【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数综合题（二）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数综合题（二）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-31 11:18:50 | ||
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文档简介
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一次函数综合题（二）
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（ ）个．
（1）△OBC≌△ABD；
（2）∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；
（3）点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是（0，）；
（4）当点C的坐标为（m，0）（m＞1）时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为Sm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2011B2011C2011C2010的面积为（ ）
A．5 B．5
C．5 D．5
3．如图，P为正比例函数y＝2x图象上的一个动点，⊙P的半径为2，圆心P从点（﹣3，﹣6），开始以每秒1个单位的速度沿着直线y＝2x运动，当⊙P与直线x＝2相切时，则该圆运动的时间为（ ）秒．
A．2 B． C．2或6 D．
4．如图，直线yx+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线yx+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（ ）
A．（，） B．（，11） C．（2，2） D．（，）
7．等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数yx+4的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD一定是平行四边形；
②四边形ABCD可能是菱形；
③四边形ABCD可能是矩形；
④四边形ABCD可能是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
10．如图，直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共10小题）
11．如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
①请求出此时顶点C的坐标；
②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为 ；
③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小值 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接CP，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为 秒．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是 ．
14．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3，…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是 ．
16．如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线yx+5交于点M，与直线yx交于点N，边CD与直线yx+5交于点P，与直线yx交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 ．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
18．如图，直线AC与函数y（×＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）k的值为 ；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，则点D的坐标为 ；
（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y（x＜0）的图象上，则点D的坐标为 ．
19．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ．
20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段MD，MQ，DQ所围成的图形的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）函数与y1的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）．
22．阅读以下材料，完成问题．
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若，则∠A＝45°；若，则∠C＝30°．
（1）小试牛刀：如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1．则BC＝ ；
（2）问题探究：如图3，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，点E是线段BD上一点，求的最小值；
（3）问题解决：
如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B，点，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等边△OPQ．连接OQ、CQ，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
23．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（3）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标．
24．如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
25．如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边．若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在y轴上有一点C（0，8），在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当△COD的面积为16时，确定直线CD的表达式；
（3）若点P为点B上方y轴上的点，在直线AB上是否存在点Q使得△PQB与△AOB全等，若存在，求出此时点Q的坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标；
（3）点M为直线l1上的动点，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上的一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的横坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数综合题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（ ）个．
（1）△OBC≌△ABD；
（2）∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；
（3）点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是（0，）；
（4）当点C的坐标为（m，0）（m＞1）时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为Sm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）易证∠OBC＝∠ABD，即可证明△OBC≌△ABD（SAS），即可解题；
（2）根据（1）容易得到∠OAB＝60°，可得∠DAC＝60°，可得∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；即可证明该结论错误；
（3）根据∠OAE＝60°，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE＝2，从而得到E的坐标是固定的．
（4）根据△OBC≌△ABD，可得四边形ABDC的面积S＝S△ACD+S△ABD＝S△ACD+S△OBC，即可解题．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正确；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD＝∠BOC＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；（2）错误；
（3）∵∠DAC＝60°，
∴∠OAE＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴AE＝2OA＝2，
∴OE，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）；（3）正确；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴AD＝OC＝m，
∵△ABO是等边三角形，∠DAC＝60°，
∴∠OBF＝30°，∠ADH＝30°，
过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DH⊥x轴于H，
∴BFOF＝OB1，
DHAH＝ADm，
∴四边形ABDC的面积S＝S△ACD+S△ABD＝S△ACD+S△OBC
AC ADOB OC
（m﹣1）m1×m
m2，故（4）错误；
故选：B．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，等边三角形的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△OBC≌△ABD是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2011B2011C2011C2010的面积为（ ）
A．5 B．5
C．5 D．5
【分析】先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB＝2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC，
∴∠ABA1＝90°，∠DAO+∠BAA1＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
在△AOD和A1BA中，
∵，
∴△AOD∽△A1BA，
∴2，
∴BC＝2A1B，
∴A1CBC，
以此类推A2C1A1C，A3C2A2C1即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2011个正方形的边长为（）2011BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC＝AD，
∴正方形A2011B2011C2011C2010的面积为[（）2011BC]2＝5×（）4022＝5×（）2011．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到正方形的性质及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，属规律性题目．
3．如图，P为正比例函数y＝2x图象上的一个动点，⊙P的半径为2，圆心P从点（﹣3，﹣6），开始以每秒1个单位的速度沿着直线y＝2x运动，当⊙P与直线x＝2相切时，则该圆运动的时间为（ ）秒．
A．2 B． C．2或6 D．
【分析】分两种情况：⊙P在直线x＝2的左边和⊙P在直线x＝2的右边两种情况．下面以第一种情况为例，分析一下解题思路：如图1，通过相似三角形：△AQ′P′∽△AQP，的对应边成比例得到比例式，即，从而求得AP′＝2，则易求PP′的长度．同理，当⊙P在直线x＝2的右边时，可以求得PP′的另一长度．
【解答】解：设直线y＝2x与x＝2交于点A．则A（2，4）．
∵P（﹣3，﹣6），
∴AP＝5．
假设⊙P与直线x＝2相切于点Q′，连接P′Q′．则P′Q′⊥AQ′．
过点P作PQ⊥AQ′于点Q．则P′Q′∥PQ．
∴△AQ′P′∽△AQP，
∴，，
解得AP′＝2，
①如图1，当⊙P在直线x＝2的左边时．
PP′＝AP﹣AP′＝3，
则该圆运动的时间为31＝3（秒）；
②如图2，当⊙P在直线x＝2的右边时．
PP′＝AP+AP′＝7，
则该圆运动的时间为71＝7（秒）；
综上所述，该圆运动的时间为3秒或7秒．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，主要利用了直线与圆相切时圆心与直线的距离关系，难度不大，难点在于要分⊙P在直线x＝2的左边与右边两种情况进行讨论．
4．如图，直线yx+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线yx+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解法一、过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥x轴于F，则∠MEO＝∠NFO＝90°，根据全等三角形的性质求出ME＝NF，OE＝OF，设N的坐标是（x，x+3），M点的坐标是（a，﹣x），根据M点也在直线yx+3上求出ax﹣4，求出x，求出NF和OF，再解直角三角形求出答案即可；
解法二、过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DNx+3，OD＝﹣x，求出OA＝4，OB＝3，由勾股定理求出AB＝5，由三角形的面积公式得出AO×OB＝AB×OC，代入求出OC，根据sin45°求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（﹣x）2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON求出即可．
【解答】解：解法一、过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥x轴于F，则∠MEO＝∠NFO＝90°，
∵∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE＝∠NOF＝90°﹣∠EON，
在△NFO和△MEO中
，
∴△NFO≌△MEO（AAS），
∴ME＝NF，OE＝OF，
∵点N在直线yx+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
设M点的坐标是（a，﹣x），
∵M点也在直线yx+3上，
∴﹣xa+3，
解得：ax﹣4，
∵EM＝NF，
∴x﹣4x+3，
解得：x，
∴OF，NF（）+3，
∴tan∠AON；
解法二、过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线yx+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DNx+3，OD＝﹣x，
yx+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
即OA＝4，OB＝3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB＝5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB＝AB×OC，
∴3×4＝5OC，
OC，
∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°，
∴∠MNO＝45°，
∴sin45°，
∴ON，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2＝ON2，
即（x+3）2+（﹣x）2，
解得：x1，x2，
∵N在第二象限，
∴x只能是，
x+3，
即ND，OD，
tan∠AON．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），
∴方程组的解为，
故①正确；
把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得
，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：yx+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确；
把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1，
yx+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD3×2＝3，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则
，解得，
∴yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（ ）
A．（，） B．（，11） C．（2，2） D．（，）
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，根据M的坐标求得k为，进一步得出k′为，通过证得△COE≌△OAD，得出CE＝OD，OE＝AD，所以设A（a，b），则C（﹣b，a），然后根据待定系数法求得直线AC的斜率为，从而得出，整理得b＝7a，然后在RT△AOD中，根据勾股定理得出（7a）2+a2＝128，解得a，b．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，
∵点M（﹣3，4），
∴4＝﹣3k，
∴k，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴k′为，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠COE＝∠OAD，
在△COE和△OAD中，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝AD，
设A（a，b），则C（﹣b，a），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∴
解得m，
∴，
整理得，b＝7a，
∵正方形面积为128，
∴OA2＝128，
在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，
解得，a，
∴b＝7a＝7，
∴A（，），
故选：D．
解法二：
解：设yOB＝kx，
把M（﹣3，4）代入求得k，
∴yOBx，
设P（a，a），则OPa，
在正方形ABCO中，OB＝2OPa，
∴aa128，
∴a，
∴AP＝OP＝8，
作PQ⊥x轴，AN⊥x轴，PH⊥AN，则PQ＝PH，PO＝PA，
∴△APH≌△OPQ，
∴OQ＝AH，PQ＝PH，
∴ON，AN，
∴A（，），
故选：D．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线AC的斜率列出方程是本题的关键．
7．等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【分析】设BC＝z，则y＝2x+z．根据z＞0，利用不等式的性质得出y＞2x，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出2x＞z，利用不等式的性质得到y＜4x，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出3x＜y＜4x，即可判断③；分别求出点M、点N所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则zx，
∵12，AB＝x＞0，
∴xx＜2x，
∴3x＜2xx＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数yx+4的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD一定是平行四边形；
②四边形ABCD可能是菱形；
③四边形ABCD可能是矩形；
④四边形ABCD可能是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，可作判断；
②根据BC＝AB列方程，方程有解在0～4之间，由此可作判断；
③当A与B的横坐标相等时，四边形ABCD是矩形，此种情况存在，可作判断；
④在矩形的基础上，计算AD与AB不相等，可作判断．
【解答】解：①如图1，∵BC⊥y轴，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故①正确；
②设B（m，m+2），则C（，m+2），
BC＝m﹣（），
当BC＝AB时，四边形ABCD是菱形，
∴（）2＝（m﹣3）2+（m+2）2，
89m2+1032m﹣432＝0，
（m+12）（89m﹣36）＝0
解得：m1＝﹣12（不符合题意），m2，
∴存在BC＝AB的情况，
即四边形ABCD可能是菱形，
故②正确；
③如图2，点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，
∴存在点B的横坐标为3，此时四边形ABCD是矩形，
故③正确；
④当x＝3时，y2，
此时AD＞AB，如图2所示，
∴四边形ABCD不为正方形，
故④错误，不符合题意；
本题正确的结论有：①②③．
故选：A．
【点评】本题反比例函数与四边形的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟知特殊四边形的判定．
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k，
即直线CD的解析式是yx+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
10．如图，直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故选：B．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
①请求出此时顶点C的坐标；
②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为 ；
③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小值 ．
【分析】（1）要求A坐标，则需求OA长度，连接AC，△OAC为等腰直角三角形，所以求出AC即可得出OA，再根据已知条件，可以DE和AE为边构造矩形DEAG，从而利用勾股定理求出AC长度，进而得解；
（2）①过C作CM⊥y轴于M，过A作AN⊥y于N，证明△COM≌△OAN得到，即可得到点C的坐标；
②当△AOP为直角三角形时，点P是AC与BD交点，根据正方形的性质求解即可；
③点Q（m，﹣2）在直线y＝﹣2上运动，当PQ垂直直线y＝﹣2时点P与点Q距离的最小．
【解答】解：（1）解法一：如图，以DE和AE为边构造矩形DEAG，连接AC，
∵DE＝10，AE＝6，
∴AG＝DE＝10，DG＝AE＝6，
∵CD＝18，
∴CG＝CD+DG＝24，
在Rt△ACG中，AC26，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝OC，
在Rt△OAC中，OA2+OC2＝AC2，
∴OA＝13．
解法二：如图，过D作DH⊥OC于点H，过E作EG⊥OA于点G，GE延长线交DH于点F，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠COA＝90°，
∵DH⊥OC，EG⊥OA，
∴∠CHP＝∠OHP＝∠FGO＝∠FGA＝90°，
∴四边形OGFH是矩形，
∴FG＝OH，GO＝FH，∠GFH＝∠DFE＝90°，
∵CD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠CDH＝∠DEF＝90°﹣∠FDE，∠EAG＝∠DEF＝90°﹣∠GEA，
∴∠CDH＝∠DEF＝∠EAG，
∵∠PHC＝∠EGA＝∠EFD＝90°，
∴△PHC∽△EFD∽△AGE，
∴，，
∵CD＝18，DE＝10，AE＝6，
∴，，
∴设GE＝3a，AG＝3b，则DF＝5a，EF＝5b，CH＝9a，DH＝9b，
∴OH＝FG＝EF+EG＝5b+3a，OG＝HF＝DH﹣DF＝9b﹣5a，
∴OC＝HC+OH＝9a+5b+3a＝12a+5b，OA＝AG+OG＝3b+9b﹣5a＝12b﹣5a，
∴OC＝OA＝12a+5b＝12b﹣5a，
解得，
在Rt△AGE中GE2+AG2＝AE2，
∴（3a）2+（3b）2＝62，
∴，
∴（负值不合题意，已舍去），
∴，
∴，
∴点A的坐标；
（2）①如图，过C作CM⊥y轴于点M，过A作AN⊥y轴于点N，则∠ANO＝CMO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠COM＝∠OAN＝90°﹣∠AON，
∴△COM≌△OAN（AAS），
∴OM＝AN，CM＝ON，
∵点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
∴AN＝OM＝12，
由（1）知，
∴，
∴，
∵点C在三象限，
∴；
②连接OB，
∴∠OAP＝45°，AC和OB互相垂直且平分，
∵△AOP为直角三角形，
∴第一种情况：当∠AOP＝90°时，点P与点C重合，此时不合题意，故舍去；
第二种情况：当∠APO＝90°时，点P为对角线AC和OB的交点，此时点P为AC中点，
∵，
∴AC中点，
∴点P的纵坐标为；
故答案为：；
③∵点Q（m，﹣2）在直线y＝﹣2上运动，
∴当PQ垂直于直线y＝﹣2时，点P与点Q距离的最小，此时最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接CP，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为 或或 秒．
【分析】分PB′平行于x轴时，PB′平行于y轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出t的值．
【解答】解：∵直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A（4，0），点B（0，3），
∵点C是线段OB的中点，
∴C（0，），
∴OC＝BC，
①PB′平行于y轴时，
∵PB′平行于y轴，
∴∠2＝∠3，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BP＝BC，
∴t；
②PB′平行于x轴时，又分两种情况，如图：
PB′平行于x轴时，过点C作CD∥x轴交AB于D，
∴PB′∥CD∥x轴，
∴∠1＝∠B′，∠2＝∠OAB，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA＝∠B′，CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴∠1＝∠OBA，
∵∠OBA+∠OAB＝∠AOB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠AOB＝90°，
∴△CDE∽△BOA，
，
∵点C是线段OB的中点，OA＝4，CD∥x轴，
∴CD＝2，
∵OB＝3，AB5，
∴CE，
∵PB′∥CD，
∴，
∵CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴，
∴t；
PB′平行于x轴时，过点C作CD∥x轴交AB于D，
∴PB′∥CD∥x轴，
∴∠AOB＝∠CEB′＝90°，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA＝∠B′，CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴△B′EC∽△BOA，
∴，
∵OB＝3，AB＝5，
∴B′E，
∴CE，
∵PB′∥CD，
∴，
∵点C是线段OB的中点，OA＝4，CD∥x轴，
∴CD＝2，
∴，
∴PE，
∴PB′＝PE+B′E，
∴t；
综上，t的值为或或．
故答案为：或或．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是 （，） ．
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，由两点坐标公式求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
∴a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
∴点D（3，2）
∴PC＝PD，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k，
即直线CD的解析式是yx+3，
∴组成方程组
解得：
∴点Q（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
14．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3，…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是 ．
【分析】根据一次函数的知识求出B的坐标，再根据等边三角形知识求出A1坐标，结合题意求出AB1和A1B的解析式，进而求出C1的纵坐标，以此类推总结规律得出 n纵坐标，利用规律求出C2023纵坐标．
【解答】解：∵与x轴交于点B，
∴当y＝0时，x＝﹣1，
即B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴点A1（），
∵A1B1∥x轴，
∴A1和B1的纵坐标相同，
当y时，x，
∴B1（），
∴A1B1＝2，
设AB1解析式为y＝ax+b，A1B解析式为y＝cx+d，
∴，，
解得：，，
∴AB1解析式为y，
A1B解析式为：y，
联立得：，
解得：，
∴C1纵坐标为：，
即C1纵坐标为：，
∵A2（），
∴A2（），
将y代入y得：x，
∴B2（），
∴A2B2＝4，
同理可得：C2纵坐标为：，
同理可得：C3纵坐标为：，
...，
∴ n纵坐标为：，
∴C2023纵坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数的知识和规律的知识，有一定难度，根据一次函数知识找出规律是解答的关键．
16．如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线yx+5交于点M，与直线yx交于点N，边CD与直线yx+5交于点P，与直线yx交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 t+5 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 0≤t≤3或4≤t ．
【分析】（1）判断出MN在两直线交K的左侧，求出点M，N的坐标，可得结论；
（2）证明当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，求出直线PQ，直线MN经过两直线交点K时，点M与A重合时t的值，可得结论．
【解答】解：（1）由，解得，
∴两直线的交点坐标为K（4，2），
∴当0≤t≤4时，线段MN在交点K的左侧，
∵M（t，t+5），N（t，t），
∴MNt+5tt+5，
故答案为：t+5；
（2）如图，过点P作PJ∥OQ交MN于点J．
∵PJ∥NQ，PQ∥JN，
∴四边形PJNQ是平行四边形，
∴PQ＝JN，
∴MN﹣PQ＝MN﹣JN＝MJ＝定值，
观察图象可知，当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，
当直线PQ经过点K时，t+1＝4，
∴t＝3，
当直线MN经过点K时，t＝4，
继续运动当点N与A重合时，t，
观察图形可知，满足条件的t的值为0≤t≤3或4≤t．
故答案为：0≤t≤3或4≤t．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 ②③④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①由题意可得判断B点既在直线y＝x上又在⊙A上；
②由题意可知直线经过点A，将A点代入y＝kx，即可求k的值；
③画出图形，用勾股定理求解即可；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，此时Q（3，4），当直线y＝kx经过Q点时，k，结合图象可知，当k时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，可知k的最大值为．
【解答】解：①当k＝1时，直线l：y＝x，
∵B（4，4），
∴B点在直线y＝x上，
∵A（4，3），
∴AB＝1，
∵⊙A的半径为1，
∴B点在⊙A上，
∴直线l与⊙A相交，
故①选项不符合题意；
②∵直线l是⊙A的一条对称轴，
∴直线l过圆心A，
∴4k＝3，
解得k，
故②选项符合题意；
③∵若直线l与⊙A只有一个公共点P，
∴AP＝1，且AP⊥直线l，
∵A点坐标为（4，3），
∴OA＝5，
根据勾股定理，OP，
故③选项符合题意；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，
∵AC＝AB＝1，
∴四边形ACQB是正方形，
∴BQ＝1，
∴Q（3，4），
当直线y＝kx经过Q点时，k，
当k时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，
∴k的最大值为，
故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，数形结合解题是关键．
18．如图，直线AC与函数y（×＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）k的值为 ﹣6 ；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，则点D的坐标为 （1，4） ；
（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y（x＜0）的图象上，则点D的坐标为 （2，3）或（3，2） ．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y（x＜0）可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，根据题意设直线AC的解析式为y＝x+b，把A的坐标代入即可求得b＝5，y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；
（3）过点D′作DH⊥x轴，垂足为H，设D（m，﹣m+5）（m＞0），由题意可知，D'（m﹣5，m），将其坐标代入y得到关于m的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代y（x＜0）得，6，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，
∵∠ACO＝45°，
∴设直线AC的解析式为y＝﹣x+b，
把A（﹣1，6）代入得，6＝1+b，
∴b＝5，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，
解得，x＝1，
∴D（1，4）；
故答案为：（1，4）；
（3）过D作DM⊥x轴于M，过D'作D'H⊥x轴于H，如图2：
由直线AC的解析式为y＝﹣x+5，设D（m，﹣m+5）（m＞0），
∵∠DOD'＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠D'OH＝∠HD'O，
∵OD＝OD'，∠DMO＝∠D'HO＝90°，
∴△DOM≌△OHD'（AAS），
∴OM＝D'H，DM＝OH，
∴D'（m﹣5，m），
∵点D′恰好落在函数y的图象上，
∴m（m﹣5）＝﹣6，
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3，
∴D（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
19．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 62 ．
【分析】根据直线yx+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．
【解答】解：如图，连接CH，
∵直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴OB＝4，OA＝3，
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝2，
∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，
∴四边形PHOC是矩形，
∴PH＝OC＝BC＝2，
∵PH∥BC，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴BP＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，
要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q（﹣6，﹣4），
又∵点C（0，2），
根据勾股定理可得CQ6，
此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝62，
即BP+PH+HQ的最小值为62；
故答案为：62．
【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强．
20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC2．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CEAC，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段MD，MQ，DQ所围成的图形的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）函数与y1的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）．
【分析】（1）根据M的位置不同分类讨论，根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据一次函数的画法，画出函数图象即可；
（3）列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）当M在AD上时，AM＝x，
∴DM＝4﹣x，
∴y＝×（4﹣x）×3＝6﹣x，
∵AM≤AD，
∴0≤x≤4；
当M在CD上时，DM＝x﹣4，
∴y（x﹣4）×＝x﹣4，
∵DM≤CD，
∴4＜x≤7，
∴y；
（2）根据一次函数的画法，画出图象如图：
∴函数性质有（答案不唯一）：当0≤x＜4时，y随着t的增大而减少，当4＜x≤7时，y随着t的增大而增大；
（3）由题意可得：x+2＝6x或x+2＝x﹣4，
∴x或x＝7，
∴两个交点的横坐标的值为或7．
【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数图象的画法与性质、由实际问题中抽象出一次函数等知识点，采用数形结合的方法求解是本题解题的关键．
22．阅读以下材料，完成问题．
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若，则∠A＝45°；若，则∠C＝30°．
（1）小试牛刀：如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1．则BC＝ 1 ；
（2）问题探究：如图3，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，点E是线段BD上一点，求的最小值；
（3）问题解决：
如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B，点，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等边△OPQ．连接OQ、CQ，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求BD＝AD＝1，CD，即可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得BEEH，则AEBE＝AE+EH，当点A，点E，点H三点共线，且AH⊥BC时，AE+EH有最小值，由直角三角形的性质可求解；
（3）由等边三角形的性质可得OH＝OC＝4，H（6，﹣2），可求点H在直线AB上，由直角三角形的性质可得PEPH，由SAS可证△COQ≌△HOP，可得CQ＝PH，则当点O，点P，点E三点共线，且OE⊥EH时，有最小值为OF的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝45°，AD＝1，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝1，
在 Rt△ACD 中，∠C＝30°，
∴CA＝2AD＝2，CD，
∴BC＝BD+CD＝1，
故答案为：1；
（2）如图3，过点E作EH⊥BC于H，
∵∠CBD＝45°，EH⊥BC，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BEEH，
∴EHBE，
∴AEBE＝AE+EH，
∴当点A，点E，点H三点共线，且AH⊥BC时，AE+EH有最小值，
∵∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，
∴∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BHAB＝4，
∴AH4，
∴AEBE的最小值为4；
（3）如图4，以OC为边作等边三角形OCH，过点P作PE∥OA，过点H作HE⊥PE于E，交x轴于F，
∵点，
∴OC＝4，
∵△OCH是等边三角形，
∴OH＝OC＝4，∠COH＝60°，
∴∠FOH＝30°，
∴FH＝2，OF＝6，
∴H（6，﹣2），
∵x＝6时，y＝﹣642，
∴点H在直线AB上，
∵直线分别与x轴，y轴交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，4），
∴OA＝4，OB＝4，
∴AB8，
∵，
∴∠ABO＝30°，
∵PE∥OA，HE⊥PE，BO⊥OA，
∴EH∥BO，
∴∠ABO＝∠AHE＝30°，
∴PEPH，
∵△OPQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，∠POQ＝60°＝∠HOC，
∴∠POH＝∠COQ，
∴△COQ≌△HOP（SAS），
∴CQ＝PH，
∴CQ＝PH＝2PE，
∴OP+PE，
∴当点O，点P，点E三点共线，且OE⊥EH时，有最小值为OF的长，
即有最小值为6．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（3）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标．
【分析】（1）如图1，过点BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝1，CE＝AO＝2，可得B（﹣1，1）；
（2）若将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣9，3），再由待定系数法求函数的解析式；
（3）分∠BMQ＝90°、∠MQB＝90°、∠QBM＝90°三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可．
【解答】（1）解：如图2，过点BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），
∴OC＝1，OA＝2，
∵△ACB为等腰直角三角形，
则∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝1，CE＝AO＝2，
∴OE＝CE﹣OC＝2﹣1＝1，
∴B（﹣1，1）；
（2）若将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，
如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+6与x轴的交点B（﹣3，0），A（0，6），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝6，
∴C（﹣9，3），
由点A、C的坐标得，；
（3）∵直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，
∴A（﹣1，0），C（0，2），
∵∠CBA＝45°．
∴OB＝OC＝2，
∴B（2，0），
设点M（0，m），点Q（n，2n+2），
①如图4，当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），
分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，
由（1）的模型可得：△MHB≌△QGM（AAS），
∴GQ＝MH，BH＝GM，
即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2，解得：，；
故点、点；
同理当点M在x轴下方时，
∴2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；
②当∠MOB＝90°时，如图5，
同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n，
解得：m＝﹣6，n＝﹣2，
∴M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）；
③当∠QBM＝90°时，如图5，
同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n，
解得：m＝4，n＝﹣2，
∴M（0，4），Q（﹣2，﹣2）；
综上，、；M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）；M（0，4），Q（﹣2，﹣2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题．
24．如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
【分析】（1）在y＝﹣2x﹣6中，令y＝0，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，联立y＝﹣2x﹣6即可得点D的坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，则PC+PD＝PD+PE，结合两点之间线段最短可得此时PC+PD最小，PA+PB最小，求出DE、AB即可得答案；
（3）证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，
令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线n的解析式为y＝kx+b，
∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线n的解析式为yx﹣1，
联立y＝﹣2x﹣6得，解得，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，
∴PE＝PC，E（0，1），
∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小，
∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0），
∴DE，AB＝2+3＝5，
∴PA+PB+PC+PD的最小值为5；
（3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
∴AB＝2+3＝5，AD，BD2，
设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1），
当△MND≌△BAD时，ND＝AD，MD＝BD＝2，
∴2，，
解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4，
∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，对称的性质，全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由（1）知，B（0，4），求得OB＝4，由E为线段OB的中点，得到E（0，﹣2），设直线AE的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AE的解析式为yx﹣2；由AE⊥OC，得到k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，根据正方形的性质得到BD＝AO＝4，设BF＝x，则DF＝4﹣x，延长BD到G，使DG＝OE＝2，根据全等三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4），
∴OB＝4，
∵E为线段OB的中点，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2），
设直线AE的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为yx﹣2；
∵AE⊥OC，
∴k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，
∵OA＝OB＝4，∠OBD＝∠AOB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AOBD是正方形，
∴BD＝AO＝4，
设BF＝x，则DF＝4﹣x，
延长BD到G，使DG＝OE＝2，
∵AD＝OB，∠AOE＝∠ADG＝90°，
∴△AOE≌△ADG（SAS），
∴∠OAE＝∠GAD，
∵∠EAF＝45°，
∴∠OAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝6﹣x，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x，
∴F（，﹣4），
把F（，﹣4）代入y＝kx得k．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为 y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到C（﹣2，0），由B（0，6），C（﹣2，0），得到OB＝6，OC＝2，求得OA＝6，得到AC＝OA+OC＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）如图2，设P（a，0），连接BD，当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小，过Q作QH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH＝OB＝6，QH＝OP＝a，求得Q（6+a，a），得到直线BD的解析式为yx+6，把Q（6+a，a）代入yx+6得，即可得到结论．
【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝6，
∴B（0，6），
设直线AB的解析式为 y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）当y＝0时，3x+6＝0，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵B（0，6），C（﹣2，0），
∴OB＝6，OC＝2，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝OA+OC＝8，
∴，
∴S△ACMS△ABC，
∴AC |yM|＝12，
∴|yM|＝3，
∴当yM＝3时，﹣x+6＝3，
解得x＝3，
即点M的坐标为（3，3）；
当yM＝﹣3时，﹣x+6＝﹣3，
解得x＝9，
即点M的坐标为（9，﹣3）；
综上所述，存在点M的坐标为（3，3）或（9，﹣3）使得S△ACMS△ABC；
（3）如图2，设P（a，0），
连接BD，
∵BQ+DQ≥BD，
∴当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小，
过Q作QH⊥x轴于H，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PHQ＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝∠BPO+∠QPH＝90°，
∴∠OBP＝∠QPH，
∵PB＝PQ，
∴△OBP≌△HPQ（AAS），
∴PH＝OB＝6，QH＝OP＝a，
∴Q（6+a，a），
∵B（0，6），D（10，0），
∴直线BD的解析式为yx+6，
把Q（6+a，a）代入yx+6得，（6+a）+6＝a，
解得a，
∴Q（，）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边．若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x2﹣3x+2＝0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）设M（m，n），①当∠MDO＝90°时，DM∥x轴，②当∠MOD＝90°时，当M在x轴上，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝1，x2＝2，
∵OA＞OC，
∴OA＝2，OC＝1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）．
（2）将C（1，0）代入y＝﹣x+b中，
得：0＝﹣1+b，解得：b＝1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（3）设M（m，n），由（2）知D（0，1），B（4，0），
∴OD＝1，OB＝4，
∵△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边，
∴∠MDO＝∠AOB＝90°，或∠DOM＝∠AOB＝90°，
①当∠MDO＝90°时，DM∥x轴，
∵D（1，0），
∴OD＝1，
∴n＝1，
∵△MOD与Rt△AOB相似，
∴或，
∴或，
∴DM＝2或DM；
∴M（﹣2，1）或（，1）或（2，1）或（，1）；
②当∠MOD＝90°时，当M在x轴上，
∴n＝0，
∵△MOD与Rt△AOB相似，
∴或，
∴或，
∴OM＝2或OM；
∴M（﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（，0）．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，1）或（，1）或（2，1）或（，1）或（﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）熟练掌握相似三角形的性质．
28．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在y轴上有一点C（0，8），在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当△COD的面积为16时，确定直线CD的表达式；
（3）若点P为点B上方y轴上的点，在直线AB上是否存在点Q使得△PQB与△AOB全等，若存在，求出此时点Q的坐标．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由C（0，8），得到OC＝8，根据三角形的面积公式得到D（4，0）或（﹣4，0），设直线CD的表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线CD的表达式为y＝2x+8或y＝﹣2x+8；
（3）分为两种情况：①当△QPB≌△AOB时，根据全等三角形的性质得到PB＝OB＝2，PQ＝OA＝8，求得OP＝4，得到Q（﹣8，4）；
②当△P′Q′B≌△AOB时，根据勾股定理得到P′B＝AB2，根据全等三角形的性质得到BQ′＝BO＝2，P′Q′＝AO＝8，过点Q′作Q′H⊥y轴于H，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）由yx+2，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝8，
则A、B两点的坐标分别为A（8，0）、B（0，2）；
（2）∵C（0，8），
∴OC＝8，
∵△COD的面积为16，
∴OD OC＝16，
∴OD＝4，
∴D（4，0）或（﹣4，0），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴或，
解得或，
∴直线CD的表达式为y＝2x+8或y＝﹣2x+8；
（3）分为两种情况：①当△QPB≌△AOB时，
PB＝OB＝2，PQ＝OA＝8，
∴OP＝4，
∴Q（﹣8，4）；
②当△P′Q′B≌△AOB时，
P′B＝AB2，BQ′＝BO＝2，P′Q′＝AO＝8，
过点Q′作Q′H⊥y轴于H，
∵S△P′BQ′P′Q′ BQ′P′B Q′H，
∴Q′H，
∴BH，
∴OH＝2，
∴Q′（，）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣8，4）或（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标，全等三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标；
（3）点M为直线l1上的动点，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上的一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的横坐标．
【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．
（2）观察面积相等两个三角形，有公共边OA，故可看作是以OA为底，高相等．所以点P在与OA平行的直线上，且到直线OA距离等于点C到OA距离．其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C关于A的对称点．求出直线后，把x＝5代入即求出点P坐标．
（3）由于直角不确定，需分类讨论，得到MN与M的横坐标的关系．列得方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，
∴a＝2，即A（2，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴，
解得：，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6；
（2）∵S△AOP＝S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，
当x＝6时，m＝6﹣3＝3，
∴点P（6，3），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3，
当x＝6时，m＝6+3＝9，
∴点P（6，9），
综上所述，点P坐标为（6，3）或（6，9）；
（3）设M（t，﹣2t+6），则N（t，t），
∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，
①如图1，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，
则有MN＝2|xM|＝2|t|，
∴|3t﹣6|＝2|t|，
∴t或t＝6，
∴M（，）或（6，﹣6），
②如图2，图3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，
则MN＝|xM|＝|t|，
∴|3t﹣6|＝|t|，
∴t或t＝3，
∴M（，3）或（3，0）．
综上所述，点M的横坐标为或或6或3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，三角形面积，等腰直角三角形，考查了分类讨论思想．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于直线l1解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出C与B的坐标，联立两直线解析式求出A的坐标即可；
（2）由三角形的面积公式可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分OC为边和OC为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）∵yx+4分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴点C坐标为（0，4），点B坐标为（8，0），
∵直线l1：yx+4与直线l2：yx交于点A．
∴x+4x，
∴x，
∴点A坐标为（，）；
（2）设点D坐标为（x，x），
∵△ACD的面积为3.6，
∴△COD的面积为3.6＝6，
∴4×|x|＝6，
∴x＝±3，
∵D是线段OA上的点，
∴x＝3，
∴点D（3，1），
设直线CD解析式为：y＝kx+4，
∴1＝3k+4，
∴k＝﹣1，
∴直线CD解析式为：y＝﹣x+4；
（3）若以OC为边，设点P（a，﹣a+4）（a≥0），
如图
当四边形OCPQ是菱形，
∴OC＝CP＝4，PQ∥OC，PQ＝OC＝4，
∴4，
∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
∴点P（2，4﹣2），
∴点Q（2，﹣2）；
当四边形OCQ'P'是菱形，
∴OC＝OP'＝4，PQ'＝OC＝4，PQ'∥OC，
∴4，
∴a1＝0（舍去），a2＝4，
∴点P'（4，0），
∴点Q'（4，4）；
若OC为对角线，
∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴CO与PQ互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P（2，2），
∴点Q坐标为（﹣2，2）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣2，2）或（4，4）或（2，﹣2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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一次函数综合题（二）
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（ ）个．
（1）△OBC≌△ABD；
（2）∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；
（3）点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是（0，）；
（4）当点C的坐标为（m，0）（m＞1）时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为Sm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2011B2011C2011C2010的面积为（ ）
A．5 B．5
C．5 D．5
3．如图，P为正比例函数y＝2x图象上的一个动点，⊙P的半径为2，圆心P从点（﹣3，﹣6），开始以每秒1个单位的速度沿着直线y＝2x运动，当⊙P与直线x＝2相切时，则该圆运动的时间为（ ）秒．
A．2 B． C．2或6 D．
4．如图，直线yx+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线yx+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（ ）
A．（，） B．（，11） C．（2，2） D．（，）
7．等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数yx+4的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD一定是平行四边形；
②四边形ABCD可能是菱形；
③四边形ABCD可能是矩形；
④四边形ABCD可能是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
10．如图，直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共10小题）
11．如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
①请求出此时顶点C的坐标；
②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为 ；
③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小值 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接CP，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为 秒．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是 ．
14．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3，…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是 ．
16．如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线yx+5交于点M，与直线yx交于点N，边CD与直线yx+5交于点P，与直线yx交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 ．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
18．如图，直线AC与函数y（×＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）k的值为 ；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，则点D的坐标为 ；
（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y（x＜0）的图象上，则点D的坐标为 ．
19．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ．
20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段MD，MQ，DQ所围成的图形的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）函数与y1的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）．
22．阅读以下材料，完成问题．
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若，则∠A＝45°；若，则∠C＝30°．
（1）小试牛刀：如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1．则BC＝ ；
（2）问题探究：如图3，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，点E是线段BD上一点，求的最小值；
（3）问题解决：
如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B，点，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等边△OPQ．连接OQ、CQ，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
23．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（3）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标．
24．如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
25．如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边．若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在y轴上有一点C（0，8），在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当△COD的面积为16时，确定直线CD的表达式；
（3）若点P为点B上方y轴上的点，在直线AB上是否存在点Q使得△PQB与△AOB全等，若存在，求出此时点Q的坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标；
（3）点M为直线l1上的动点，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上的一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的横坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数综合题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（ ）个．
（1）△OBC≌△ABD；
（2）∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；
（3）点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是（0，）；
（4）当点C的坐标为（m，0）（m＞1）时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为Sm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）易证∠OBC＝∠ABD，即可证明△OBC≌△ABD（SAS），即可解题；
（2）根据（1）容易得到∠OAB＝60°，可得∠DAC＝60°，可得∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；即可证明该结论错误；
（3）根据∠OAE＝60°，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE＝2，从而得到E的坐标是固定的．
（4）根据△OBC≌△ABD，可得四边形ABDC的面积S＝S△ACD+S△ABD＝S△ACD+S△OBC，即可解题．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正确；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD＝∠BOC＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；（2）错误；
（3）∵∠DAC＝60°，
∴∠OAE＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴AE＝2OA＝2，
∴OE，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）；（3）正确；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴AD＝OC＝m，
∵△ABO是等边三角形，∠DAC＝60°，
∴∠OBF＝30°，∠ADH＝30°，
过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DH⊥x轴于H，
∴BFOF＝OB1，
DHAH＝ADm，
∴四边形ABDC的面积S＝S△ACD+S△ABD＝S△ACD+S△OBC
AC ADOB OC
（m﹣1）m1×m
m2，故（4）错误；
故选：B．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，等边三角形的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△OBC≌△ABD是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2011B2011C2011C2010的面积为（ ）
A．5 B．5
C．5 D．5
【分析】先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB＝2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC，
∴∠ABA1＝90°，∠DAO+∠BAA1＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
在△AOD和A1BA中，
∵，
∴△AOD∽△A1BA，
∴2，
∴BC＝2A1B，
∴A1CBC，
以此类推A2C1A1C，A3C2A2C1即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2011个正方形的边长为（）2011BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC＝AD，
∴正方形A2011B2011C2011C2010的面积为[（）2011BC]2＝5×（）4022＝5×（）2011．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到正方形的性质及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，属规律性题目．
3．如图，P为正比例函数y＝2x图象上的一个动点，⊙P的半径为2，圆心P从点（﹣3，﹣6），开始以每秒1个单位的速度沿着直线y＝2x运动，当⊙P与直线x＝2相切时，则该圆运动的时间为（ ）秒．
A．2 B． C．2或6 D．
【分析】分两种情况：⊙P在直线x＝2的左边和⊙P在直线x＝2的右边两种情况．下面以第一种情况为例，分析一下解题思路：如图1，通过相似三角形：△AQ′P′∽△AQP，的对应边成比例得到比例式，即，从而求得AP′＝2，则易求PP′的长度．同理，当⊙P在直线x＝2的右边时，可以求得PP′的另一长度．
【解答】解：设直线y＝2x与x＝2交于点A．则A（2，4）．
∵P（﹣3，﹣6），
∴AP＝5．
假设⊙P与直线x＝2相切于点Q′，连接P′Q′．则P′Q′⊥AQ′．
过点P作PQ⊥AQ′于点Q．则P′Q′∥PQ．
∴△AQ′P′∽△AQP，
∴，，
解得AP′＝2，
①如图1，当⊙P在直线x＝2的左边时．
PP′＝AP﹣AP′＝3，
则该圆运动的时间为31＝3（秒）；
②如图2，当⊙P在直线x＝2的右边时．
PP′＝AP+AP′＝7，
则该圆运动的时间为71＝7（秒）；
综上所述，该圆运动的时间为3秒或7秒．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，主要利用了直线与圆相切时圆心与直线的距离关系，难度不大，难点在于要分⊙P在直线x＝2的左边与右边两种情况进行讨论．
4．如图，直线yx+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线yx+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解法一、过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥x轴于F，则∠MEO＝∠NFO＝90°，根据全等三角形的性质求出ME＝NF，OE＝OF，设N的坐标是（x，x+3），M点的坐标是（a，﹣x），根据M点也在直线yx+3上求出ax﹣4，求出x，求出NF和OF，再解直角三角形求出答案即可；
解法二、过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DNx+3，OD＝﹣x，求出OA＝4，OB＝3，由勾股定理求出AB＝5，由三角形的面积公式得出AO×OB＝AB×OC，代入求出OC，根据sin45°求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（﹣x）2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON求出即可．
【解答】解：解法一、过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥x轴于F，则∠MEO＝∠NFO＝90°，
∵∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE＝∠NOF＝90°﹣∠EON，
在△NFO和△MEO中
，
∴△NFO≌△MEO（AAS），
∴ME＝NF，OE＝OF，
∵点N在直线yx+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
设M点的坐标是（a，﹣x），
∵M点也在直线yx+3上，
∴﹣xa+3，
解得：ax﹣4，
∵EM＝NF，
∴x﹣4x+3，
解得：x，
∴OF，NF（）+3，
∴tan∠AON；
解法二、过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线yx+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DNx+3，OD＝﹣x，
yx+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
即OA＝4，OB＝3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB＝5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB＝AB×OC，
∴3×4＝5OC，
OC，
∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°，
∴∠MNO＝45°，
∴sin45°，
∴ON，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2＝ON2，
即（x+3）2+（﹣x）2，
解得：x1，x2，
∵N在第二象限，
∴x只能是，
x+3，
即ND，OD，
tan∠AON．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），
∴方程组的解为，
故①正确；
把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得
，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：yx+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确；
把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1，
yx+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD3×2＝3，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则
，解得，
∴yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（ ）
A．（，） B．（，11） C．（2，2） D．（，）
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，根据M的坐标求得k为，进一步得出k′为，通过证得△COE≌△OAD，得出CE＝OD，OE＝AD，所以设A（a，b），则C（﹣b，a），然后根据待定系数法求得直线AC的斜率为，从而得出，整理得b＝7a，然后在RT△AOD中，根据勾股定理得出（7a）2+a2＝128，解得a，b．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，
∵点M（﹣3，4），
∴4＝﹣3k，
∴k，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴k′为，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠COE＝∠OAD，
在△COE和△OAD中，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝AD，
设A（a，b），则C（﹣b，a），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∴
解得m，
∴，
整理得，b＝7a，
∵正方形面积为128，
∴OA2＝128，
在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，
解得，a，
∴b＝7a＝7，
∴A（，），
故选：D．
解法二：
解：设yOB＝kx，
把M（﹣3，4）代入求得k，
∴yOBx，
设P（a，a），则OPa，
在正方形ABCO中，OB＝2OPa，
∴aa128，
∴a，
∴AP＝OP＝8，
作PQ⊥x轴，AN⊥x轴，PH⊥AN，则PQ＝PH，PO＝PA，
∴△APH≌△OPQ，
∴OQ＝AH，PQ＝PH，
∴ON，AN，
∴A（，），
故选：D．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线AC的斜率列出方程是本题的关键．
7．等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【分析】设BC＝z，则y＝2x+z．根据z＞0，利用不等式的性质得出y＞2x，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出2x＞z，利用不等式的性质得到y＜4x，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出3x＜y＜4x，即可判断③；分别求出点M、点N所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则zx，
∵12，AB＝x＞0，
∴xx＜2x，
∴3x＜2xx＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数yx+4的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD一定是平行四边形；
②四边形ABCD可能是菱形；
③四边形ABCD可能是矩形；
④四边形ABCD可能是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，可作判断；
②根据BC＝AB列方程，方程有解在0～4之间，由此可作判断；
③当A与B的横坐标相等时，四边形ABCD是矩形，此种情况存在，可作判断；
④在矩形的基础上，计算AD与AB不相等，可作判断．
【解答】解：①如图1，∵BC⊥y轴，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故①正确；
②设B（m，m+2），则C（，m+2），
BC＝m﹣（），
当BC＝AB时，四边形ABCD是菱形，
∴（）2＝（m﹣3）2+（m+2）2，
89m2+1032m﹣432＝0，
（m+12）（89m﹣36）＝0
解得：m1＝﹣12（不符合题意），m2，
∴存在BC＝AB的情况，
即四边形ABCD可能是菱形，
故②正确；
③如图2，点B是函数yx+2（0＜x＜4）的图象上的一个动点，
∴存在点B的横坐标为3，此时四边形ABCD是矩形，
故③正确；
④当x＝3时，y2，
此时AD＞AB，如图2所示，
∴四边形ABCD不为正方形，
故④错误，不符合题意；
本题正确的结论有：①②③．
故选：A．
【点评】本题反比例函数与四边形的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟知特殊四边形的判定．
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k，
即直线CD的解析式是yx+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
10．如图，直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故选：B．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
①请求出此时顶点C的坐标；
②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为 ；
③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小值 ．
【分析】（1）要求A坐标，则需求OA长度，连接AC，△OAC为等腰直角三角形，所以求出AC即可得出OA，再根据已知条件，可以DE和AE为边构造矩形DEAG，从而利用勾股定理求出AC长度，进而得解；
（2）①过C作CM⊥y轴于M，过A作AN⊥y于N，证明△COM≌△OAN得到，即可得到点C的坐标；
②当△AOP为直角三角形时，点P是AC与BD交点，根据正方形的性质求解即可；
③点Q（m，﹣2）在直线y＝﹣2上运动，当PQ垂直直线y＝﹣2时点P与点Q距离的最小．
【解答】解：（1）解法一：如图，以DE和AE为边构造矩形DEAG，连接AC，
∵DE＝10，AE＝6，
∴AG＝DE＝10，DG＝AE＝6，
∵CD＝18，
∴CG＝CD+DG＝24，
在Rt△ACG中，AC26，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝OC，
在Rt△OAC中，OA2+OC2＝AC2，
∴OA＝13．
解法二：如图，过D作DH⊥OC于点H，过E作EG⊥OA于点G，GE延长线交DH于点F，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠COA＝90°，
∵DH⊥OC，EG⊥OA，
∴∠CHP＝∠OHP＝∠FGO＝∠FGA＝90°，
∴四边形OGFH是矩形，
∴FG＝OH，GO＝FH，∠GFH＝∠DFE＝90°，
∵CD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠CDH＝∠DEF＝90°﹣∠FDE，∠EAG＝∠DEF＝90°﹣∠GEA，
∴∠CDH＝∠DEF＝∠EAG，
∵∠PHC＝∠EGA＝∠EFD＝90°，
∴△PHC∽△EFD∽△AGE，
∴，，
∵CD＝18，DE＝10，AE＝6，
∴，，
∴设GE＝3a，AG＝3b，则DF＝5a，EF＝5b，CH＝9a，DH＝9b，
∴OH＝FG＝EF+EG＝5b+3a，OG＝HF＝DH﹣DF＝9b﹣5a，
∴OC＝HC+OH＝9a+5b+3a＝12a+5b，OA＝AG+OG＝3b+9b﹣5a＝12b﹣5a，
∴OC＝OA＝12a+5b＝12b﹣5a，
解得，
在Rt△AGE中GE2+AG2＝AE2，
∴（3a）2+（3b）2＝62，
∴，
∴（负值不合题意，已舍去），
∴，
∴，
∴点A的坐标；
（2）①如图，过C作CM⊥y轴于点M，过A作AN⊥y轴于点N，则∠ANO＝CMO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠COM＝∠OAN＝90°﹣∠AON，
∴△COM≌△OAN（AAS），
∴OM＝AN，CM＝ON，
∵点A旋转到第一象限且到y轴的距离为，
∴AN＝OM＝12，
由（1）知，
∴，
∴，
∵点C在三象限，
∴；
②连接OB，
∴∠OAP＝45°，AC和OB互相垂直且平分，
∵△AOP为直角三角形，
∴第一种情况：当∠AOP＝90°时，点P与点C重合，此时不合题意，故舍去；
第二种情况：当∠APO＝90°时，点P为对角线AC和OB的交点，此时点P为AC中点，
∵，
∴AC中点，
∴点P的纵坐标为；
故答案为：；
③∵点Q（m，﹣2）在直线y＝﹣2上运动，
∴当PQ垂直于直线y＝﹣2时，点P与点Q距离的最小，此时最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接CP，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为 或或 秒．
【分析】分PB′平行于x轴时，PB′平行于y轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出t的值．
【解答】解：∵直线yx+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A（4，0），点B（0，3），
∵点C是线段OB的中点，
∴C（0，），
∴OC＝BC，
①PB′平行于y轴时，
∵PB′平行于y轴，
∴∠2＝∠3，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BP＝BC，
∴t；
②PB′平行于x轴时，又分两种情况，如图：
PB′平行于x轴时，过点C作CD∥x轴交AB于D，
∴PB′∥CD∥x轴，
∴∠1＝∠B′，∠2＝∠OAB，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA＝∠B′，CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴∠1＝∠OBA，
∵∠OBA+∠OAB＝∠AOB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠AOB＝90°，
∴△CDE∽△BOA，
，
∵点C是线段OB的中点，OA＝4，CD∥x轴，
∴CD＝2，
∵OB＝3，AB5，
∴CE，
∵PB′∥CD，
∴，
∵CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴，
∴t；
PB′平行于x轴时，过点C作CD∥x轴交AB于D，
∴PB′∥CD∥x轴，
∴∠AOB＝∠CEB′＝90°，
∵将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA＝∠B′，CB＝CB′，PB＝PB′＝t，
∴△B′EC∽△BOA，
∴，
∵OB＝3，AB＝5，
∴B′E，
∴CE，
∵PB′∥CD，
∴，
∵点C是线段OB的中点，OA＝4，CD∥x轴，
∴CD＝2，
∴，
∴PE，
∴PB′＝PE+B′E，
∴t；
综上，t的值为或或．
故答案为：或或．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是 （，） ．
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，由两点坐标公式求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
∴a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
∴点D（3，2）
∴PC＝PD，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k，
即直线CD的解析式是yx+3，
∴组成方程组
解得：
∴点Q（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
14．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3，…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是 ．
【分析】根据一次函数的知识求出B的坐标，再根据等边三角形知识求出A1坐标，结合题意求出AB1和A1B的解析式，进而求出C1的纵坐标，以此类推总结规律得出 n纵坐标，利用规律求出C2023纵坐标．
【解答】解：∵与x轴交于点B，
∴当y＝0时，x＝﹣1，
即B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴点A1（），
∵A1B1∥x轴，
∴A1和B1的纵坐标相同，
当y时，x，
∴B1（），
∴A1B1＝2，
设AB1解析式为y＝ax+b，A1B解析式为y＝cx+d，
∴，，
解得：，，
∴AB1解析式为y，
A1B解析式为：y，
联立得：，
解得：，
∴C1纵坐标为：，
即C1纵坐标为：，
∵A2（），
∴A2（），
将y代入y得：x，
∴B2（），
∴A2B2＝4，
同理可得：C2纵坐标为：，
同理可得：C3纵坐标为：，
...，
∴ n纵坐标为：，
∴C2023纵坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数的知识和规律的知识，有一定难度，根据一次函数知识找出规律是解答的关键．
16．如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线yx+5交于点M，与直线yx交于点N，边CD与直线yx+5交于点P，与直线yx交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 t+5 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 0≤t≤3或4≤t ．
【分析】（1）判断出MN在两直线交K的左侧，求出点M，N的坐标，可得结论；
（2）证明当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，求出直线PQ，直线MN经过两直线交点K时，点M与A重合时t的值，可得结论．
【解答】解：（1）由，解得，
∴两直线的交点坐标为K（4，2），
∴当0≤t≤4时，线段MN在交点K的左侧，
∵M（t，t+5），N（t，t），
∴MNt+5tt+5，
故答案为：t+5；
（2）如图，过点P作PJ∥OQ交MN于点J．
∵PJ∥NQ，PQ∥JN，
∴四边形PJNQ是平行四边形，
∴PQ＝JN，
∴MN﹣PQ＝MN﹣JN＝MJ＝定值，
观察图象可知，当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，
当直线PQ经过点K时，t+1＝4，
∴t＝3，
当直线MN经过点K时，t＝4，
继续运动当点N与A重合时，t，
观察图形可知，满足条件的t的值为0≤t≤3或4≤t．
故答案为：0≤t≤3或4≤t．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 ②③④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①由题意可得判断B点既在直线y＝x上又在⊙A上；
②由题意可知直线经过点A，将A点代入y＝kx，即可求k的值；
③画出图形，用勾股定理求解即可；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，此时Q（3，4），当直线y＝kx经过Q点时，k，结合图象可知，当k时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，可知k的最大值为．
【解答】解：①当k＝1时，直线l：y＝x，
∵B（4，4），
∴B点在直线y＝x上，
∵A（4，3），
∴AB＝1，
∵⊙A的半径为1，
∴B点在⊙A上，
∴直线l与⊙A相交，
故①选项不符合题意；
②∵直线l是⊙A的一条对称轴，
∴直线l过圆心A，
∴4k＝3，
解得k，
故②选项符合题意；
③∵若直线l与⊙A只有一个公共点P，
∴AP＝1，且AP⊥直线l，
∵A点坐标为（4，3），
∴OA＝5，
根据勾股定理，OP，
故③选项符合题意；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，
∵AC＝AB＝1，
∴四边形ACQB是正方形，
∴BQ＝1，
∴Q（3，4），
当直线y＝kx经过Q点时，k，
当k时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，
∴k的最大值为，
故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，数形结合解题是关键．
18．如图，直线AC与函数y（×＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）k的值为 ﹣6 ；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，则点D的坐标为 （1，4） ；
（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y（x＜0）的图象上，则点D的坐标为 （2，3）或（3，2） ．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y（x＜0）可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，根据题意设直线AC的解析式为y＝x+b，把A的坐标代入即可求得b＝5，y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；
（3）过点D′作DH⊥x轴，垂足为H，设D（m，﹣m+5）（m＞0），由题意可知，D'（m﹣5，m），将其坐标代入y得到关于m的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代y（x＜0）得，6，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，
∵∠ACO＝45°，
∴设直线AC的解析式为y＝﹣x+b，
把A（﹣1，6）代入得，6＝1+b，
∴b＝5，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，
解得，x＝1，
∴D（1，4）；
故答案为：（1，4）；
（3）过D作DM⊥x轴于M，过D'作D'H⊥x轴于H，如图2：
由直线AC的解析式为y＝﹣x+5，设D（m，﹣m+5）（m＞0），
∵∠DOD'＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠D'OH＝∠HD'O，
∵OD＝OD'，∠DMO＝∠D'HO＝90°，
∴△DOM≌△OHD'（AAS），
∴OM＝D'H，DM＝OH，
∴D'（m﹣5，m），
∵点D′恰好落在函数y的图象上，
∴m（m﹣5）＝﹣6，
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3，
∴D（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
19．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 62 ．
【分析】根据直线yx+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．
【解答】解：如图，连接CH，
∵直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴OB＝4，OA＝3，
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝2，
∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，
∴四边形PHOC是矩形，
∴PH＝OC＝BC＝2，
∵PH∥BC，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴BP＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，
要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q（﹣6，﹣4），
又∵点C（0，2），
根据勾股定理可得CQ6，
此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝62，
即BP+PH+HQ的最小值为62；
故答案为：62．
【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强．
20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC2．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CEAC，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段MD，MQ，DQ所围成的图形的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）函数与y1的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）．
【分析】（1）根据M的位置不同分类讨论，根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据一次函数的画法，画出函数图象即可；
（3）列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）当M在AD上时，AM＝x，
∴DM＝4﹣x，
∴y＝×（4﹣x）×3＝6﹣x，
∵AM≤AD，
∴0≤x≤4；
当M在CD上时，DM＝x﹣4，
∴y（x﹣4）×＝x﹣4，
∵DM≤CD，
∴4＜x≤7，
∴y；
（2）根据一次函数的画法，画出图象如图：
∴函数性质有（答案不唯一）：当0≤x＜4时，y随着t的增大而减少，当4＜x≤7时，y随着t的增大而增大；
（3）由题意可得：x+2＝6x或x+2＝x﹣4，
∴x或x＝7，
∴两个交点的横坐标的值为或7．
【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数图象的画法与性质、由实际问题中抽象出一次函数等知识点，采用数形结合的方法求解是本题解题的关键．
22．阅读以下材料，完成问题．
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若，则∠A＝45°；若，则∠C＝30°．
（1）小试牛刀：如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1．则BC＝ 1 ；
（2）问题探究：如图3，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，点E是线段BD上一点，求的最小值；
（3）问题解决：
如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B，点，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等边△OPQ．连接OQ、CQ，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求BD＝AD＝1，CD，即可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得BEEH，则AEBE＝AE+EH，当点A，点E，点H三点共线，且AH⊥BC时，AE+EH有最小值，由直角三角形的性质可求解；
（3）由等边三角形的性质可得OH＝OC＝4，H（6，﹣2），可求点H在直线AB上，由直角三角形的性质可得PEPH，由SAS可证△COQ≌△HOP，可得CQ＝PH，则当点O，点P，点E三点共线，且OE⊥EH时，有最小值为OF的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝45°，AD＝1，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝1，
在 Rt△ACD 中，∠C＝30°，
∴CA＝2AD＝2，CD，
∴BC＝BD+CD＝1，
故答案为：1；
（2）如图3，过点E作EH⊥BC于H，
∵∠CBD＝45°，EH⊥BC，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BEEH，
∴EHBE，
∴AEBE＝AE+EH，
∴当点A，点E，点H三点共线，且AH⊥BC时，AE+EH有最小值，
∵∠ABD＝15°，∠CBD＝45°，
∴∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BHAB＝4，
∴AH4，
∴AEBE的最小值为4；
（3）如图4，以OC为边作等边三角形OCH，过点P作PE∥OA，过点H作HE⊥PE于E，交x轴于F，
∵点，
∴OC＝4，
∵△OCH是等边三角形，
∴OH＝OC＝4，∠COH＝60°，
∴∠FOH＝30°，
∴FH＝2，OF＝6，
∴H（6，﹣2），
∵x＝6时，y＝﹣642，
∴点H在直线AB上，
∵直线分别与x轴，y轴交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，4），
∴OA＝4，OB＝4，
∴AB8，
∵，
∴∠ABO＝30°，
∵PE∥OA，HE⊥PE，BO⊥OA，
∴EH∥BO，
∴∠ABO＝∠AHE＝30°，
∴PEPH，
∵△OPQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，∠POQ＝60°＝∠HOC，
∴∠POH＝∠COQ，
∴△COQ≌△HOP（SAS），
∴CQ＝PH，
∴CQ＝PH＝2PE，
∴OP+PE，
∴当点O，点P，点E三点共线，且OE⊥EH时，有最小值为OF的长，
即有最小值为6．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（3）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标．
【分析】（1）如图1，过点BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝1，CE＝AO＝2，可得B（﹣1，1）；
（2）若将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣9，3），再由待定系数法求函数的解析式；
（3）分∠BMQ＝90°、∠MQB＝90°、∠QBM＝90°三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可．
【解答】（1）解：如图2，过点BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），
∴OC＝1，OA＝2，
∵△ACB为等腰直角三角形，
则∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝1，CE＝AO＝2，
∴OE＝CE﹣OC＝2﹣1＝1，
∴B（﹣1，1）；
（2）若将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，
如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+6与x轴的交点B（﹣3，0），A（0，6），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝6，
∴C（﹣9，3），
由点A、C的坐标得，；
（3）∵直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，
∴A（﹣1，0），C（0，2），
∵∠CBA＝45°．
∴OB＝OC＝2，
∴B（2，0），
设点M（0，m），点Q（n，2n+2），
①如图4，当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），
分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，
由（1）的模型可得：△MHB≌△QGM（AAS），
∴GQ＝MH，BH＝GM，
即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2，解得：，；
故点、点；
同理当点M在x轴下方时，
∴2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；
②当∠MOB＝90°时，如图5，
同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n，
解得：m＝﹣6，n＝﹣2，
∴M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）；
③当∠QBM＝90°时，如图5，
同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n，
解得：m＝4，n＝﹣2，
∴M（0，4），Q（﹣2，﹣2）；
综上，、；M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）；M（0，4），Q（﹣2，﹣2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题．
24．如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
【分析】（1）在y＝﹣2x﹣6中，令y＝0，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，联立y＝﹣2x﹣6即可得点D的坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，则PC+PD＝PD+PE，结合两点之间线段最短可得此时PC+PD最小，PA+PB最小，求出DE、AB即可得答案；
（3）证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，
令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线n的解析式为y＝kx+b，
∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线n的解析式为yx﹣1，
联立y＝﹣2x﹣6得，解得，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，
∴PE＝PC，E（0，1），
∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小，
∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0），
∴DE，AB＝2+3＝5，
∴PA+PB+PC+PD的最小值为5；
（3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
∴AB＝2+3＝5，AD，BD2，
设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1），
当△MND≌△BAD时，ND＝AD，MD＝BD＝2，
∴2，，
解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4，
∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，对称的性质，全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由（1）知，B（0，4），求得OB＝4，由E为线段OB的中点，得到E（0，﹣2），设直线AE的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AE的解析式为yx﹣2；由AE⊥OC，得到k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，根据正方形的性质得到BD＝AO＝4，设BF＝x，则DF＝4﹣x，延长BD到G，使DG＝OE＝2，根据全等三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4），
∴OB＝4，
∵E为线段OB的中点，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2），
设直线AE的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为yx﹣2；
∵AE⊥OC，
∴k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，
∵OA＝OB＝4，∠OBD＝∠AOB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AOBD是正方形，
∴BD＝AO＝4，
设BF＝x，则DF＝4﹣x，
延长BD到G，使DG＝OE＝2，
∵AD＝OB，∠AOE＝∠ADG＝90°，
∴△AOE≌△ADG（SAS），
∴∠OAE＝∠GAD，
∵∠EAF＝45°，
∴∠OAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝6﹣x，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x，
∴F（，﹣4），
把F（，﹣4）代入y＝kx得k．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线AB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线AB上的动点，是否存在点M，使得S△ACM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QD，请直接写出当BQ+QD最小时Q点坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为 y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到C（﹣2，0），由B（0，6），C（﹣2，0），得到OB＝6，OC＝2，求得OA＝6，得到AC＝OA+OC＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）如图2，设P（a，0），连接BD，当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小，过Q作QH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH＝OB＝6，QH＝OP＝a，求得Q（6+a，a），得到直线BD的解析式为yx+6，把Q（6+a，a）代入yx+6得，即可得到结论．
【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝6，
∴B（0，6），
设直线AB的解析式为 y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）当y＝0时，3x+6＝0，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵B（0，6），C（﹣2，0），
∴OB＝6，OC＝2，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝OA+OC＝8，
∴，
∴S△ACMS△ABC，
∴AC |yM|＝12，
∴|yM|＝3，
∴当yM＝3时，﹣x+6＝3，
解得x＝3，
即点M的坐标为（3，3）；
当yM＝﹣3时，﹣x+6＝﹣3，
解得x＝9，
即点M的坐标为（9，﹣3）；
综上所述，存在点M的坐标为（3，3）或（9，﹣3）使得S△ACMS△ABC；
（3）如图2，设P（a，0），
连接BD，
∵BQ+DQ≥BD，
∴当B，Q，D三点共线时，BQ+QD的值最小，
过Q作QH⊥x轴于H，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PHQ＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝∠BPO+∠QPH＝90°，
∴∠OBP＝∠QPH，
∵PB＝PQ，
∴△OBP≌△HPQ（AAS），
∴PH＝OB＝6，QH＝OP＝a，
∴Q（6+a，a），
∵B（0，6），D（10，0），
∴直线BD的解析式为yx+6，
把Q（6+a，a）代入yx+6得，（6+a）+6＝a，
解得a，
∴Q（，）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边．若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x2﹣3x+2＝0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）设M（m，n），①当∠MDO＝90°时，DM∥x轴，②当∠MOD＝90°时，当M在x轴上，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝1，x2＝2，
∵OA＞OC，
∴OA＝2，OC＝1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）．
（2）将C（1，0）代入y＝﹣x+b中，
得：0＝﹣1+b，解得：b＝1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（3）设M（m，n），由（2）知D（0，1），B（4，0），
∴OD＝1，OB＝4，
∵△MOD与Rt△AOB相似，且以OD为直角边，
∴∠MDO＝∠AOB＝90°，或∠DOM＝∠AOB＝90°，
①当∠MDO＝90°时，DM∥x轴，
∵D（1，0），
∴OD＝1，
∴n＝1，
∵△MOD与Rt△AOB相似，
∴或，
∴或，
∴DM＝2或DM；
∴M（﹣2，1）或（，1）或（2，1）或（，1）；
②当∠MOD＝90°时，当M在x轴上，
∴n＝0，
∵△MOD与Rt△AOB相似，
∴或，
∴或，
∴OM＝2或OM；
∴M（﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（，0）．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，1）或（，1）或（2，1）或（，1）或（﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）熟练掌握相似三角形的性质．
28．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在y轴上有一点C（0，8），在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当△COD的面积为16时，确定直线CD的表达式；
（3）若点P为点B上方y轴上的点，在直线AB上是否存在点Q使得△PQB与△AOB全等，若存在，求出此时点Q的坐标．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由C（0，8），得到OC＝8，根据三角形的面积公式得到D（4，0）或（﹣4，0），设直线CD的表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线CD的表达式为y＝2x+8或y＝﹣2x+8；
（3）分为两种情况：①当△QPB≌△AOB时，根据全等三角形的性质得到PB＝OB＝2，PQ＝OA＝8，求得OP＝4，得到Q（﹣8，4）；
②当△P′Q′B≌△AOB时，根据勾股定理得到P′B＝AB2，根据全等三角形的性质得到BQ′＝BO＝2，P′Q′＝AO＝8，过点Q′作Q′H⊥y轴于H，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）由yx+2，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝8，
则A、B两点的坐标分别为A（8，0）、B（0，2）；
（2）∵C（0，8），
∴OC＝8，
∵△COD的面积为16，
∴OD OC＝16，
∴OD＝4，
∴D（4，0）或（﹣4，0），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴或，
解得或，
∴直线CD的表达式为y＝2x+8或y＝﹣2x+8；
（3）分为两种情况：①当△QPB≌△AOB时，
PB＝OB＝2，PQ＝OA＝8，
∴OP＝4，
∴Q（﹣8，4）；
②当△P′Q′B≌△AOB时，
P′B＝AB2，BQ′＝BO＝2，P′Q′＝AO＝8，
过点Q′作Q′H⊥y轴于H，
∵S△P′BQ′P′Q′ BQ′P′B Q′H，
∴Q′H，
∴BH，
∴OH＝2，
∴Q′（，）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣8，4）或（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标，全等三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标；
（3）点M为直线l1上的动点，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上的一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的横坐标．
【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．
（2）观察面积相等两个三角形，有公共边OA，故可看作是以OA为底，高相等．所以点P在与OA平行的直线上，且到直线OA距离等于点C到OA距离．其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C关于A的对称点．求出直线后，把x＝5代入即求出点P坐标．
（3）由于直角不确定，需分类讨论，得到MN与M的横坐标的关系．列得方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，
∴a＝2，即A（2，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴，
解得：，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6；
（2）∵S△AOP＝S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，
当x＝6时，m＝6﹣3＝3，
∴点P（6，3），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3，
当x＝6时，m＝6+3＝9，
∴点P（6，9），
综上所述，点P坐标为（6，3）或（6，9）；
（3）设M（t，﹣2t+6），则N（t，t），
∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，
①如图1，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，
则有MN＝2|xM|＝2|t|，
∴|3t﹣6|＝2|t|，
∴t或t＝6，
∴M（，）或（6，﹣6），
②如图2，图3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，
则MN＝|xM|＝|t|，
∴|3t﹣6|＝|t|，
∴t或t＝3，
∴M（，3）或（3，0）．
综上所述，点M的横坐标为或或6或3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，三角形面积，等腰直角三角形，考查了分类讨论思想．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于直线l1解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出C与B的坐标，联立两直线解析式求出A的坐标即可；
（2）由三角形的面积公式可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分OC为边和OC为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）∵yx+4分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴点C坐标为（0，4），点B坐标为（8，0），
∵直线l1：yx+4与直线l2：yx交于点A．
∴x+4x，
∴x，
∴点A坐标为（，）；
（2）设点D坐标为（x，x），
∵△ACD的面积为3.6，
∴△COD的面积为3.6＝6，
∴4×|x|＝6，
∴x＝±3，
∵D是线段OA上的点，
∴x＝3，
∴点D（3，1），
设直线CD解析式为：y＝kx+4，
∴1＝3k+4，
∴k＝﹣1，
∴直线CD解析式为：y＝﹣x+4；
（3）若以OC为边，设点P（a，﹣a+4）（a≥0），
如图
当四边形OCPQ是菱形，
∴OC＝CP＝4，PQ∥OC，PQ＝OC＝4，
∴4，
∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
∴点P（2，4﹣2），
∴点Q（2，﹣2）；
当四边形OCQ'P'是菱形，
∴OC＝OP'＝4，PQ'＝OC＝4，PQ'∥OC，
∴4，
∴a1＝0（舍去），a2＝4，
∴点P'（4，0），
∴点Q'（4，4）；
若OC为对角线，
∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴CO与PQ互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P（2，2），
∴点Q坐标为（﹣2，2）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣2，2）或（4，4）或（2，﹣2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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