【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数与一元一次方程（含解析）

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一次函数与一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
2．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　）
x … ﹣1.5 0 1 2 …
y … 6 3 1 ﹣1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程kx+b＝﹣1的解是x＝2
D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
3．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax＝2a﹣b的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
4．若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2，则直线y＝2x+b一定经过点（　　）
A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1）
5．若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5
6．已知一次函数y＝3x+n的图象如图所示，则方程3x+n＝0的解可能是（　　）
A．x＝1.3 B． C． D．x＝﹣1
7．直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若OA＝5，OB＝4，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣5 C．x＝4 D．x＝5
8．若关于x的方程2x﹣b＝0的解为x＝1，则直线y＝2x﹣b一定经过点（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
9．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且kb≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣8 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝8
二．填空题（共10小题）
11．已知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣2，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是　 　．
12．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，方程kx+b＝3的解是 　 　．
13．一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（2，0），则一元一次方程kx+b＝0的解是 　 　．
14．若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣2）和，则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为 　 　．
15．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 　 　．
16．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 　．
17．若关于x的方程ax﹣b＝5的解为x＝2，则直线y＝ax﹣b一定经过点 　 　．
18．若直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），过点A（3，2），则关于x的方程kx+2k+b＝2的解为　 　．
19．直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A（﹣2，0）在直线l上．请写出方程kx+b＝0的解 　 　．
20．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图，则方程kx+b＝0的解是 　 　．
三．解答题（共10小题）
21．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程（k+3）x+b＝0，直接写出方程的解．
22．根据一次函数y＝kx+b的图象，写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解是 　 　；
（2）关于x的方程kx+b＝﹣3的解是 　 　；
（3）当x≥0时，y的取值范围是 　 　．
23．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　 　与 　 　；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　 　；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
24．某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝1．
（1）a＝　 　，k＝　 　，b＝　 　；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：
　 　；
（4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解．
25．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　 　与 　 　；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　 　；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
26．如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解；
（3）若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围．
27．某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝1．
（1）a＝　 　，k＝　 　，b＝　 　；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：　 　．
（4）根据函数图象，关于x的方程kx+b＝﹣x+m（x≥0）有解，m的取值范围为 　 　．
28．阅读理解：
例：若（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式，求k的值．
解：设x3+3x2﹣8x+k＝A（x﹣2），
若x﹣2＝0时，则有x3+3x2﹣8x+k＝0，
将x＝2代入x3+3x2﹣8x+k＝0，得
8+12﹣16+k＝0，
解得k＝﹣4．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若（x+1）是多项式x2﹣4x+k的一个因式，求k的值；
（2）若可化为整式，求化简后的整式；
（3）若（x﹣1）和（x﹣2）是多项式x4+mx3+nx﹣16的两个因式，且直线y＝（k﹣m）x﹣n+k不经过第二象限，求k的取值范围．
29．已知一次函数y＝x+3，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：
①求方程x+3＝0的解；
②当﹣2≤y≤6时，求x的取值范围．
30．阅读与思考
材料1：点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为．例如：点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为，即（2，2）．
材料2：一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2的图象相互垂直，则k1 k2＝﹣1．例如：直线l1：y＝2x+3与直线l2：y＝kx+2互相垂直，于是2k＝﹣1，解得．
如图，在等腰△AOB中，OB＝AB，点A的坐标为（4，2），BC⊥OA，根据以上两则材料的结论，解答以下问题：
（1）求点C的坐标．
（2）求直线BC的表达式．
一次函数与一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程3x＝ax+b的解．
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），
∴关于x的方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：两直线的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解．
2．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　）
x … ﹣1.5 0 1 2 …
y … 6 3 1 ﹣1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程kx+b＝﹣1的解是x＝2
D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣2x+3，再逐个判断即可．
【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y＝kx+b得，
解得：k＝﹣2，b＝3，
即函数的解析式是y＝﹣2x+3，
A．∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k＝﹣2，b＝3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当y＝﹣1时，﹣2x+3＝﹣1，
解得：x＝2，
即方程kx+b＝﹣1的解是x＝2，故本选项符合题意；
D．∵b＝3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
3．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax＝2a﹣b的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】由直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，可得b＝﹣a，故ax＝3a，即可得答案．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，
∴0＝a+b，
∴b＝﹣a，
∴ax＝2a﹣（﹣a），即ax＝3a，
∵a≠0，
∴x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求出b＝﹣a．
4．若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2，则直线y＝2x+b一定经过点（　　）
A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1）
【分析】由方程的解是x＝2可得b＝﹣4，即得y＝2x﹣4，再把各选项x代入计算求出y的值即可判断求解．
【解答】解：由条件可知4+b＝0，
∴b＝﹣4，
∴直线y＝2x﹣4，
当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝﹣2；
∴直线y＝2x+b一定经过点（2，0），
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元一次方程解的定义及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5
【分析】由y＝k（x﹣7）﹣b与y＝kx﹣b可得直线y＝kx﹣b向右平移7个单位得到直线y＝k（x﹣7）﹣b，从而可得直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标，进而求解．
【解答】解：直线y＝k（x﹣7）﹣b是由直线y＝kx﹣b向右平移7个单位所得，
∵y＝kx﹣b与x轴交点为（﹣3，0），
∴直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标为（4，0），
∴k（x﹣7）﹣b＝0的解为x＝4，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．
6．已知一次函数y＝3x+n的图象如图所示，则方程3x+n＝0的解可能是（　　）
A．x＝1.3 B． C． D．x＝﹣1
【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝3x+n的图象与x轴的交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴方程3x+n＝0的解可能是在﹣1和0之间．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
7．直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若OA＝5，OB＝4，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣5 C．x＝4 D．x＝5
【分析】根据直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点位置，得到交点坐标，从而得到方程kx+b＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，OA＝5，OB＝4，
∴点A坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，4），
∴直线y＝kx+b，当y＝0时，x＝﹣5，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．若关于x的方程2x﹣b＝0的解为x＝1，则直线y＝2x﹣b一定经过点（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】根据方程可知x＝1时，y＝0，即直线过点（1，0）．
【解答】解：由方程解可知：直线y＝2x﹣b一定经过某点的坐标为（1，0），
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．
9．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，所以①③正确；
∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a＜0，所以②错误；
∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，能利用函数图象求解是解题的关键．
10．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且kb≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣8 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝8
【分析】根据一次函数的图象看出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣8，0），再根据交点坐标得出方程的解即可．
【解答】解：从图象可知：直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣8，0），
所以关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，能正确根据一次函数的图象得出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是解此题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．已知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣2，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是　（﹣2，0）　．
【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y＝mx+n的y值为0，则mx+n＝0；已知此方程的解为x＝﹣2．因此可得答案．
【解答】解：∵方程的解为x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时mx+n＝0；
又∵直线y＝mx+n与x轴的交点的纵坐标是0，
∴当y＝0时，则有mx+n＝0，
∴x＝﹣2时，y＝0．
∴直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．
任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
12．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，方程kx+b＝3的解是 　x＝2　．
【分析】直接利用函数图象即可得出答案．
【解答】解：由函数图象可知：当x＝2时y＝kx+b＝3，
所以关于x的方程kx+b＝3的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，能直接利用函数图象得出方程的解是解题的关键．
13．一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（2，0），则一元一次方程kx+b＝0的解是 　x＝2　．
【分析】利用自变量x＝2时，对应的函数值为0可确定方程kx+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于（2，0），
∴关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
14．若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣2）和，则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为 　x　．
【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（，0），
∴方程ax+b＝0的解是x，
故答案为：x．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
15．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 　x＝﹣2　．
【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可．
【解答】解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4），
∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解．
16．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　x＝﹣2　．
【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
17．若关于x的方程ax﹣b＝5的解为x＝2，则直线y＝ax﹣b一定经过点 　（2，5）　．
【分析】根据方程可知当x＝2，y＝5，从而可判断直线经过点（2，5）．
【解答】解：由方程可知：当x＝2时，4x﹣b＝5，即当x＝2，y＝5，
∴直线y＝4x﹣b的图象一定经过点（2，5）．
故答案为：（2，5）．
【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
18．若直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），过点A（3，2），则关于x的方程kx+2k+b＝2的解为　x＝1　．
【分析】根据直线y＝kx+b过点A（3，2），得出2＝3k+b，把2＝3k+b代入方程kx+2k+b＝2，整理得出k（x﹣1）＝0，根据k≠0，得出x﹣1＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b过点A（3，2），
∴2＝3k+b，
把2＝3k+b代入kx+2k+b＝2得：kx+2k+b＝3k+b，
整理得：k（x﹣1）＝0，
∵k≠0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
19．直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A（﹣2，0）在直线l上．请写出方程kx+b＝0的解 　x＝﹣2　．
【分析】方程kx+b＝0的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标．
【解答】解：∵点A（﹣2，0）在直线l上．
∴函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标A为（﹣2，0），
∴函数图象与x轴的交点A横坐标为﹣2，
则方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，明确方程kx+b＝0的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标是解题的关键．
20．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图，则方程kx+b＝0的解是 　x＝2　．
【分析】数形结合解答即可．
【解答】解：由函数图象可知，方程kx+b＝0的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，能根据题利用数形结合求解是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程（k+3）x+b＝0，直接写出方程的解．
【分析】（1）将点P（m，3）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣1，3）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出D点的坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
（4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积；
（4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3），所以方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握待定系数法是关键．
22．根据一次函数y＝kx+b的图象，写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解是 　x＝2　；
（2）关于x的方程kx+b＝﹣3的解是 　x＝﹣1　；
（3）当x≥0时，y的取值范围是 　y≥﹣2　．
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出y＝﹣3时对应的自变量的值即可
（3）利用函数图象写出x≥0时对应的函数值取值范围即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
当y＝0时，x＝2，
即kx+b＝0时，x＝2，
故答案为：x＝2；
（2）由图象可得，
当y＝﹣3时，x＝﹣1，
即kx+b＝﹣3时，x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1；
（3）根据图象可知：当x≥0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　（1，3）　与 　（3，1）　；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　﹣4　；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴或，
∴或，
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
24．某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝1．
（1）a＝　4　，k＝　2　，b＝　﹣2　；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：
　当x≥0时，y随着x的增大而增大　；
（4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解．
【分析】（1）根据待定系数求解即可；
（2）根据利用两点法作出图象即可；
（3）根据图象写出一条性质即可；
（4）作出直线y＝﹣x+4，根据直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2）即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＜0时，，当x＝﹣4，输出y＝﹣1；
∴，
∴a＝4；
∴当x＜0时，，
当x≥0时，y＝kx+b，输入，输出y＝﹣1；
输入，输出y＝1．
∴，
解得，
∴当x≥0时，y＝2x﹣2，
故答案为：4，2，﹣2
（2）当x＝0时，y＝2x﹣2＝﹣2，
当y＝0时，0＝2x﹣2，
解得x＝1，
得到点（0，﹣2），（1，0），根据x≥0即可作出函数图象如下：
（3）该函数的性质：当x≥0时，y随着x的增大而增大；
故答案为：当x≥0时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）如图，
根据函数图象，直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2），
∴关于x的方程kx+b＝﹣x+4解为x＝2．
【点评】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
25．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　（1，3）　与 　（3，1）　；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　﹣4　；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴或，
∴或，
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
26．如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解；
（3）若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，即可求解；
（2）当直线l经过原点时，确定m＝1，直线l的解析式为y＝x，联立两个一次函数即可得出交点坐标，确定方程的解；
（3）根据题意得出直线l恒过点（3，3），再分当直线l经过A（2，0）时，当直线l经过B（0，4）时，结合图象求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），B（0，4）；
（2）当直线l经过原点时，
将点（0，0）代入得：0＝0﹣3m+3，
解得：m＝1，
直线l的解析式为y＝x，
联立两个一次函数：，解得，
∴交点坐标为，
∴方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解为；
（3）直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3＝m（x﹣3）+3，
∴直线l恒过点（3，3），
A（2，0），B（0，4），
当直线l经过A（2，0）时，0＝2m﹣3m+3，解得m＝3；
当直线l经过B（0，4）时，4＝﹣3m+3，解得；
∴且m≠0．
【点评】题目主要考查一次函数与一元一次方程，一次函数图象与系数的关系，理解题意，结合图象，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键．
27．某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝1．
（1）a＝　4　，k＝　2　，b＝　﹣2　；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：　当x≥0时，一次函数y随x的增大而增大　．
（4）根据函数图象，关于x的方程kx+b＝﹣x+m（x≥0）有解，m的取值范围为 　m≥﹣2　．
【分析】（1）将满足条件的数据代入两个解析式即可得到a、k、b的值；
（2）画出一次函数图象即可；
（3）写出一条一次函数性质即可；
（4）根据图象可知关于x的方程kx+b＝﹣x+m（x≥0）有解，m需大于等于﹣2．
【解答】解：（1）当输入x＝﹣4，输出y＝﹣1满足反比例函数解析式，
∴a＝﹣4×（﹣1）＝4，
当输入x，输出y＝﹣1；输入x，输出y＝1满足一次函数解析式，
，解得，
故答案为：4；2；﹣2．
（2）由（1）可知，一次函数解析式为y＝2x﹣2，函数图象如下：
（3）当x≥0时，一次函数y随x的增大而增大；
故答案为：当x≥0时，一次函数y随x的增大而增大．
（4）根据函数图象，关于x的方程kx+b＝﹣x+m（x≥0）有解，m的取值范围为m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程、函数的图象，熟练掌握一次函数性质是关键．
28．阅读理解：
例：若（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式，求k的值．
解：设x3+3x2﹣8x+k＝A（x﹣2），
若x﹣2＝0时，则有x3+3x2﹣8x+k＝0，
将x＝2代入x3+3x2﹣8x+k＝0，得
8+12﹣16+k＝0，
解得k＝﹣4．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若（x+1）是多项式x2﹣4x+k的一个因式，求k的值；
（2）若可化为整式，求化简后的整式；
（3）若（x﹣1）和（x﹣2）是多项式x4+mx3+nx﹣16的两个因式，且直线y＝（k﹣m）x﹣n+k不经过第二象限，求k的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣1代入x2﹣4x+k＝0，解得即可；
（2）分子a2+b2+1+4a中一定有一个因式（a+3），把a＝﹣3代入a2+b2+1+4a＝0，可得b2＝2，代入得到，化简得到a+1；
（3）把x＝1和x＝2分别代入x4+mx3+nx﹣16，可得方程1+m+n﹣16＝0，16+8m+2n﹣16＝0，联立方程组可得，则直线为y＝（k+5）x﹣20+k，由直线y＝（k+5）x﹣20+k不经过第二象限，即可得到，解得﹣5＜k≤20．
【解答】解：（1）∵（x+1）是多项式x2﹣4x+k的一个因式，
∴把x＝﹣1代入x2﹣4x+k＝0得：1+4+k＝0，
解得：k＝﹣5；
（2）由题意可知：分子a2+b2+1+4a中一定有一个因式（a+3），
当a＝﹣3时，a2+b2+1+4a＝0，即9+b2+1﹣12＝0，b2＝2，
∴
＝a+1；
（3）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
∴当x＝1时，得1+m+n﹣16＝0，
当x＝2时，得16+8m+2n﹣16＝0，
即：，
解得：，
∴直线为y＝（k+5）x﹣20+k，
∵直线y＝（k+5）x﹣20+k不经过第二象限，
∴，
解得：﹣5＜k≤20．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次方程，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．
29．已知一次函数y＝x+3，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：
①求方程x+3＝0的解；
②当﹣2≤y≤6时，求x的取值范围．
【分析】（1）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后画出函数图象即可；
（2）①根据函数图象得出方程的解即可；
②根据图像，得到当﹣2≤y≤6时，x的取值范围即可．
【解答】解：（1）一次函数y＝x+3与y轴交点坐标为（0，3）与x轴交点坐标为（﹣3，0），函数图象如下：
（2）①由函数图象可知，方程x+3＝0的解为x＝﹣3，
②当﹣2≤y≤6时，x的取值范围为﹣5≤x≤3．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答．
30．阅读与思考
材料1：点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为．例如：点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为，即（2，2）．
材料2：一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2的图象相互垂直，则k1 k2＝﹣1．例如：直线l1：y＝2x+3与直线l2：y＝kx+2互相垂直，于是2k＝﹣1，解得．
如图，在等腰△AOB中，OB＝AB，点A的坐标为（4，2），BC⊥OA，根据以上两则材料的结论，解答以下问题：
（1）求点C的坐标．
（2）求直线BC的表达式．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出点C是OA的中点，根据材料1即可求得点C的坐标；
（2）求得直线OA的解析式为y，根据材料2即可得到直线BC的x的系数为﹣2，然后代入点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式．
【解答】解：（1）在等腰△AOB中，OB＝AB，BC⊥OA，
∴OC＝AC，
∵点A的坐标为（4，2），
∴C（2，1）；
（2）∵点A的坐标为（4，2），
∴直线OA的解析式为y，
∵BC⊥OA，
∴设直线BC的解析式为y＝﹣2x+b，
把点C（2，1）代入得，1＝﹣4+b，
∴b＝5，
∴直线BC的表达式为y＝﹣2x+5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）利用中点坐标公式求出点D的坐标；（2）利用k1 k2＝﹣1求得直线BC的自变量的系数．
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