【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数与二元一次方程（组）（含解析）

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一次函数与二元一次方程（组）
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
4．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．当x＜0时，y1＞y2
B．当x＞2时，y1＞0
C．关于x，y的方程组的解为
D．bn＞0
5．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列说法错误的是（　　）
A．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1
B．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x，y的方程组的解是
8．如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
11．已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　．
12．如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　．
13．如图，在直角坐标系中有两条直线，l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于y轴上的点（0，1），那么方程组的解是　 　．
14．若关于x，y的方程组无解，则函数y＝kx﹣2的图象不经过第 　 　象限．
15．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　 　．
16．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 　．
17．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，a），则方程组的解为 　 　．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象l1与一次函数y＝﹣x+3的图象l2相交于点P，则方程组的解为　 　．
19．已知直线l1：y＝4x+1与直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的交点P的坐标为（2，9），则关于x、y的二元一次方程组的解为 　 　．
20．如图，在同一直角坐标系中，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+5相交于点A（1，n），则方程组的解为 　 　．
三．解答题（共10小题）
21．已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）．
（1）关于x，y的方程组的解为 　 　；
（2）求a，b的值．
22．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
23．已知一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4．
（1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象．
（2）直线y1＝﹣2x+2，y2＝x﹣4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标．
（3）根据图象，写出方程组的解．
24．已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解；
（3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积．
25．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 　 　；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 　 　；
（3）求△ABC的面积．
26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：在y＝a|x﹣1|+b中，下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 1 3 …
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据图象，下列关于该函数性质的说法正确的有 　 　.（填序号）
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1；
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小；
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1；
（4）①若方程组有且只有一个解，则t的取值范围是 　 　；
②已知直线与函数y＝a|x﹣1|+b的图象交于C，D两点，（点C在左侧）求C，D两点的坐标．
27．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　 　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　 　；
（3）当x 　 　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
28．规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，﹣1），C（3，﹣2），请问哪些点是方程3x+y＝5的“理想点”？哪些点不是方程3x+y＝5的“理想点”？并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若是方程x+2y＝4的“理想点”，求2m+n的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝2和kx+2y＝6的“理想点”，求点P的坐标．
29．【教材回顾】
在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）．
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　．
【拓展延伸】
已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值．
30．【材料阅读】二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 　 　；
【拓展应用】
（2）图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于x、y的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解．
一次函数与二元一次方程（组）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故选：A．
【点评】考查了一次函数与二元一次方程（组）方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】将点A的横坐标代入y＝x+4求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+4过点A（﹣1，b）
∴b＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A，
∴关于x、y的方程组的解为：，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．解题的关键是了解二元一次方程组的解与两个二元一次方程整理成的一次函数图象的交点坐标的关系．
3．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
【解答】解：∵点P的纵坐标为8，
∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4，
∴P（4，8），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．当x＜0时，y1＞y2
B．当x＞2时，y1＞0
C．关于x，y的方程组的解为
D．bn＞0
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解．
【解答】解：A、当x＜0时，直线y2＝mx+n在直线y1＝ax+b的上方，则y2＞y1，故结论错误，符合题意；
B、当x＞2时，y1＞3＞0，故结论正确，不符合题意；
C、关于x，y的方程组的解是一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点（2，3），则方程组的解为，故结论正确，不符合题意；
D、两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即b＞0，n＞0，所以bn＞0，故结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
5．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先把P（﹣2，n）代入yx中计算出n的值，从而得到P（﹣2，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【解答】解：把P（﹣2，n）代入yx得n（﹣2）3，
即P（﹣2，3），
∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题．
6．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象，用待定系数法求出两条直线的解析式即可得到答案．
【解答】解：直线l1经过（0，﹣1），（4，﹣2），
设直线l1解析式为y＝kx﹣1，
则﹣2＝4k﹣1，
解得k，
∴直线l1解析式为yx﹣1，
直线l2经过（3，0），（4，﹣2），
设直线l2解析式为y＝k'x+b，
则，
解得，
∴直线l2解析式为y＝﹣2x+6，
∴两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，解题的关键是掌握待定系数法求出两条直线的解析式．
7．如图，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列说法错误的是（　　）
A．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1
B．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，原说法错误，符合题意；
B、关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，正确，不符合题意；
C、当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，正确，不符合题意；
D、关于x，y的方程组的解是，正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
8．如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x﹣1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：由条件可知：b＝3﹣1＝2，
∴P（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
9．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由直线l1：y＝x+2求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝x＝2经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，4），
∴方程组的解是，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】将点点A（﹣1，b）代入l1：y＝x+4得出A（﹣1，3），即可求解．
【解答】解：由条件可知：当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解与交点坐标对应是关键．
二．填空题（共10小题）
11．已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　（﹣3，1）　．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12．如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（3，1），
∴关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．如图，在直角坐标系中有两条直线，l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于y轴上的点（0，1），那么方程组的解是　　．
【分析】根据两条直线交于轴上的点（0，1），于是得到结论．
【解答】解：∵l1：y＝x+1和l2：y＝ax+b，这两条直线交于轴上的点（0，1），
∴方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14．若关于x，y的方程组无解，则函数y＝kx﹣2的图象不经过第 　二　象限．
【分析】根据方程组无解可得k＝1，即可判断y＝kx﹣2图象不经过的象限．
【解答】解：∵，
∴2kx﹣3＝（3k﹣1）x+2，
∴（k﹣1）x＝﹣5，
∵方程组无解，
∴k﹣1＝0，
∴k＝1，
∴y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．
15．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　　．
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
16．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　　．
【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），
∴方程组的解是，
故答案为．
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
17．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，a），则方程组的解为 　　．
【分析】由两条直线的交点坐标（2，a），先求出a，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝2x+1经过P（2，a），
∴a＝2×2+1＝5，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，5），
即，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象l1与一次函数y＝﹣x+3的图象l2相交于点P，则方程组的解为　　．
【分析】根据函数解析式和P的坐标求出a的值，得出P点的坐标，即可得出答案．
【解答】解：从图象可知：两函数图象都过点P（a，2），
把点P的坐标代入一次函数y＝﹣x+3得：2＝﹣a+3，
解得：a＝1，
即P的坐标为（1，2），
所以方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二次一次方程组，能根据交点P的坐标得出答案是解此题的关键．
19．已知直线l1：y＝4x+1与直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的交点P的坐标为（2，9），则关于x、y的二元一次方程组的解为 　　．
【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【解答】解：∵l1：y＝4x+1与直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的交点P的坐标为（2，9），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
20．如图，在同一直角坐标系中，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+5相交于点A（1，n），则方程组的解为 　　．
【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把x＝1代入y＝3x+1求出n值可得出点A坐标，即可得答案．
【解答】解：∵直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+5相交于点A（1，n），
∴n＝3×1+1＝4，
∴A（1，4），
∴方程组的解为．
故答案为：
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共10小题）
21．已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）．
（1）关于x，y的方程组的解为 　　；
（2）求a，b的值．
【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；
（2）将代入方程组，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3），
∴关于x，y的方程组的解为是，
故答案为：；
（2）将代入方程组，得，
解得a＝2，b＝﹣6．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
22．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
【分析】（1）将点P（m，3）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣1，3）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出D点的坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
（4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3）．
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积OC |yp|2×3＝3；
（4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3），
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
23．已知一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4．
（1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象．
（2）直线y1＝﹣2x+2，y2＝x﹣4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标．
（3）根据图象，写出方程组的解．
【分析】（1）利用描点法画出图象即可．
（2）令x＝0，得y1＝2，则可得A（0，2）．令x＝0，得y2＝﹣4，则可得B（0，﹣4）．
（3）求出直线y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的交点坐标，进而可得答案．
【解答】解：（1）画出它们的图象如图所示．
（2）令x＝0，得y1＝2，
∴A（0，2）．
令x＝0，得y2＝﹣4，
∴B（0，﹣4）．
（3）令﹣2x+2＝x﹣4，
解得x＝2，
将x＝2代入y1＝﹣2x+2，得y1＝﹣2，
∴直线y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的交点坐标为（2，﹣2），
∴方程组的解为．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程（组）、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解；
（3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积．
【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式；
（2）先求出点B的坐标，即得方程组的解；
（3）由于S△BPC＝S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，
∴，
解得，
所以直线l的表达式为：y＝2x+4；
（2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6），
∴关于x，y的方程组的解为；
（3）∵点A与点P关于x轴对称，
∴点P（0，﹣4），
∴AP＝4+4＝8，OC＝2，
∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC
8×18×2
＝4+8
＝12．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．熟知待定系数法是解题的关键．
25．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 　　；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 　1＜x＜3　；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：方程组组的解为：；
故答案为：；
（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，
x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（3）∵令x＝0，则y1＝﹣2，y2＝6，
∴A（0，﹣2），B（0，6）．
∴AB＝8．
∴S△ABC8×2＝8．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．
26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：在y＝a|x﹣1|+b中，下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 1 3 …
（1）a＝　2　，b＝　﹣1　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据图象，下列关于该函数性质的说法正确的有 　①③　.（填序号）
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1；
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小；
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1；
（4）①若方程组有且只有一个解，则t的取值范围是 　t＞﹣3　；
②已知直线与函数y＝a|x﹣1|+b的图象交于C，D两点，（点C在左侧）求C，D两点的坐标．
【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，3），（0，1），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入即可求出m，将x＝1代入即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；
（3）根据图象判断即可；
（4）①根据图象得出当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，即可得出方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3；
②
【解答】解：（1）∵函数y＝a|x﹣1|+b的图象经过点（﹣1，3），（0，1），
∴，
解得，
∴y＝2|x﹣1|﹣1，
故答案为：2，﹣1；
（2）函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象如图所示：
（3）根据图象可知，
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1．正确；
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小．错误；
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1．正确；
故答案为：①③；
（4）①把（1，﹣1）代入y＝2x+t得，t＝﹣3，
∴当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，
∴方程组有有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3．
故答案为：t＞﹣3；
②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数y＝a|x﹣1|+b的图象，
由图形可知，C（，），D（3，3）．
【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
27．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　x＞3　；
（3）当x 　≤1　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
【分析】（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象即可求解；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，求出点N、M的坐标，再根据计算即可求解．
【解答】解：（1）由图象可得，交点P的坐标（1，1）是一元二次方程组的解，
故答案为：；
（2）由图象可得，不等式kx+b＜0的解集是x＞3，
故答案为：x＞3；
（3）由图象可得，当x≤1时，kx+b≥mx﹣n，
故答案为：≤1；
（4）把P（1，1），B（3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线l2的解析式为，
∴，
∴，
同理可得直线l1的解析式为y＝2x﹣1，
当y＝0时，0＝2x﹣1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OMPN的面积．
【点评】本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
28．规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，﹣1），C（3，﹣2），请问哪些点是方程3x+y＝5的“理想点”？哪些点不是方程3x+y＝5的“理想点”？并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若是方程x+2y＝4的“理想点”，求2m+n的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝2和kx+2y＝6的“理想点”，求点P的坐标．
【分析】（1）根据“理想点”定义进行判断即可；
（2）根据题意求出m和n的值，进一步求解即可；
（3）解二元一次方程组，得出，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可．
【解答】解：（1）点B是方程3x+y＝5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y＝5的“理想点”，理由如下：
∵x＝﹣2，y＝2时，3x+y＝3×（﹣2）+2＝﹣6+2＝﹣4≠5，
x＝2，y＝﹣1时，3x+y＝3×2+（﹣1）＝6﹣1＝5，
x＝3，y＝﹣2时，3x+y＝3×3﹣2＝9﹣2＝7≠5，
∴点B是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点C不是方程2x+3y＝6的“理想点”；
（2）把代入方程x+2y＝4，
得2|n|＝4，
又∵，
解得，
∵m，n为非负整数，
∴m＝4，n＝1，
∴2m+n＝8+1＝9，
∴±±3；
（3）根据题意，得，
解得，
∵x是整数，
∴k﹣4＝±2或k﹣4＝±1，
∵y是整数，
∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2或k﹣4＝±4，
∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2，
当k﹣4＝1时，，
当k﹣4＝﹣1时，，
当k﹣4＝2时，，
当k﹣4＝﹣2时，，
综上，P点坐标为（2，﹣2）或（﹣2，6）或（1，0）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键．
29．【教材回顾】
在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）．
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（1，2）　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　．
【拓展延伸】
已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值．
【分析】（1）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程2x+y＝4和x﹣y＝﹣1的左右两边相等，然后过两点画直线即可；
（2）观察图象，找出（2）中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案；
（3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7，解方程组可得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为（1，2），由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：（1，2），；
（3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7得：
，
解得：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象．
30．【材料阅读】二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 　　；
【拓展应用】
（2）图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于x、y的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解．
【分析】（1）根据二元一次方程组与一次函数的关系求解；
（2）先根据一次函数的性质确定方程组中的方程与那条直线对应，再根据方程组与一次函数的关系求解．
【解答】解：（1）如图②直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1相交于点（1，2），
故答案为：；
（2）根据一次函数的性质得：l1的解析式为：y＝﹣2x+4，
l2的解析式为：y＝﹣m（x﹣2）﹣3，过点（2，﹣3），
∴关于x、y的二元一次方程组解为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
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