﹣2，0）
（1）若点A的坐标为（1，﹣2），则k＝　 　；
（2）k的取值范围是 　 　．
三．解答题（共10小题）
21．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数的图象上？说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
22．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的小正方形拼成一个大正方形．
解：四个直角三角形其面积都为，边长为c的小正方形的面积为c2
大正方形的面积为（a+b）2，
由图形可知：
整理得2ab+c2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（1）【类比尝试】如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，
求：①△ABC的面积；②BD的长．
（2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
23．直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，且在y轴上的截距是﹣6．
（1）直线y＝kx+b对应的函数表达式为　 　；
（2）若点P在直线y＝kx+b上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标．
24．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值．
25．现有两条直线L1：y＝kx+b，L2：y＝k2x+b，已知L2与直线y＝4x平行，L1的y随x增大而增大，L1、L2与直线y＝3x﹣4的交点均在x轴下方，求：
（1）k的值；
（2）b的范围．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
27．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C（2，n），点P为直线上一点．
（1）n＝　 　，k＝　 　；
（2）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
28．如图，直线l1：y＝k1x+b1（k≠0）分别与x轴，y轴相交于点A（﹣5，0）和点B（0，2），直线l2：y＝2x+b2与直线l1相交于点P，与y轴相交于点C，已知点P的纵坐标为3．
（1）求直线l1对应的函数表达式；
（2）求△BCP的面积．
29．如图，已知直线y＝kx+b经过点A（0，5），B（4，1），并与x轴交于点C，与直线y＝2x﹣1相交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED＝2S△AEP，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
30．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求A点坐标 　 　，B点坐标 　 　；
（2）求m及△AOC面积；
（3）若点P为x轴上一动点，当S△ACP＝2S△AOC时，则点P坐标为 　 　．
两条直线相交或平行问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积是（　　）
A．4 B．2 C．6 D．12
【分析】可先根据点A的坐标用待定系数法求出a，b的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与y轴的交点，即B，C的坐标．那么三角形ABC中，底边的长应该是B，C纵坐标差的绝对值，高就应该是A点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：把点A（﹣2，0）代入y＝2x+a，
得：a＝4，
∴点B（0，4）．
把点A（﹣2，0）代入y＝﹣x+b，
得：b＝﹣2，
∴点C（0，﹣2）．
∴BC＝|4﹣（﹣2）|＝6，
∴S△ABC2×6＝6．
答：△ABC的面积为6，
故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，通过已知点的坐标来得出两函数的解析式是解题的关键．
2．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论错误的是（　　）
A．图象必经过点（0，1）
B．图象经过第一、三、四象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．函数值y随x的增大而减小
【分析】根据一次函数的图象与性质分别判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，y＝1，
∴函数y＝﹣2x+1的图象必经过点（0，1），故正确，不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴函数y＝﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，故错误，符合题意；
C、当y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们平行，故本选项正确，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，∴y值随x值的增大而减小，故正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
3．对于正比例函数y＝2x﹣1，下列判断正确的是（　　）
A．自变量x的值每增加1，函数y的值增加2
B．该函数的图象不经过第一象限
C．当x大于0时y的值也大于0
D．该函数的图象与直线y＝﹣2x平行
【分析】根据一次函数的图象和性质和直线平移的性质逐项判断即可．
【解答】解：2（x+1）﹣1﹣（2x﹣1）＝2x+2﹣1﹣2x+1＝2，
∴自变量x的值每增加1，函数y的值增加2，
故A正确；
∵k＝2＞0，b＝﹣1＜0，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故B错误；
令2x﹣1＞0，
解得x，
∴当x时，y＞0，
故C错误；
该函数的图象与直线y＝2x平行，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，关键是掌握一次函数的图象和性质．
4．如图，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），点P是第一象限内直线上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减少
C．先减少后增大 D．不变
【分析】求出直线AB的解析式发现两条直线平行，P在直线上运动时，三角形PAB的面积保持不变即可．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+1，点B（2，0）代入得k，
∴直线AB与点P所在直线平行．
∴在点P移动过程中，三角形PAB的面积不变，
∴四边形OAPB的面积不变．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于y轴的左侧），分别交x和的图象于点B、C，若，则a的值为（　　）
A．﹣13 B．﹣12 C．﹣11 D．﹣10
【分析】将正比例函数与一次函数联立，建立二元一次方程组，解方程组即可求出两直线的交点A的坐标，利用A、O两点的坐标即可求得OA的长，进而可求得BC的长，利用B、C两点的坐标即可将BC用含a的表达式表示出来，进而建立关于a的一元一次方程，解方程即可求得a的值．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
∴A（12，﹣5），
∴OA13，
∴BC16，
∵P（a，0），
∴，，
∴，
∴，
解得：a＝﹣12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解二元一次方程组，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，通过建立二元一次方程组求解两直线的交点是解题的关键．
6．如果一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+1在平面直角坐标系中的图象都经过点（﹣2，b），那么a﹣b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】将（﹣2，b）代入解析式y＝2x+a即可求解．
【解答】解：∵点（﹣2，b）在一次函数y＝2x+a图象上，
∴b＝﹣4+a，
∴a﹣b＝4，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键．
7．已知，如图，直线AB：y＝kx﹣k﹣4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD：y＝﹣2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，﹣a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A． B．y＝2x﹣6 C． D．
【分析】把E（a，﹣a）代入y＝﹣2x+2得a＝2，即得E（2，﹣2），当A的对应点A′在x轴负半轴时，过E作EF⊥x轴于F，由k＝2知A（0，﹣6），OA＝6，设M（0，m），则OM＝﹣m，在Rt△A′OM中，有22+（﹣m）2＝（m+6）2，用待定系数法即得直线EM解析式．
【解答】解：把E（a，﹣a）代入y＝﹣2x+2得：
﹣a＝﹣2a+2，
解得a＝2，
∴E（2，﹣2），
把E（2，﹣2）代入y＝kx﹣k﹣4得：
﹣2＝2k﹣k﹣4，
解得k＝2，
∴直线AB为y＝2x﹣6，
当A的对应点A'在x轴负半轴时，过E作EF⊥x轴于F，如图：
在y＝2x﹣6中，令x＝0得y＝﹣6，
∴A（0，﹣6），OA＝6，
∵E（2，﹣2），
∴，EF＝2，OF＝2，
∴，
∴A′O＝A′F﹣OF＝2，
设M（0，m），则OM＝﹣m，
∴AM＝OA﹣OM＝6﹣（﹣m）＝m+6＝A′M，
在Rt△A′OM中，A′O2+OM2＝A′M2，
∴22+（﹣m）2＝（m+6）2，
解得，
∴，
设直线EM解析式为，把E（2，﹣2）代入得：
，
解得，
∴直线EM解析式为．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
8．如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，则点A的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
【分析】联立两个一次函数的表达式，构成方程组，解方程组，即得到其交点坐标．
【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，
∴，
解得：，
∴A点坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
9．已知一个一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且与函数y＝x+3的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（　　）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣2x﹣3
【分析】设一次函数为y＝kx+b，根据两直线平行的性质先求解k的值，再根据与函数y＝x+3的图象交y轴于同一点，求解b的值，从而可得答案．
【解答】解：设一次函数为y＝kx+b，一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，
解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+b，
函数y＝x+3图象过（0，3），
∵y＝﹣2x+b与函数y＝x+3的图象交y轴于同一点，
∴b＝3，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3．
故选：C．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“利用待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．
10．直线y＝k1x+2与y＝k2x+b相交于点（2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为6，点P（1，m）是三角形内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）
A．3 B． C．3或 D．3或6
【分析】先根据已知条件确定两个函数解析式，再根据点P（1，m）是三角形内部（包括边上）的一点，求出m的最大值与最小值，即可解决问题．
【解答】解：∵直线y＝k1x+2与y＝k2x+b相交于点（2，0），
∴0＝2k1+2，0＝2k2+b，
解得k1＝﹣1，k2，
∴两直线为y＝﹣x+2与yx+b，
设两直线为y＝﹣x+2与yx+b与y轴分别交于点A，B，
则A（0，2），B（0，b），AB＝|b﹣2|，
∵两直线与y轴围成的三角形面积为6，
∴|b﹣2|×2＝6，
解得b＝8或b＝﹣4，
当b＝8时，两直线为y＝﹣x+2与y＝﹣4x+8，如图，
点P（1，m）是三角形内部（包括边上）的一点，
由图可知，当x＝1时，
m最大值为﹣4×1+8＝4，
m最小值为﹣1+2＝1，
∴m的最大值与最小值之差为4﹣1＝3；
当b＝﹣4时，两直线为y＝﹣x+2与y＝2x﹣4，如图，
点P（1，m）是三角形内部（包括边上）的一点，
由图可知，当x＝1时，
m最大值为﹣1+2＝1，
m最小值为2×1﹣4＝﹣2，
∴m的最大值与最小值之差为1﹣（﹣2）＝3，
综上，m的最大值与最小值之差为3．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，两条直线相交的问题，根据已知条件确定两个一次函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为 　y＝﹣2x+3　．
【分析】设直线l的解析式为y＝kx+b，先根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，再把y＝1代入y＝﹣x+2可确定直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），然后把（1，1）代入y＝﹣2x+b求出b即可．
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，
把y＝1代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝1，解得x＝1，
∴直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），
把（1，1）代入y＝﹣2x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3，
∴直线l的函数解析式为y＝﹣2x+3．
故答案为y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
12．如图，直线l1：y＝﹣2x与直线l2：y＝2x+m交于点P（﹣1，n），l2与x轴、y轴分别交于点A和点B．
（1）m＝　4　；
（2）点C是y轴上一点，当AC+PC的值最小时，点C的坐标为 　（0，）　．
【分析】（1）把点P（﹣1，n）代入y＝﹣2x求出n的值，故可得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y＝2x+m，求出m的值即可；
（2）作点A关于y轴对称点A'，连接A′P，根据两点之间线段最短可知AC+PC的最小，最小值为A′P的长，利用待定系数法求出直线A′P的解析表达式，求出C点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x与直线y＝2x+m交于点P（﹣1，n），
∴n＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴P（﹣1，2），
∴把点P（﹣1，2）代入y＝2x+m，得2＝2×（﹣1）+m，
解得m＝4．
故答案为：4；
（2）如图，作点A关于y轴对称点A'，连接A′P交y轴于点C′，则AC′＝A′C′，
∵两点之间线段最短，
∴当点C与点C′重合时AC+PC最小，最小值为A′P的长，
由（1）知m＝4，
∴直线l2的解析式为y＝2x+4，
∴当x＝﹣2时y＝0，
∴A（﹣2，0），
∴A′（2，0），
设直线A′P的表达式为y＝kx+b，
，当 x＝0时，，
故当AC+PC取最小值时，点C的坐标为（0，）．．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，轴对称﹣最短路线问题，根据题意得出直线A′P的表达式是解题的关键．
13．直线y＝ax+4和直线y＝bx﹣6相交于x轴上的同一点，则的值为 　　．
【分析】分别求出直线y＝ax+4和直线y＝bx﹣6与x轴的交点坐标，即可解决问题．
【解答】解：直线y＝ax+4，当y＝0时，ax+4＝0，
解得：x，
∴直线y＝ax+4与x轴的交点为（，0），
直线y＝bx﹣6，当y＝0时，bx﹣6＝0，
解得：x，
∴直线y＝bx﹣6与x轴的交点为（，0），
∵直线y＝ax+4和直线y＝bx﹣6相交于x轴上的同一点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及两条直线的相交等知识，求出直线与x轴的交点坐标是解题的关键．
14．点P（﹣2，4）关于直线y＝2x﹣4的对称点Q的坐标是 　　．
【分析】设点Q的坐标为（m，n），PQ交直线y＝2x﹣4于点C，直线PQ的表达式为y＝kx+b，根据轴对称的性质得PQ于直线y＝2x﹣4互相垂直，且PC＝QC，则，将，点P（﹣2，4）代入y＝kx+b得直线PQ的表达式为，解方程组，得点C，再根据PC＝QC得，由此解出m，n即可得出点Q的坐标．
【解答】解：设点Q的坐标为（m，n），PQ交直线y＝2x﹣4于点C，如图所示：
设直线PQ的表达式为：y＝kx+b，
∵点P（﹣2，4）和点Q关于直线y＝2x﹣4的对称，
∴PQ于直线y＝2x﹣4互相垂直，且PC＝QC，
∴，
将则，点P（﹣2，4）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴直线PQ的表达式为：，
解方程组，得：，
∴点C，
∵PC＝QC，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的对称变换，一次函数的图象及其交点，理解坐标与图形的对称变换，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，求两个一次函数的交点坐标是解决问题的关键．
15．与直线平行，且经过点（0，2）的一次函数的表达式是 　　．
【分析】设一次函数的表达式是y＝kx+b，利用函数与直线平行得出，再代入点（0，2）得出b的值，即可解答．
【解答】解：由条件可设一次函数的表达式是yx+b，
∵一次函数经过点（0，2），
∴b＝2，
∴一次函数的表达式是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
16．直线y＝kx+b和直线y＝3x+2在y轴上交点相同且过点（2，﹣3），则k+b＝ 　　．
【分析】先求解y＝3x+2与y轴的交点坐标为（0，2），再利用待定系数法求解解析式，进一步可得答案．
【解答】解：当x＝0，则y＝2，
∴y＝3x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
由条件可知b＝2，
∵直线y＝kx+2过（2，﹣3），
∴﹣3＝2k+2，
解得：，
∴；
故答案是：．
【点评】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，一次函数图象与y轴的交点坐标．
17．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是 　　．
【分析】利用一次函数与二元一次方程组之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
方程组的解可看成是函数y＝x+3与函数y＝kx+b图象的交点坐标．
将y＝4代入y＝x+3得，
x＝1，
所以函数y＝x+3与函数y＝kx+b图象的交点P的坐标为（1，4），
所以方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两条直线相交或平行问题及二元一次方程组的解，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．
18．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　　．
【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：由得，
∴A（2，3），
由一次函数，令y＝0，解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴S△AOBOB |yA|3，AB5，
∵当OP⊥AB时，OP最小，
∴此时S△AOBAB OP，
∴5OP＝3，
∴OP最小为，
故答案为：．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．
19．直线1：y＝kx+b与y轴交于点（0，﹣2），且与直线y＝﹣5x+8平行，则直线l的表达式为 　y＝﹣5x﹣2　．
【分析】由直线l与直线y＝﹣5x+8平行，所以设直线l的表达式为y＝﹣5x+b，将（0，﹣2）代入，即可得出答案．
【解答】解：∵直线l与直线y＝﹣5x+8平行，
∴设直线l的表达式为y＝﹣5x+b，
将（0，﹣2）代入，
即﹣2＝b，
∴直线l的表达式为y＝﹣5x﹣2．
故答案为：y＝﹣5x﹣2．
【点评】本题主要考查两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）在第四象限交于点A，若直线l1与x轴的交点为
B（﹣2，0）
（1）若点A的坐标为（1，﹣2），则k＝　　；
（2）k的取值范围是 　k＜0　．
【分析】（1）由待定系数法即可得k的值；
（2）由直线l1与x轴的交点为B（﹣2，0），可得b＝2k，y＝kx+2k，而直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）与y轴的交点坐标为（0，﹣3），根据直线l1与x轴的交点为B（3，0），与直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）在第四象限，可得l1与y轴交点（0，2k）在原点和点（0，﹣3）之间，即可解得：k＜0．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+b与x轴的交点为B（﹣2，0），点A（1，﹣2）在直线l1：y＝kx+b上，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵直线l1与x轴的交点为B（﹣2，0），
∴﹣2k+b＝0，
∴b＝2k，
∴y＝kx+2k，
直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∵直线l1与x轴的交点为B（﹣2，0），与直线l2：y＝ax﹣3（a＞0）在第四象限，
∴l1与y轴交点（0，2k）在原点和点（0，﹣3）之间，即：﹣3＜2k＜0，
解得：k＜0，
故答案为：k＜0．
【点评】本题通过考查一次函数y＝kx+b的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定l1与y轴交点在原点和点（0，﹣3）之间，进而求解．
三．解答题（共10小题）
21．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数的图象上？说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝2x中，得y＝2，
所以点B的坐标为（1，2），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把A（0，3）和B（1，2）代入，得
，
解得，
所以一次函数的解析式是y＝﹣x+3；
（2）点C（4，﹣2）不在该函数的图象上．理由：
当x＝4 时，y＝﹣1≠﹣2，
所以点C （4，﹣2）不在函数的图象上．
（3）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则0＝﹣x+3，
解得x＝3，
则D的坐标是（3，0），
所以S△BOD3×2＝3．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
22．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的小正方形拼成一个大正方形．
解：四个直角三角形其面积都为，边长为c的小正方形的面积为c2
大正方形的面积为（a+b）2，
由图形可知：
整理得2ab+c2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（1）【类比尝试】如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，
求：①△ABC的面积；②BD的长．
（2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
【分析】（1）①根据正方形网格的特点，分别求出S正方形AEFG＝16，S△AEC＝4，S△BCF＝3，S△ABG＝2，进而根据S△ABC＝S正方形AEFG﹣S△AEC﹣S△BCF﹣S△ABG可得出答案；
②由勾股定理求出AC＝2，再根据三角形的面积公式可求出BD的长；
（2）①对于y＝3/4x+6，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝﹣8，由此可得点A和点B的坐标；
②过点C作CD⊥x轴于D，由①得OA＝6，OB＝8，则AB＝10，由三角形的面积公式可求出OC，再由勾股定理求出BC，然后再由三角形的面积公式即可求出CD的长．
【解答】解：（1）①如图2所示：
依题意得：四边形AEFG为正方形，且AE＝4，
∴S正方形AEFG＝AE2＝16，
又∵EC＝CF＝2，BF＝3，BG＝1，
∴S△AECAE EC4×2＝4，S△BCFCF BF2×3＝3，S△ABGAG BG4×1＝2，
∴S△ABC＝S正方形AEFG﹣S△AEC﹣S△BCF﹣S△ABG＝16﹣4﹣3﹣2＝7，
②在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC，
∵BD是△ABC的边AC上的高，
∵S△ABCAC BD，
∴BD；
（2）①对于，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝﹣8，
∴点A（﹣8，0），点B（0，6）；
由①可知：OA＝6，OB＝8，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB10，
∵l2⊥l1，垂足为C，
∴S△OABAB OCOA OB，
∴OC，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC，
∵CD⊥x轴于D，
∴S△OBCOB CDBC OC，
∴，
∴CD．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
23．直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，且在y轴上的截距是﹣6．
（1）直线y＝kx+b对应的函数表达式为　y＝﹣2x﹣6　；
（2）若点P在直线y＝kx+b上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标．
【分析】（1）由两直线平行得y＝﹣2x+b；令x＝0得y＝b，由截距即可求得b的值，从而求得函数解析式；
（2）由点P到x轴的距离为5，得y＝±5，代入直线解析式中，求得x的值，即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝﹣2x+b；
上式中，令x＝0得y＝b；
由题意可得：b＝﹣6，
∴y＝﹣2x﹣6；
故答案为：y＝﹣2x﹣6；
（2）∵由点P到x轴的距离为5，
∴y＝±5，
∴5＝﹣2x﹣6或﹣5＝﹣2x﹣6，
解得：或，
∴点P坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数图象的位置关系，正确记忆平行时两函数解析式的一次项系数相等，求函数解析式，直线与坐标轴的坐标，直线上点的坐标特征是解题关键．
24．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入y＝（2m+1）x+m﹣3可计算出m的值；
（2）根据两直线平行的问题得到2m+1＝3，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝（2m+1）x+m﹣3经过原点，是正比例函数，
∴．
解得：m＝3．
（2）∵函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
解得：m＝1．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
25．现有两条直线L1：y＝kx+b，L2：y＝k2x+b，已知L2与直线y＝4x平行，L1的y随x增大而增大，L1、L2与直线y＝3x﹣4的交点均在x轴下方，求：
（1）k的值；
（2）b的范围．
【分析】（1）由与直线y＝4x平行，可得k＝±2，结合L1：y＝kx+b的y随x增大而增大，可得k＞0，从而可得答案；
（2）分别求解L1、L2与直线y＝3x﹣4的交点坐标，再利用交点均在x轴下方，再建立不等式组求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知：k2＝4，
解得：k＝±2，
∵L1：y＝kx+b的y随x增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝2；
（2）∵k＝2，
∴L1：y＝2x+b，L2：y＝4x+b，
联立，
解得：，
∴（b+4，3b+8）；
同理：，
解得：，
∴（﹣b﹣4，﹣3b﹣16），
由条件可知：，
解得：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的交点坐标，不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m），
∵，即，
解得：m＝±4，
∴点D的坐标为（0，±4）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握以上知识点是关键．
27．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C（2，n），点P为直线上一点．
（1）n＝　　，k＝　　；
（2）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
【分析】（1）将C（2，n）代入，可求，即，将代入y＝kx，可求，然后作答即可；
（2）由直线与x轴交于点A，可求A（3，0），由题意知，，当点P在C的下方时，如图，由，可知P为AC的中点，可求；当点P在C的上方时，如图P1，由，可知C为PP1的中点，进而可求．
【解答】解：（1）由条件可知：，
∴，
将代入y＝kx得，，
解得，，
故答案为：，；
（2）由直线解析式可得A（3，0），
由题意知，，
当点P在C的下方时，如图，
∵，
∴P为AC的中点，
∴；
当点P在C的上方时，如图P1，
∴，
∴C为PP1的中点，
∴；
综上所述，点P的坐标为或．
【点评】本题考查了两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键．
28．如图，直线l1：y＝k1x+b1（k≠0）分别与x轴，y轴相交于点A（﹣5，0）和点B（0，2），直线l2：y＝2x+b2与直线l1相交于点P，与y轴相交于点C，已知点P的纵坐标为3．
（1）求直线l1对应的函数表达式；
（2）求△BCP的面积．
【分析】（1）直角运用待定系数法求出直线l1的解析式；
（2）先求出点P的坐标，然后求得直线l2的解析式，进而求得点C的坐标，然后根据三点坐标求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝k1x+b1（k≠0）分别与x轴，y轴相交于点A（﹣5，0）和点B（0，2），
∴，解得：，
∴直线l1的解析式为：．
（2）∵点P的纵坐标为3，且直线经过P点，
∴，解得：，
∴，
将代入y＝2x+b2，可得：，解得：b2＝﹣2，
∴直线l2的解析式为：y＝2x﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∴△BCP的面积为：．
【点评】本题主要考查了两直线的相交问题、运用待定系数法确定函数的解析式、坐标与图形等知识点，掌握数形结合是解题的关键．
29．如图，已知直线y＝kx+b经过点A（0，5），B（4，1），并与x轴交于点C，与直线y＝2x﹣1相交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED＝2S△AEP，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点A（0，5），B（4，1）代入y＝kx+b得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程组得到D（2，3），设P（m，﹣m+5），根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（0，5），B（4，1）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5；
（2）存在，理由如下：
得，
∴D（2，3），
设P（m，﹣m+5），
∵直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，
∴E（0，﹣1），
∴OE＝1，
∵S△AED＝2S△AEP，
∴AE xD＝2AE xP，
∴6×2＝26 |m|，
∴m＝±1，
∴P（1，4）或（﹣1，6）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一次函数与不等式，正确地求得函数解析式是解题的关键．
30．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求A点坐标 　（6，0）　，B点坐标 　（0，3）　；
（2）求m及△AOC面积；
（3）若点P为x轴上一动点，当S△ACP＝2S△AOC时，则点P坐标为 　（18，0）或（﹣6，0）　．
【分析】（1）中，分别令y＝0，x＝0，构造方程求解即可；
（2）把C（m，4）代入即可求得m，进而求得△AOC面积；
（3）点P（n，0），由S△ACP＝2S△AOC，得，求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则，解得x＝6，
∴A点坐标为（6，0），
中，当x＝0时，y＝3，
∴B点坐标（0，3），
故答案为：（6，0），（0，3）；
（2）把C（m，4）代入解析式可得：
，
∴m＝﹣2，
∴C（﹣2，4），
∵A点坐标为（6，0），
∴△AOC面积为；
（3）点P（n，0），
∵△AOC面积为12，S△ACP＝2S△AOC，
∴S△ACP＝24，
∵A点坐标为（6，0），C（﹣2，4），
∴，
∴n＝18或n＝﹣6，
故答案为：（18，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握掌握一次函数的性质．
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