【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数综合题（一）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 一次函数综合题（一）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-31 11:22:03 | ||
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文档简介
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一次函数综合题（一）
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2） B．（﹣6，2） C．（﹣8，2） D．（6，﹣2）
2．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过，直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA，PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．y＝x
4．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．yx
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（4.6，2.4）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（1.5，2.4），
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．如图，已知直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4）
C．（，3） D．（22，2）
二．填空题（共10小题）
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P1，点D是⊙P上的一点．
（1）∠ADB＝ °；
（2）当点D到弦OB的距离最大时，直线DP1与x轴的交点坐标为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．
（1）直线AB的函数解析式为 ；
（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．
①当△OCD的面积为6时，直线CD就会发蓝光，则此时输入的b的值为 ；
②当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 ．
14．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）△AOB的面积是 ；
（2）点C的坐标是 ；
（3）过B，C两点直线的函数表达式为 ．
15．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为“友好点”．如图中的P，Q两点即为“友好点”．已知点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）请在x轴上提供一个点A的“友好点”，它的坐标为 ；
（2）在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的“友好点”的是 ；
（3）直线l：y＝x﹣5，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，M为线段CD上一点，若第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，请你提供一个符合题意的点N，N的坐标为 ．
19．如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接BC，BC＝2，点M，N分别是线段AB，AC上的动点（M不与A，B重合），且满足∠CMN＝∠CBA．当△CMN为等腰三角形时，M的坐标为 ．
20．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图1，已知直线l1：y＝kx+b交x轴于A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图2，直线CP的表达式为，点P为线段AB的中点，在直线CP上找一点Q，使得OQ+AQ最小，并求出最小值；
（3）如图3，已知点M（﹣2，0），点N（m，2m﹣6）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求m的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线l2：y＝k2x+b经过点，1），与直线AB交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，连接CB、AC，求△ABC的面积；
（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形W，若图形W上存在点K使得∠PQK＝α（0°＜α＜180°），则称图形W与PQ“α关联”．
（1）已知P（0，0），Q（1，0），以下列各点为中心，作边长为1的正方形W，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是 ．
①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1）．
（2）如图，已知直线l．
①已知P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．设直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，求Q点横坐标t的取值范围；
②已知P（﹣1，0），Q（0，0）．长度为1的线段ST在l上，以ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是“α+90°关联”，直接写出r的取值范围．
24．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝2OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
25．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标；
（4）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（5）在y轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，P（m，n）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积是S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当时，在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ的值最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，AD＝5，∠DCB＝90°，连接BD．点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿折线A→B→D运动，到达D点停止．设点P的运动时间为x秒（0＜x＜11），△DAP的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出关于函数y的一条性质 ；
（3）若该函数图象与直线y＝x+k恰好有一个交点，则常数k的取值范围是 ．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（4，0），点D是直线AC上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当点D在直线AC上运动时，存在某时刻，使得△DBC为直角三角形且∠CBD＝90°，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段AC的中点时，此时，在直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数综合题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2） B．（﹣6，2） C．（﹣8，2） D．（6，﹣2）
【分析】过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，可得△ABO≌△PAM，有AM＝BO，MP＝AO，即可得出结论．
【解答】解：过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，如图：
∵A（﹣2，0），B（0，6），
∴BO＝6，AO＝2，
∵△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三危形，
∴AP＝AB，∠PAB＝90°，
∴∠BAO＝90°﹣∠PAM＝∠MPA，
∵∠PMA＝90°＝∠BOA，
∴△ABO≌△PAM（AAS），
∴AM＝BO＝6，MP＝AO＝2，
∴OM＝8，
∴P（﹣8，2）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及旋转变换，全等三角形的判定与旋转，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过，直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA，PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线都经过，
∴方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得m＝1，
∴，
令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
把B（0，4），代入直线l1：y＝kx+b，可得，
解得：，
∴直线l1：y＝2x+4，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴，故③错误；
∵B（0，4），，D（0，1），
∴，，BD2＝（1﹣4）2＝9∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，故②正确；
点A关于y轴对称点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则，
解得：，
∴，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与性质、勾股定理，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．y＝x
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB AB＝5，
∴AB，
∴OC，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3k，
k，
∴直线l解析式为yx，
故选：C．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
4．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．yx
【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，
∴BP AB＝5，
∴AB＝2.5，
∴OA＝3﹣2.5＝0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y＝kx+b，则，
解得．
∴直线l解析式为yx．
故选：A．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作PB⊥y轴，作PC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABP面积是5，利用三角形的面积公式求出AB的长．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：yx+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1，
yx+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，PD＝OC＝3，
∴点P纵坐标为，
∵点D（，），
∵点P（，），
∴点P横坐标为，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（4.6，2.4）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（1.5，2.4），
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】根据一次函数的性质和翻折的性质以及勾股定理，菱形的性质对每个结论进行分析后再作出选择．
【解答】解：令y＝0，则0x+6，
∴x＝8，
∴OA＝8，
令x＝0，得y＝6，
∴OB＝6，B（0，6），
在Rt△AOB中，AB，
故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴BD＝BO＝6，∠ADC＝90°，DC＝OC，
∴AD＝4，
设OC＝DC＝x，则AC＝8﹣x，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把点B（0，6）和C（3，0）分别代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
故②正确；
如图1，过D作DE⊥OA于E，
根据三角形面积可得：DE，
在Rt△CDE中，CE，
∴OE＝3+1.8＝4.8，
∴点D坐标为（4.8，2.4），
故③不正确；
如图2，
当以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，PD∥x轴，
∴点P的纵坐标与点D的纵坐标相等，
把y＝2.4代入直线y＝﹣2x+6中，得x＝1.8，
∴点P（1.8，2.4），
故④不正确；
综上，正确的结论有①②，
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，翻折的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
8．如图，已知直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
【分析】令y＝0，可得A（﹣2，0），令x＝0，可得B（0，2），利用勾股定理求出AB＝4，可得∠MAO＝30°，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出∠MBO、∠OBC度数，两个角的和差即为所求度数．
【解答】解：∵直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
令y＝0，则0x+2，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∴AB4，
∴AB＝2OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，∠MBO＝120°．
∵B（0，2），OC＝2，
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
如图，分两种情况考虑：
①当点C在x轴正半轴上时，
∠C1BO＝45°，
∴∠MBC1＝120°﹣45°＝75°；
②当点C在x轴负半轴上时，
∠MBC2＝120°+45°＝165°．
故选：D．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MH、NH的长，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，yx﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE5，
∵⊙O的半径为2，
∴A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD＝90°，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH，
∴MH＝PH+1，NH＝PH﹣1．
∴点C到直线DE的最小距离为．
故选：C．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4）
C．（，3） D．（22，2）
【分析】求得直角△ABO的两条直角边的长，即可利用解直角三角形的方法求得AB，以及∠OAB的度数，则∠OAB′是直角，据此即可求解．
【解答】解：在yx+2中令x＝0，解得：y＝2；
令y＝0，解得：x＝2．
则OA＝2，OB＝2．
∴在直角△ABO中，AB4，∠BAO＝30°，
又∵∠BAB′＝60°，
∴∠OAB′＝90°，
∴B′的坐标是（2，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与解直角三角形，正确证明∠OAB′＝90°是关键．
二．填空题（共10小题）
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 ．
【分析】设点E的坐标为（x，2x+3），根据点T是点D，E的“和谐点”，表示出点T的坐标，进而根据∠TDH为直角可得点T和点D的横坐标相同得到x的值，即可求得点E和点T的坐标；求得直线ET的解析式，进而求得点H的坐标；作HM⊥l于点M，求得AE和AH的长度，根据△AEH的面积的不同表示方法求出点H到直线l的距离．
【解答】解：设点E的坐标为（x，2x+3），
∵点D（3，0），点T是点D，E的“和谐点”，
∴点T的坐标为（，）．
∵∠TDH＝90°，
∴点T的横坐标和点D的横坐标相同，
∴3．
解得：x＝6．
∴点E的坐标为（6，15），点T的坐标为（3，5）．
设直线ET的解析式为y＝kx+n（k≠0）．
∴，
解得：，
∴直线ET的解析式为yx﹣5．
当y＝0时，x＝1.5．
∴点H的坐标为（1.5，0）．
∴OH．
作HM⊥l于点M．
由题意得：y＝2x+3与x轴的交点A为（﹣1.5，0），
∴E点的，横坐标为6+1.5＝7.5，
∴AE，AH＝3．
∵S△AHEAH×15AE MH．
∴MH．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的相关知识．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
12．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P1，点D是⊙P上的一点．
（1）∠ADB＝ 90 °；
（2）当点D到弦OB的距离最大时，直线DP1与x轴的交点坐标为 ．
【分析】（1）连接AB、AD、BD，利用圆周角定理：90度的圆周角所对的弦是直径，即可得到答案；
（2）由题意，先求出点D和点P的坐标，然后利用待定系数法求出解析式，令y＝0，即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）连接AB、AD、BD，如图1：
∵⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），
又∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴，
∴∠ADB＝90°，
故答案为：90；
（2）由（1）可知，点P是AB的中点，
∵A（8，0），B（0，6），
∴点P的坐标为（4，3），
∵点P关于x轴的对称点是P，
∴P的坐标为（4，﹣3），
∵当点D到弦OB的距离最大时，即作DE⊥OB，点P在DE上，如图2：连接DP，与x轴交点为C；
∴，
此时，点D的坐标为（9，3）；
设直线DP1为y＝kx+b，则把点（4，﹣3）和点（9，3）代入，得：
，
解得，
∴；
令y＝0，则，
解得：，
∴直线DP与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理求线段的长度，以及待定系数法求直线的解析式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．
（1）直线AB的函数解析式为 y＝2x﹣2 ；
（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．
①当△OCD的面积为6时，直线CD就会发蓝光，则此时输入的b的值为 2 ；
②当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 2≤b≤18 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①分别求出D（0，b），C（b，0），则S△OCDbb＝6，求出b即可；
②当线段CD经过A点时，b＝2；当线段CD经过B点时，b＝18；则2≤b≤18时，直线CD就会发红光．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2；
（2）①当x＝0时，y＝b，
∴D（0，b），
当y＝0时，xb，
∴C（b，0），
∴OCb，OD＝b，
∴S△OCDbb＝6，
解得b＝2或b＝﹣2（舍），
故答案为：2；
②当线段CD经过A点时，﹣2+b＝0，
解得b＝2；
当线段CD经过B点时，﹣10+b＝8，
解得b＝18；
∴2≤b≤18时，直线CD就会发红光，
故答案为：2≤b≤18．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
14．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）△AOB的面积是 3 ；
（2）点C的坐标是 （5，3） ；
（3）过B，C两点直线的函数表达式为 ．
【分析】（1）根据题意求得与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，证明△AOB≌△CDA，继而求得C的坐标，
（3）待定系数法求解析式即可．
【解答】解：（1）由，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴，
故答案为：3；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠ABO＝∠CDA＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，AB＝AC，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴△AOB≌△CDA，
∴AO＝CD＝3，AD＝BO＝2，
∴OD＝5，
∴C（5，3），
故答案为：（5，3）；
（3）设BC直线解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴设BC直线解析式为y，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键．
15．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ﹣1 ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 （3，0）或（﹣3，0） ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 或 ．
【分析】（1）将点（1，1）代入y＝kx+2即可得到k的值；
（2）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标；
（3）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当∠CPB＝90°时，当∠PCB＝90°时，分别求解．
【解答】解：（1）∵点（1，1）在函数y＝kx+2的图象上，
∴k+2＝1，
得k＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）令y＝kx+2中x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
∴OA＝2，
∵，
∴OB＝3，
∴B（3，0）或B（﹣3，0）；
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；
（3）将代入y＝2x，得，
∴，
∴，
当∠CPB＝90°时，点P的横坐标为，即；
当∠PCB＝90°时，
将点代入y＝kx+2，
∴，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
过点C作CE⊥OB于点E，
∴，
∴点P的横坐标为，
∴，
故答案为：或．
【点评】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与图形面积问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的综合知识是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 （2，0）或（，0） ．
【分析】把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
【解答】解：∵yx+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x，
即此时P的坐标是（，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（，0）．
故答案为：（2，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 （0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2） ．
【分析】设点P的坐标为（x，y），分三种情况：①当∠APB＝90°时，②当∠PAB＝90°时，③当∠PBA＝90°时，根据勾股定理分别求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴AB2＝42+42＝32，
设点P的坐标为（x，y），
∵点P在一次函数y＝x的图象上，
∴点P的坐标为（x，x），
分三种情况：
①当∠APB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+BP2＝AB2，
∴（x+4）2+x2+x2+（4﹣x）2＝32，
∴x＝0，
∴点P的坐标是（0，0）；
②当∠PAB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+AB2＝PB2，
∴（x+4）2+x2+32＝x2+（4﹣x）2，
∴x＝﹣2，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣2）；
③当∠PBA＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AB2+BP2＝AP2，
∴x2+（4﹣x）2+32＝（x+4）2+x2，
∴x＝2，
∴点P的坐标是（2，2）．
综上，点P的坐标是（0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查勾股定理、一次函数的性质等，解决问题的关键是分类思想的运用．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为“友好点”．如图中的P，Q两点即为“友好点”．已知点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）请在x轴上提供一个点A的“友好点”，它的坐标为 （﹣4，0）或（4，0） ；
（2）在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的“友好点”的是 R，S ；
（3）直线l：y＝x﹣5，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，M为线段CD上一点，若第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，请你提供一个符合题意的点N，N的坐标为 （3，﹣2）（答案不唯一） ．
【分析】（1）因为点A的“友好点”在x轴上，所以|x|＝4，可得结论；
（2）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得4，则是A的同族点；
（3）首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值5，然后“友好点”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）的“友好点”在x轴上，
∴纵坐标为0，
∴|x|＝3+1＝4，
∴x＝±4，
∴点A的“友好点”的坐标为（﹣4，0）或（4，0）；
故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；
（2）∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴3+1＝4，
点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，
0+4＝4，2+2＝4，2+3＝5，
∴点A的同族点的是R，S；
故答案为：R，S；
（3）由题意，直线y＝x﹣5与x轴交于C（5，0），与y轴交于D（0，﹣5）．
点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣5．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝5．
∴点M的“友好点”N满足横纵坐标的绝对值之和为5．
∵第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，
∴N的坐标为（3，﹣2）（答案不唯一）．
故答案为：（3，﹣2）（答案不唯一）．．
【点评】本题是一次函数综合题、考查“友好点”的定义，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19．如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接BC，BC＝2，点M，N分别是线段AB，AC上的动点（M不与A，B重合），且满足∠CMN＝∠CBA．当△CMN为等腰三角形时，M的坐标为 （24，0）或（，0） ．
【分析】先求解点C的坐标为（0，2），可得OC＝2，再利用勾股定理求解OB4，可得点B坐标为（4，0），点A坐标为（﹣4，0），由△CMN为等腰三角形，可得CM＝MN或CN＝CM或NC＝NM，当CM＝MN时，证明△CBM≌△MAN即可，当CM＝CN时，∠CMN＝∠CNM≠∠CBA＝∠CAB，不符合题意，舍去，当NC＝NM时，如图，证明AM＝CM，设OM＝n，则AM＝CM＝4﹣n，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：在y＝kx+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
在Rt△BOC中，BC＝2，OB4，
∴点B坐标为（4，0），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴点A坐标为（﹣4，0），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴AC＝BC，
∵△CMN为等腰三角形，
∴CM＝MN或CN＝CM或NC＝NM，
当CM＝MN时，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CMN＝∠CBA，
∴∠BMN＝∠BMC+∠CMN＝∠BAC+∠ANM，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠MAN＝∠CBM，NM＝CM，
∴△CBM≌△MAN（AAS），
∴AM＝BC＝2，
∵OA＝4，
∴OM＝24，
∴M的坐标为（24，0），
当CM＝CN时，
∴∠CMN＝∠CNM≠∠CBA＝∠CAB，不符合题意，舍去，
当NC＝NM时，如图，
∴∠NCM＝∠CMN＝∠CBA＝∠CAB，
∴AM＝CM，
设OM＝n，则AM＝CM＝4﹣n，
∴（4﹣n）2＝n2+4，
解得：n，
∴M（，0），
综上：点M的坐标为（24，0）或（，0）．
故答案为：（24，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查的是坐标与图形，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，分类讨论是解本题的关键．
20．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ．
【分析】（1）当x+3＝x时，求点C的坐标即可；
（2）分两种情况讨论：当CQ⊥OQ时，t＝2；当OC⊥CQ时，t＝4．
【解答】解：（1）当x+3＝x时，解得x＝2，
∴C（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）∵Q点的运动速度为每秒1个长度单位，运动时间为t秒，
∴OQ＝t，
当CQ⊥OQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴t＝2；
当OC⊥CQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴Q（4，0），
∴t＝4；
综上所述：t的值为2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．如图1，已知直线l1：y＝kx+b交x轴于A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图2，直线CP的表达式为，点P为线段AB的中点，在直线CP上找一点Q，使得OQ+AQ最小，并求出最小值；
（3）如图3，已知点M（﹣2，0），点N（m，2m﹣6）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求m的值．
【分析】（1）把A（6，0），B（0，6）代入y＝kx+b，即可求解；
（2）如图：作点O关于CP的对称点R，连接AR交CP于点Q，则此时OQ+AQ最小，即可求解；
（3）作M关于y轴的对称点G（2，0），以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过H作HK⊥x轴于K，可证明N在直线BH上，由△BOG≌△GKH（AAS），可得H（8，2），直线BH解析式为yx+6，把N（m，2m﹣6）代入可得答案．
【解答】解：（1）把A（6，0），B（0，6）代入y＝kx+b得：，
解得：，
故直线l的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图：作点O关于CP的对称点R，连接AR交CP于点Q，则此时OQ+AQ最小，
理由：OQ+AQ＝RQ+AQ＝RA，
设OR交CP于点T，则点T是OR的中点，
∵A（6，0），B（0，6），
∴线段AB的中点P的坐标为（3，3），
把P（3，3）代入yx+c得：3c，
解得c，
∴直线l2的解析式为yx，
∵CP⊥OR，则直线OR的表达式为：y＝﹣2x，
联立上述两个函数表达式得：﹣2xx，
解得：x，即点T（，），
由中点坐标公式得，点R（，），
由点A、R的坐标得，AR，
即OQ+AQ最小值为；
（3）作M关于y轴的对称点G（2，0），以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过H作HK⊥x轴于K，如图：
∴∠OBM＝∠OBG，
∵A（6，0），B（0，6），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBG+∠ABG＝45°，
∵△BGH是等腰直角三角形，
∴∠ABG+∠ABH＝45°，BG＝GH，
∴∠OBG＝∠ABH，
∴∠OBM＝∠ABH，
∴N在直线BH上，
∵∠OGB＝90°﹣∠HGK＝∠GHK，∠BOG＝∠GKH＝90°，BG＝GH，
∴△BOG≌△GKH（AAS），
∴BO＝GK＝6，OG＝HK＝2，
∴H（8，2），
由B（0，6），H（8，2）可得直线BH解析式为yx+6，
把N（m，2m﹣6）代入得：
2m﹣6m+6，
解得m．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线l2：y＝k2x+b经过点，1），与直线AB交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，连接CB、AC，求△ABC的面积；
（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法可得直线l1的解析式；
（2）由△ABC的面积BH×（xC﹣xA）（2）＝8，即可求解；
（3）分四种情况：在x轴和y轴上，证明△DMQ≌△QNC（AAS），得DM＝QN，QM＝CN，设D（m，m+6）（m＜0），表示点Q的坐标，根据OQ的长列方程可得m的值，从而得到结论．
【解答】解：（1）y＝k1x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵OBOA，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0），
把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，
k1，
∴直线l1的解析式为：yx+6；
（2）设AC交x轴于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx，即点H（0，），
则BH＝6，
则△ABC的面积BH×（xC﹣xA）（2）＝8；
（3）存在，分四种情况：
①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，
∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，
∴∠MDQ＝∠CQN，
∴△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），
∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，
即﹣m+1m+6，
m＝1﹣2，
∴Q（0，2）；
②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，
即m+6m﹣1，
m＝5﹣4，
∴Q（6﹣4，0）；
③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即m﹣6m+1，
m＝﹣45，
∴Q（﹣46，0）；
④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即m﹣6m﹣1，
m＝﹣21，
∴Q（0，﹣2）；
综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣46，0）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形W，若图形W上存在点K使得∠PQK＝α（0°＜α＜180°），则称图形W与PQ“α关联”．
（1）已知P（0，0），Q（1，0），以下列各点为中心，作边长为1的正方形W，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是 ①③ ．
①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1）．
（2）如图，已知直线l．
①已知P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．设直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，求Q点横坐标t的取值范围；
②已知P（﹣1，0），Q（0，0）．长度为1的线段ST在l上，以ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是“α+90°关联”，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出，正方形W与射线OK有交点，进而求得边长为1的正方形W的中心到边长的距离的范围，进而判断即可求解；
（2）①根据一次函数与坐标轴交点结合特殊角的三角函数值得出∠NMO＝30°，根据P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，分别画出α＝∠PMQ＝90°．∠PQN＝α＝60°时的Q点的位置，进而结合图形，即可求解；
②设R为ST上任意一点，QF、QG分别为⊙R的两条切线，根据ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“a关联”又是a+60°关联”但不是“a+90°关联“得出，进而求得QR的最小值，得出，即可求解．
【解答】解：（1）∵W与PQ“45°关联”，
∴∠PQK＝45°，
如图所示，正方形ABCD的边长为1，E是AB的中点，
∴，，
正方形的中心到边上的距离的范围为：，
边长为1的正方形W，W与PQ“45°关联”，
则正方形W与射线OK有交点，
∵①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1），
如图所示，
点③（0，1）在射线OK上，
①（1，﹣1）到OK1的距离为，则以（1，﹣1）为中心的正方形W与OK1有交点，
综上所述，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是①③，
故答案为：①③；
（2）①已知直线l：，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，，
∴，N（0，3），
∴ON＝3，，
∴，
∴∠NMO＝30°，
∵P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．线段MN与PQ“a关联”，其中60°＜α＜90°，
∴当MQ垂直于直线y＝﹣2时，Q点的横纵坐标最小（不取等于号），此时α＝∠PMQ＝90°，
∴，
当∠PQN＝α＝60°时，如图所示，设PQ与y轴交于点F，则F（0，﹣2），
∴FN＝3﹣（﹣2）＝5，
∴，
Q点横坐标t的取值范围为：；
②设R为ST上任意一点，QF，QG分别为⊙R的两条切线，
如图所示，当∠FQG＝90°时，
∴∠QFR＝∠RGQ＝∠FQG＝90°，
∴四边形QFRG是矩形，
又∵RF＝RG，
∴四边形QFRG是正方形，
∴，
当∠MQN＝60°时，则∠RQF＝30°，则QR＝2FR＝2r，
∵ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是°α+90°关联”，
∴，
∵ST在直线l：上，
∴当QR⊥I时，QR取得最小值，则r取得最小值，如图所示，
由①可得ON＝3，，则MN＝6，
此时，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了一次函数综合考点，正方形的性质，特殊的三角函数值，圆的切线等相关知识，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键．
24．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝2OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据两点距离公式表示出EF的长，然后求出OB的长，代入数量关系式中，求解a值即可；
（3）根据等高三角形的面积比等于底边长之比，分类讨论求解a的值，从而得到E的坐标即可．
【解答】解：（1）将B，C的坐标代入一次函数解析式：
，
∴k1，b＝4，
∴一次函数的表达式：yx+4，
将C点坐标代入正比例函数解析式：
12＝6k2，
∴k2＝2，
∴正比例函数的表达式：y＝2x；
（2）∵点E的横坐标为a，
∴E（a，a+4），
∵EP⊥x轴，
∴F（a，2a），
∴EF＝|a+4﹣2a|＝|4a|，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵EF＝2OB，
∴|4a|＝4，
∴a＝0或12；
（3）∵E在线段BC上，
∴0＜a＜6，
∵EP⊥x轴，
∴P（a，0），
∴EPa+4，EF＝4a，
∵直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分，
∴EF：EP＝1：4或3：4，
∴4aa+1或16a＝4a+12，
解得：a＝3或，
∴E（3，8）或（，）．
【点评】本题主要考查了一次函数综合题，综合运用待定系数法求一次函数解析式及正比例函数解析式、两点之间的距离以及三角形的面积来解答是本题解题的关键．
25．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得：a＝2，
∴C（2，﹣4），
由点A、C的坐标得，AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
故m的值为4或6．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）当y＝3时，y3，得到点A（1，3），再由待定系数法即可求解；
（2）当点E在y轴左侧时，由△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m），得到点E（﹣1，）；当点E（E′）在y轴右侧时，则此时点E、E关于点A对称，即可求解；
（3）当点P在y轴左侧时，证明PC＝AC，设点P（x，0），即可求解；当点P（P′）在y轴右侧时，则点P′、P关于点A对称，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝3时，y3，
解得：x＝1＝a，即点A（1，3），
将点A的坐标代入函数表达式得：3＝k，则k，
则直线l2的表达式为：yx；
（2）如图1，当点E在y轴左侧时，
设直线l2和y轴交于点H（0，），设点E（m，m），由函数的表达式知，点D（0，），
则DH，
则△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m），
解得：m＝﹣1，即点E（﹣1，）；
当点E（E′）在y轴右侧时，
则此时点E、E关于点A对称，
由中点坐标公式得：点E′（3，），
即点E的坐标为：（﹣1，）或（3，）；
（3）存在，理由：由函数的表达式知，点C（﹣3，0），
当点P在y轴左侧时，如图2，
∵∠ACB＝2∠APC，则∠CPA＝∠CAP，
即PC＝AC，设点P（x，0），
由点A、P、C的坐标得，AC＝5，PC＝﹣3﹣x＝5，
解得：x＝﹣8，即点P（﹣8，0），
当点P（P′）在y轴右侧时，
则点P′、P关于点A对称，
由中点坐标公式得：点P′（10，0），
综上，P（﹣8，0）或（10，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标；
（4）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（5）在y轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△OBC的面积OB×xC2×3＝3，即可求解；
（3）作C关于x轴对称点C'，连接BC'，交x轴于E，此时△BCE周长最小，即可求解；
（4）①当DA⊥AB时，证明△DAM≌△ABO，则DM＝AO＝3，AM＝BO＝2，即D（﹣5，3）；②当D′B⊥AB时，同理可解；
（5）当PO＝CO时，则y2＝25，即可求解；当PO＝PC或CO＝PC时，同理可解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象经过点C（3，4），
∴4＝3k，
∴k，
∴正比例函数解析式为yx，
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过A（﹣3，0），C（3，4），
∴，
∴，
∴一次函数为yx+2；
（2）由一次函数的表达式知，点B（0，2），即OB＝2，
则△OBC的面积OB×xC2×3＝3；
（3）存在，理由：
如图，
作C关于x轴对称点C'，连接BC'，交x轴于E，此时△BCE周长最小．
∵C（3，4），
∴C'（3，﹣4），
∵B（0，2）
∴BC'的解析式为：y＝﹣2x+2
令y＝0，得0＝﹣2x+2，
∴x＝1
∴E点的坐标为（1，0）；
（4）①当DA⊥AB时，如图，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
∵DA＝AB，∠DMA＝∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM＝AO＝3，AM＝BO＝2，
∴D（﹣5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N＝BO＝2，BN＝AO＝3，
∴D′（﹣2，5）
∴D点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（5）存在，理由：
设点P（0，y），
由点P、C、O的坐标得：PO2＝y2，CO2＝25，PC2＝9+（y﹣4）2，
当PO＝CO时，
则y2＝25，则y＝±5，
即点P（0，5）或（0，﹣5）；
当PO＝PC或CO＝PC时，
则y2＝9+（y﹣4）2或25＝9+（y﹣4）2，
解得：y＝0（舍去）或8或，
即点P（0，8）或（0，）；
综上，P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理、添加辅助线构造全等三角形等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
28．如图，将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，P（m，n）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积是S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当时，在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ的值最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）从图中不难发现，点B在y轴上，即B点的横坐标为0，且点B在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，则将x＝0代入即可求得y值，B点坐标即可确定；
（2）根据A点为一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点，不难确定A点的坐标为（1，0），再运用三角形的面积计算公式，即可用求得；
（3）要使得PQ+BQ最小，找出点P对称点P′，然后连接BP′且求出解析式y＝﹣6x+2，当y＝0时即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数为：y＝﹣2x+2，
当x＝0，则y＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）点P（m，﹣2m+2），
由y＝﹣2x+2，令y＝0，则x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴S△AOPOA y1×（﹣2m+2）＝﹣m+1，
即S＝﹣m+1（0＜m＜1）；
（3）当S时，在x轴上存在一点Q，使得PQ+BQ最小，理由如下：
当Sx+1，
解得：x，
∴点P的坐标为（，1），
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标是（，﹣1），
如图，
设直线BP′的函数表达式为y＝kx+b，把点B（0，2）代入，解得：b＝2，
将P′（，﹣1）代入y＝kx+2，解得：k＝﹣6，
∴y＝﹣6x+2，
当y＝0时，0＝﹣6x+2，
解得x，
∴在x轴上存在一点Q（，0），使得PQ+BQ最小．
【点评】此题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，AD＝5，∠DCB＝90°，连接BD．点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿折线A→B→D运动，到达D点停止．设点P的运动时间为x秒（0＜x＜11），△DAP的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出关于函数y的一条性质 当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（3）若该函数图象与直线y＝x+k恰好有一个交点，则常数k的取值范围是 k＝6或﹣11＜k≤0 ．
【分析】（1）当点P在AB上时，则yAP DHx×4＝2x；当点P在BD上移动时，同理可解；
（2）当x＝0时，y＝0，当x＝6时，y＝12，当x＝11时，y＝0，根据上述各点绘制函数图象即可；观察函数图象得到函数性质；
（3）当直线y＝x+k在m、n、l的位置时，属于临界点，即可求解．
【解答】解：（1）作DH⊥AB于点H，
∵0＜x＜11，则BD＝11﹣6＝5，
即△ABD为等腰三角形，则BH＝CD＝3＝AH，
则DH4，
则sin∠DBA，
当点P在AB上时，
则yAP DHx×4＝2x；
当点P在BD上移动时，
则y＝S△ABD﹣S△ABP6×4AB×PBsin∠DBA＝126（x﹣6）x，
则y；
（2）当x＝0时，y＝0，当x＝6时，y＝12，当x＝11时，y＝0，
根据上述各点绘制函数图象如下：
从函数图象看，当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当直线y＝x+k在m、n、l的位置时，属于临界点，
直线m：将点（6，12）代入y＝x+k得：12＝6+k，则k＝6；
直线n：k＝0；
直线l：同理可得：k＝﹣11，
故k＝6或﹣11＜k≤0，
故答案为：k＝6或﹣11＜k≤0．
【点评】此题重点考查平行线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、一次函数的图象与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（4，0），点D是直线AC上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当点D在直线AC上运动时，存在某时刻，使得△DBC为直角三角形且∠CBD＝90°，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段AC的中点时，此时，在直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A（﹣2，0），点C（0，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，将点（4，0），点C（0，4）代入y＝kx+b之中求出，由此可得直线BC的解析式；
（2）设直线BD的解析式为：y＝mx+n，根据直线BC的解析式为y＝﹣x+4，BD⊥BC得m＝1，将m＝1，点B（4，0）代入y＝mx+n求出，则直线BD的解析式为y＝x﹣4，解方程组即可得出点D的坐标；
（3）依题意有以下两种情况：①当点P在直线AC的右侧时，过点P作PE⊥x轴于E，PH⊥AC于H，设点P（t，﹣t+4），则PE＝﹣t+4，OE＝t，显然t＞0，AE＝2+t，AB＝6，由勾股定理得AC，AP，证明△APH为等腰直角三角形则PH＝AH，由勾股定理得APPH，则PH，再根据S△ABC＝S△APC+S△ABP构造关于t的方程，然后解方程求出t＝2.5，进而可得点P的坐标；②当点P在仔细ACDE左侧时，设为P'，则PA⊥P'A，先求出直线PA的解析式，进而得直线P'A的解析式为y＝﹣3x﹣6，解方程组即可得出点P'的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）对于y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），点C（0，4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
将点（4，0），点C（0，4）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）过点B作BD⊥BC交直线AC于点D，则点D符合条件，如图1所示：
设直线BD的解析式为：y＝mx+n，
∵直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，BD⊥BC，
∴m＝1，
将m＝1，点B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣4，
解方程组：，得：，
∴点D（﹣8，﹣12）；
（3）直线BC上存在点P，使∠DAP＝45°，
依题意有以下两种情况：
①当点P在直线AC的右侧时，过点P作PE⊥x轴于E，PH⊥AC于H，如图2所示：
∵点P在直线BC：y＝﹣x+4上，
∴设点P（t，﹣t+4），
则PE＝﹣t+4，OE＝t，显然t＞0，
∵点A（﹣2，0），点C（0，4），点B（4，0），
∴OA＝2，OC＝OB＝4，
∴AE＝OA+OE＝2+t，AB＝OA+OB＝6，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC，
在Rt△APE中，由勾股定理得：AP，
∵∠DAP＝45°，PH⊥AC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∴PH＝AH，
由勾股定理得：APPH，
∴PH，
∴PH，
∵S△ABC＝S△APC+S△ABP，
∴AB OCAC PH+1AB PE，
即AB OC＝AC PH+AB PE，
∴，
即，
整理得：2t2+5t﹣25＝0，
解得：t＝2.5，t＝﹣5（不合题意，舍去），
∴﹣t+4＝﹣2.5+4＝1.5，
∴点P（2.5，1.5）；
②当点P在仔细ACDE左侧时，设为P'，如图3所示：
∵∠DAP＝∠DAP'＝45°，
∴∠PAP'＝90°，
即PA⊥P'A，
设直线PA的解析式为：y＝k1x+b1，
将A（﹣2，0），点P（2.5，1.5）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，
∴直线PA的解析式为：，
设P'A的解析式为：y＝k2x+b2，
∵PA⊥P'A，
∴k2＝﹣3，
将k2＝﹣3，点A（﹣2，0）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线P'A的解析式为：y＝﹣3x﹣6，
解方程组：，得：，
∴点P'的坐标为（﹣5，9）．
综上所述：直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，此时点P的坐标为（2.5，1.5）或（﹣5，9）．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求两个一次函数的图象交点坐标的方法是解决问题的关键．
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一次函数综合题（一）
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2） B．（﹣6，2） C．（﹣8，2） D．（6，﹣2）
2．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过，直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA，PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．y＝x
4．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．yx
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（4.6，2.4）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（1.5，2.4），
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．如图，已知直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4）
C．（，3） D．（22，2）
二．填空题（共10小题）
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P1，点D是⊙P上的一点．
（1）∠ADB＝ °；
（2）当点D到弦OB的距离最大时，直线DP1与x轴的交点坐标为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．
（1）直线AB的函数解析式为 ；
（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．
①当△OCD的面积为6时，直线CD就会发蓝光，则此时输入的b的值为 ；
②当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 ．
14．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）△AOB的面积是 ；
（2）点C的坐标是 ；
（3）过B，C两点直线的函数表达式为 ．
15．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为“友好点”．如图中的P，Q两点即为“友好点”．已知点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）请在x轴上提供一个点A的“友好点”，它的坐标为 ；
（2）在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的“友好点”的是 ；
（3）直线l：y＝x﹣5，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，M为线段CD上一点，若第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，请你提供一个符合题意的点N，N的坐标为 ．
19．如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接BC，BC＝2，点M，N分别是线段AB，AC上的动点（M不与A，B重合），且满足∠CMN＝∠CBA．当△CMN为等腰三角形时，M的坐标为 ．
20．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图1，已知直线l1：y＝kx+b交x轴于A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图2，直线CP的表达式为，点P为线段AB的中点，在直线CP上找一点Q，使得OQ+AQ最小，并求出最小值；
（3）如图3，已知点M（﹣2，0），点N（m，2m﹣6）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求m的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线l2：y＝k2x+b经过点，1），与直线AB交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，连接CB、AC，求△ABC的面积；
（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形W，若图形W上存在点K使得∠PQK＝α（0°＜α＜180°），则称图形W与PQ“α关联”．
（1）已知P（0，0），Q（1，0），以下列各点为中心，作边长为1的正方形W，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是 ．
①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1）．
（2）如图，已知直线l．
①已知P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．设直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，求Q点横坐标t的取值范围；
②已知P（﹣1，0），Q（0，0）．长度为1的线段ST在l上，以ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是“α+90°关联”，直接写出r的取值范围．
24．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝2OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
25．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标；
（4）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（5）在y轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，P（m，n）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积是S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当时，在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ的值最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，AD＝5，∠DCB＝90°，连接BD．点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿折线A→B→D运动，到达D点停止．设点P的运动时间为x秒（0＜x＜11），△DAP的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出关于函数y的一条性质 ；
（3）若该函数图象与直线y＝x+k恰好有一个交点，则常数k的取值范围是 ．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（4，0），点D是直线AC上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当点D在直线AC上运动时，存在某时刻，使得△DBC为直角三角形且∠CBD＝90°，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段AC的中点时，此时，在直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数综合题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2） B．（﹣6，2） C．（﹣8，2） D．（6，﹣2）
【分析】过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，可得△ABO≌△PAM，有AM＝BO，MP＝AO，即可得出结论．
【解答】解：过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，如图：
∵A（﹣2，0），B（0，6），
∴BO＝6，AO＝2，
∵△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三危形，
∴AP＝AB，∠PAB＝90°，
∴∠BAO＝90°﹣∠PAM＝∠MPA，
∵∠PMA＝90°＝∠BOA，
∴△ABO≌△PAM（AAS），
∴AM＝BO＝6，MP＝AO＝2，
∴OM＝8，
∴P（﹣8，2）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及旋转变换，全等三角形的判定与旋转，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过，直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA，PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线都经过，
∴方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得m＝1，
∴，
令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
把B（0，4），代入直线l1：y＝kx+b，可得，
解得：，
∴直线l1：y＝2x+4，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴，故③错误；
∵B（0，4），，D（0，1），
∴，，BD2＝（1﹣4）2＝9∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，故②正确；
点A关于y轴对称点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则，
解得：，
∴，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与性质、勾股定理，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．y＝x
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB AB＝5，
∴AB，
∴OC，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3k，
k，
∴直线l解析式为yx，
故选：C．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
4．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．yx B．yx C．yx D．yx
【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，
∴BP AB＝5，
∴AB＝2.5，
∴OA＝3﹣2.5＝0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y＝kx+b，则，
解得．
∴直线l解析式为yx．
故选：A．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作PB⊥y轴，作PC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABP面积是5，利用三角形的面积公式求出AB的长．
5．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：yx+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1，
yx+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，PD＝OC＝3，
∴点P纵坐标为，
∵点D（，），
∵点P（，），
∴点P横坐标为，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（4.6，2.4）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（1.5，2.4），
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】根据一次函数的性质和翻折的性质以及勾股定理，菱形的性质对每个结论进行分析后再作出选择．
【解答】解：令y＝0，则0x+6，
∴x＝8，
∴OA＝8，
令x＝0，得y＝6，
∴OB＝6，B（0，6），
在Rt△AOB中，AB，
故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴BD＝BO＝6，∠ADC＝90°，DC＝OC，
∴AD＝4，
设OC＝DC＝x，则AC＝8﹣x，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把点B（0，6）和C（3，0）分别代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
故②正确；
如图1，过D作DE⊥OA于E，
根据三角形面积可得：DE，
在Rt△CDE中，CE，
∴OE＝3+1.8＝4.8，
∴点D坐标为（4.8，2.4），
故③不正确；
如图2，
当以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，PD∥x轴，
∴点P的纵坐标与点D的纵坐标相等，
把y＝2.4代入直线y＝﹣2x+6中，得x＝1.8，
∴点P（1.8，2.4），
故④不正确；
综上，正确的结论有①②，
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，翻折的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
8．如图，已知直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
【分析】令y＝0，可得A（﹣2，0），令x＝0，可得B（0，2），利用勾股定理求出AB＝4，可得∠MAO＝30°，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出∠MBO、∠OBC度数，两个角的和差即为所求度数．
【解答】解：∵直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
令y＝0，则0x+2，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∴AB4，
∴AB＝2OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，∠MBO＝120°．
∵B（0，2），OC＝2，
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
如图，分两种情况考虑：
①当点C在x轴正半轴上时，
∠C1BO＝45°，
∴∠MBC1＝120°﹣45°＝75°；
②当点C在x轴负半轴上时，
∠MBC2＝120°+45°＝165°．
故选：D．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MH、NH的长，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，yx﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE5，
∵⊙O的半径为2，
∴A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD＝90°，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH，
∴MH＝PH+1，NH＝PH﹣1．
∴点C到直线DE的最小距离为．
故选：C．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（2，4）
C．（，3） D．（22，2）
【分析】求得直角△ABO的两条直角边的长，即可利用解直角三角形的方法求得AB，以及∠OAB的度数，则∠OAB′是直角，据此即可求解．
【解答】解：在yx+2中令x＝0，解得：y＝2；
令y＝0，解得：x＝2．
则OA＝2，OB＝2．
∴在直角△ABO中，AB4，∠BAO＝30°，
又∵∠BAB′＝60°，
∴∠OAB′＝90°，
∴B′的坐标是（2，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与解直角三角形，正确证明∠OAB′＝90°是关键．
二．填空题（共10小题）
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 ．
【分析】设点E的坐标为（x，2x+3），根据点T是点D，E的“和谐点”，表示出点T的坐标，进而根据∠TDH为直角可得点T和点D的横坐标相同得到x的值，即可求得点E和点T的坐标；求得直线ET的解析式，进而求得点H的坐标；作HM⊥l于点M，求得AE和AH的长度，根据△AEH的面积的不同表示方法求出点H到直线l的距离．
【解答】解：设点E的坐标为（x，2x+3），
∵点D（3，0），点T是点D，E的“和谐点”，
∴点T的坐标为（，）．
∵∠TDH＝90°，
∴点T的横坐标和点D的横坐标相同，
∴3．
解得：x＝6．
∴点E的坐标为（6，15），点T的坐标为（3，5）．
设直线ET的解析式为y＝kx+n（k≠0）．
∴，
解得：，
∴直线ET的解析式为yx﹣5．
当y＝0时，x＝1.5．
∴点H的坐标为（1.5，0）．
∴OH．
作HM⊥l于点M．
由题意得：y＝2x+3与x轴的交点A为（﹣1.5，0），
∴E点的，横坐标为6+1.5＝7.5，
∴AE，AH＝3．
∵S△AHEAH×15AE MH．
∴MH．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的相关知识．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
12．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P1，点D是⊙P上的一点．
（1）∠ADB＝ 90 °；
（2）当点D到弦OB的距离最大时，直线DP1与x轴的交点坐标为 ．
【分析】（1）连接AB、AD、BD，利用圆周角定理：90度的圆周角所对的弦是直径，即可得到答案；
（2）由题意，先求出点D和点P的坐标，然后利用待定系数法求出解析式，令y＝0，即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）连接AB、AD、BD，如图1：
∵⊙P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），
又∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴，
∴∠ADB＝90°，
故答案为：90；
（2）由（1）可知，点P是AB的中点，
∵A（8，0），B（0，6），
∴点P的坐标为（4，3），
∵点P关于x轴的对称点是P，
∴P的坐标为（4，﹣3），
∵当点D到弦OB的距离最大时，即作DE⊥OB，点P在DE上，如图2：连接DP，与x轴交点为C；
∴，
此时，点D的坐标为（9，3）；
设直线DP1为y＝kx+b，则把点（4，﹣3）和点（9，3）代入，得：
，
解得，
∴；
令y＝0，则，
解得：，
∴直线DP与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理求线段的长度，以及待定系数法求直线的解析式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．
（1）直线AB的函数解析式为 y＝2x﹣2 ；
（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．
①当△OCD的面积为6时，直线CD就会发蓝光，则此时输入的b的值为 2 ；
②当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 2≤b≤18 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①分别求出D（0，b），C（b，0），则S△OCDbb＝6，求出b即可；
②当线段CD经过A点时，b＝2；当线段CD经过B点时，b＝18；则2≤b≤18时，直线CD就会发红光．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2；
（2）①当x＝0时，y＝b，
∴D（0，b），
当y＝0时，xb，
∴C（b，0），
∴OCb，OD＝b，
∴S△OCDbb＝6，
解得b＝2或b＝﹣2（舍），
故答案为：2；
②当线段CD经过A点时，﹣2+b＝0，
解得b＝2；
当线段CD经过B点时，﹣10+b＝8，
解得b＝18；
∴2≤b≤18时，直线CD就会发红光，
故答案为：2≤b≤18．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
14．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）△AOB的面积是 3 ；
（2）点C的坐标是 （5，3） ；
（3）过B，C两点直线的函数表达式为 ．
【分析】（1）根据题意求得与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，证明△AOB≌△CDA，继而求得C的坐标，
（3）待定系数法求解析式即可．
【解答】解：（1）由，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴，
故答案为：3；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠ABO＝∠CDA＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，AB＝AC，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴△AOB≌△CDA，
∴AO＝CD＝3，AD＝BO＝2，
∴OD＝5，
∴C（5，3），
故答案为：（5，3）；
（3）设BC直线解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴设BC直线解析式为y，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键．
15．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ﹣1 ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 （3，0）或（﹣3，0） ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 或 ．
【分析】（1）将点（1，1）代入y＝kx+2即可得到k的值；
（2）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标；
（3）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当∠CPB＝90°时，当∠PCB＝90°时，分别求解．
【解答】解：（1）∵点（1，1）在函数y＝kx+2的图象上，
∴k+2＝1，
得k＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）令y＝kx+2中x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
∴OA＝2，
∵，
∴OB＝3，
∴B（3，0）或B（﹣3，0）；
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；
（3）将代入y＝2x，得，
∴，
∴，
当∠CPB＝90°时，点P的横坐标为，即；
当∠PCB＝90°时，
将点代入y＝kx+2，
∴，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
过点C作CE⊥OB于点E，
∴，
∴点P的横坐标为，
∴，
故答案为：或．
【点评】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与图形面积问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的综合知识是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 （2，0）或（，0） ．
【分析】把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
【解答】解：∵yx+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x，
即此时P的坐标是（，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（，0）．
故答案为：（2，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 （0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2） ．
【分析】设点P的坐标为（x，y），分三种情况：①当∠APB＝90°时，②当∠PAB＝90°时，③当∠PBA＝90°时，根据勾股定理分别求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴AB2＝42+42＝32，
设点P的坐标为（x，y），
∵点P在一次函数y＝x的图象上，
∴点P的坐标为（x，x），
分三种情况：
①当∠APB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+BP2＝AB2，
∴（x+4）2+x2+x2+（4﹣x）2＝32，
∴x＝0，
∴点P的坐标是（0，0）；
②当∠PAB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+AB2＝PB2，
∴（x+4）2+x2+32＝x2+（4﹣x）2，
∴x＝﹣2，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣2）；
③当∠PBA＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AB2+BP2＝AP2，
∴x2+（4﹣x）2+32＝（x+4）2+x2，
∴x＝2，
∴点P的坐标是（2，2）．
综上，点P的坐标是（0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查勾股定理、一次函数的性质等，解决问题的关键是分类思想的运用．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为“友好点”．如图中的P，Q两点即为“友好点”．已知点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）请在x轴上提供一个点A的“友好点”，它的坐标为 （﹣4，0）或（4，0） ；
（2）在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的“友好点”的是 R，S ；
（3）直线l：y＝x﹣5，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，M为线段CD上一点，若第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，请你提供一个符合题意的点N，N的坐标为 （3，﹣2）（答案不唯一） ．
【分析】（1）因为点A的“友好点”在x轴上，所以|x|＝4，可得结论；
（2）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得4，则是A的同族点；
（3）首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值5，然后“友好点”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）的“友好点”在x轴上，
∴纵坐标为0，
∴|x|＝3+1＝4，
∴x＝±4，
∴点A的“友好点”的坐标为（﹣4，0）或（4，0）；
故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；
（2）∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴3+1＝4，
点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，
0+4＝4，2+2＝4，2+3＝5，
∴点A的同族点的是R，S；
故答案为：R，S；
（3）由题意，直线y＝x﹣5与x轴交于C（5，0），与y轴交于D（0，﹣5）．
点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣5．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝5．
∴点M的“友好点”N满足横纵坐标的绝对值之和为5．
∵第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，
∴N的坐标为（3，﹣2）（答案不唯一）．
故答案为：（3，﹣2）（答案不唯一）．．
【点评】本题是一次函数综合题、考查“友好点”的定义，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19．如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接BC，BC＝2，点M，N分别是线段AB，AC上的动点（M不与A，B重合），且满足∠CMN＝∠CBA．当△CMN为等腰三角形时，M的坐标为 （24，0）或（，0） ．
【分析】先求解点C的坐标为（0，2），可得OC＝2，再利用勾股定理求解OB4，可得点B坐标为（4，0），点A坐标为（﹣4，0），由△CMN为等腰三角形，可得CM＝MN或CN＝CM或NC＝NM，当CM＝MN时，证明△CBM≌△MAN即可，当CM＝CN时，∠CMN＝∠CNM≠∠CBA＝∠CAB，不符合题意，舍去，当NC＝NM时，如图，证明AM＝CM，设OM＝n，则AM＝CM＝4﹣n，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：在y＝kx+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
在Rt△BOC中，BC＝2，OB4，
∴点B坐标为（4，0），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴点A坐标为（﹣4，0），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴AC＝BC，
∵△CMN为等腰三角形，
∴CM＝MN或CN＝CM或NC＝NM，
当CM＝MN时，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CMN＝∠CBA，
∴∠BMN＝∠BMC+∠CMN＝∠BAC+∠ANM，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠MAN＝∠CBM，NM＝CM，
∴△CBM≌△MAN（AAS），
∴AM＝BC＝2，
∵OA＝4，
∴OM＝24，
∴M的坐标为（24，0），
当CM＝CN时，
∴∠CMN＝∠CNM≠∠CBA＝∠CAB，不符合题意，舍去，
当NC＝NM时，如图，
∴∠NCM＝∠CMN＝∠CBA＝∠CAB，
∴AM＝CM，
设OM＝n，则AM＝CM＝4﹣n，
∴（4﹣n）2＝n2+4，
解得：n，
∴M（，0），
综上：点M的坐标为（24，0）或（，0）．
故答案为：（24，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查的是坐标与图形，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，分类讨论是解本题的关键．
20．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ．
【分析】（1）当x+3＝x时，求点C的坐标即可；
（2）分两种情况讨论：当CQ⊥OQ时，t＝2；当OC⊥CQ时，t＝4．
【解答】解：（1）当x+3＝x时，解得x＝2，
∴C（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）∵Q点的运动速度为每秒1个长度单位，运动时间为t秒，
∴OQ＝t，
当CQ⊥OQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴t＝2；
当OC⊥CQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴Q（4，0），
∴t＝4；
综上所述：t的值为2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．如图1，已知直线l1：y＝kx+b交x轴于A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图2，直线CP的表达式为，点P为线段AB的中点，在直线CP上找一点Q，使得OQ+AQ最小，并求出最小值；
（3）如图3，已知点M（﹣2，0），点N（m，2m﹣6）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求m的值．
【分析】（1）把A（6，0），B（0，6）代入y＝kx+b，即可求解；
（2）如图：作点O关于CP的对称点R，连接AR交CP于点Q，则此时OQ+AQ最小，即可求解；
（3）作M关于y轴的对称点G（2，0），以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过H作HK⊥x轴于K，可证明N在直线BH上，由△BOG≌△GKH（AAS），可得H（8，2），直线BH解析式为yx+6，把N（m，2m﹣6）代入可得答案．
【解答】解：（1）把A（6，0），B（0，6）代入y＝kx+b得：，
解得：，
故直线l的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图：作点O关于CP的对称点R，连接AR交CP于点Q，则此时OQ+AQ最小，
理由：OQ+AQ＝RQ+AQ＝RA，
设OR交CP于点T，则点T是OR的中点，
∵A（6，0），B（0，6），
∴线段AB的中点P的坐标为（3，3），
把P（3，3）代入yx+c得：3c，
解得c，
∴直线l2的解析式为yx，
∵CP⊥OR，则直线OR的表达式为：y＝﹣2x，
联立上述两个函数表达式得：﹣2xx，
解得：x，即点T（，），
由中点坐标公式得，点R（，），
由点A、R的坐标得，AR，
即OQ+AQ最小值为；
（3）作M关于y轴的对称点G（2，0），以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过H作HK⊥x轴于K，如图：
∴∠OBM＝∠OBG，
∵A（6，0），B（0，6），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBG+∠ABG＝45°，
∵△BGH是等腰直角三角形，
∴∠ABG+∠ABH＝45°，BG＝GH，
∴∠OBG＝∠ABH，
∴∠OBM＝∠ABH，
∴N在直线BH上，
∵∠OGB＝90°﹣∠HGK＝∠GHK，∠BOG＝∠GKH＝90°，BG＝GH，
∴△BOG≌△GKH（AAS），
∴BO＝GK＝6，OG＝HK＝2，
∴H（8，2），
由B（0，6），H（8，2）可得直线BH解析式为yx+6，
把N（m，2m﹣6）代入得：
2m﹣6m+6，
解得m．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线l2：y＝k2x+b经过点，1），与直线AB交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，连接CB、AC，求△ABC的面积；
（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法可得直线l1的解析式；
（2）由△ABC的面积BH×（xC﹣xA）（2）＝8，即可求解；
（3）分四种情况：在x轴和y轴上，证明△DMQ≌△QNC（AAS），得DM＝QN，QM＝CN，设D（m，m+6）（m＜0），表示点Q的坐标，根据OQ的长列方程可得m的值，从而得到结论．
【解答】解：（1）y＝k1x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵OBOA，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0），
把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，
k1，
∴直线l1的解析式为：yx+6；
（2）设AC交x轴于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx，即点H（0，），
则BH＝6，
则△ABC的面积BH×（xC﹣xA）（2）＝8；
（3）存在，分四种情况：
①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，
∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，
∴∠MDQ＝∠CQN，
∴△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），
∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，
即﹣m+1m+6，
m＝1﹣2，
∴Q（0，2）；
②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，
即m+6m﹣1，
m＝5﹣4，
∴Q（6﹣4，0）；
③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即m﹣6m+1，
m＝﹣45，
∴Q（﹣46，0）；
④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即m﹣6m﹣1，
m＝﹣21，
∴Q（0，﹣2）；
综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣46，0）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形W，若图形W上存在点K使得∠PQK＝α（0°＜α＜180°），则称图形W与PQ“α关联”．
（1）已知P（0，0），Q（1，0），以下列各点为中心，作边长为1的正方形W，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是 ①③ ．
①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1）．
（2）如图，已知直线l．
①已知P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．设直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，求Q点横坐标t的取值范围；
②已知P（﹣1，0），Q（0，0）．长度为1的线段ST在l上，以ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是“α+90°关联”，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出，正方形W与射线OK有交点，进而求得边长为1的正方形W的中心到边长的距离的范围，进而判断即可求解；
（2）①根据一次函数与坐标轴交点结合特殊角的三角函数值得出∠NMO＝30°，根据P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．线段MN与PQ“α关联”，其中60°＜α＜90°，分别画出α＝∠PMQ＝90°．∠PQN＝α＝60°时的Q点的位置，进而结合图形，即可求解；
②设R为ST上任意一点，QF、QG分别为⊙R的两条切线，根据ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“a关联”又是a+60°关联”但不是“a+90°关联“得出，进而求得QR的最小值，得出，即可求解．
【解答】解：（1）∵W与PQ“45°关联”，
∴∠PQK＝45°，
如图所示，正方形ABCD的边长为1，E是AB的中点，
∴，，
正方形的中心到边上的距离的范围为：，
边长为1的正方形W，W与PQ“45°关联”，
则正方形W与射线OK有交点，
∵①（1，﹣1）；②（2，0）；③（0，1），
如图所示，
点③（0，1）在射线OK上，
①（1，﹣1）到OK1的距离为，则以（1，﹣1）为中心的正方形W与OK1有交点，
综上所述，若W与PQ“45°关联”，则这个中心可能是①③，
故答案为：①③；
（2）①已知直线l：，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，，
∴，N（0，3），
∴ON＝3，，
∴，
∴∠NMO＝30°，
∵P，Q在直线y＝﹣2上运动，且点P在点Q左侧．线段MN与PQ“a关联”，其中60°＜α＜90°，
∴当MQ垂直于直线y＝﹣2时，Q点的横纵坐标最小（不取等于号），此时α＝∠PMQ＝90°，
∴，
当∠PQN＝α＝60°时，如图所示，设PQ与y轴交于点F，则F（0，﹣2），
∴FN＝3﹣（﹣2）＝5，
∴，
Q点横坐标t的取值范围为：；
②设R为ST上任意一点，QF，QG分别为⊙R的两条切线，
如图所示，当∠FQG＝90°时，
∴∠QFR＝∠RGQ＝∠FQG＝90°，
∴四边形QFRG是矩形，
又∵RF＝RG，
∴四边形QFRG是正方形，
∴，
当∠MQN＝60°时，则∠RQF＝30°，则QR＝2FR＝2r，
∵ST上任意一点为圆心作半径为r的圆，对每一个圆总存在α使之与PQ既是“α关联”又是“α+60°关联”但不是°α+90°关联”，
∴，
∵ST在直线l：上，
∴当QR⊥I时，QR取得最小值，则r取得最小值，如图所示，
由①可得ON＝3，，则MN＝6，
此时，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了一次函数综合考点，正方形的性质，特殊的三角函数值，圆的切线等相关知识，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键．
24．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝2OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据两点距离公式表示出EF的长，然后求出OB的长，代入数量关系式中，求解a值即可；
（3）根据等高三角形的面积比等于底边长之比，分类讨论求解a的值，从而得到E的坐标即可．
【解答】解：（1）将B，C的坐标代入一次函数解析式：
，
∴k1，b＝4，
∴一次函数的表达式：yx+4，
将C点坐标代入正比例函数解析式：
12＝6k2，
∴k2＝2，
∴正比例函数的表达式：y＝2x；
（2）∵点E的横坐标为a，
∴E（a，a+4），
∵EP⊥x轴，
∴F（a，2a），
∴EF＝|a+4﹣2a|＝|4a|，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵EF＝2OB，
∴|4a|＝4，
∴a＝0或12；
（3）∵E在线段BC上，
∴0＜a＜6，
∵EP⊥x轴，
∴P（a，0），
∴EPa+4，EF＝4a，
∵直线OC能否把△CEP分成面积之比为1：3的两部分，
∴EF：EP＝1：4或3：4，
∴4aa+1或16a＝4a+12，
解得：a＝3或，
∴E（3，8）或（，）．
【点评】本题主要考查了一次函数综合题，综合运用待定系数法求一次函数解析式及正比例函数解析式、两点之间的距离以及三角形的面积来解答是本题解题的关键．
25．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得：a＝2，
∴C（2，﹣4），
由点A、C的坐标得，AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
故m的值为4或6．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）当y＝3时，y3，得到点A（1，3），再由待定系数法即可求解；
（2）当点E在y轴左侧时，由△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m），得到点E（﹣1，）；当点E（E′）在y轴右侧时，则此时点E、E关于点A对称，即可求解；
（3）当点P在y轴左侧时，证明PC＝AC，设点P（x，0），即可求解；当点P（P′）在y轴右侧时，则点P′、P关于点A对称，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝3时，y3，
解得：x＝1＝a，即点A（1，3），
将点A的坐标代入函数表达式得：3＝k，则k，
则直线l2的表达式为：yx；
（2）如图1，当点E在y轴左侧时，
设直线l2和y轴交于点H（0，），设点E（m，m），由函数的表达式知，点D（0，），
则DH，
则△ADE的面积DH×（xA﹣xE）（1﹣m），
解得：m＝﹣1，即点E（﹣1，）；
当点E（E′）在y轴右侧时，
则此时点E、E关于点A对称，
由中点坐标公式得：点E′（3，），
即点E的坐标为：（﹣1，）或（3，）；
（3）存在，理由：由函数的表达式知，点C（﹣3，0），
当点P在y轴左侧时，如图2，
∵∠ACB＝2∠APC，则∠CPA＝∠CAP，
即PC＝AC，设点P（x，0），
由点A、P、C的坐标得，AC＝5，PC＝﹣3﹣x＝5，
解得：x＝﹣8，即点P（﹣8，0），
当点P（P′）在y轴右侧时，
则点P′、P关于点A对称，
由中点坐标公式得：点P′（10，0），
综上，P（﹣8，0）或（10，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标；
（4）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（5）在y轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△OBC的面积OB×xC2×3＝3，即可求解；
（3）作C关于x轴对称点C'，连接BC'，交x轴于E，此时△BCE周长最小，即可求解；
（4）①当DA⊥AB时，证明△DAM≌△ABO，则DM＝AO＝3，AM＝BO＝2，即D（﹣5，3）；②当D′B⊥AB时，同理可解；
（5）当PO＝CO时，则y2＝25，即可求解；当PO＝PC或CO＝PC时，同理可解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象经过点C（3，4），
∴4＝3k，
∴k，
∴正比例函数解析式为yx，
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过A（﹣3，0），C（3，4），
∴，
∴，
∴一次函数为yx+2；
（2）由一次函数的表达式知，点B（0，2），即OB＝2，
则△OBC的面积OB×xC2×3＝3；
（3）存在，理由：
如图，
作C关于x轴对称点C'，连接BC'，交x轴于E，此时△BCE周长最小．
∵C（3，4），
∴C'（3，﹣4），
∵B（0，2）
∴BC'的解析式为：y＝﹣2x+2
令y＝0，得0＝﹣2x+2，
∴x＝1
∴E点的坐标为（1，0）；
（4）①当DA⊥AB时，如图，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
∵DA＝AB，∠DMA＝∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM＝AO＝3，AM＝BO＝2，
∴D（﹣5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N＝BO＝2，BN＝AO＝3，
∴D′（﹣2，5）
∴D点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（5）存在，理由：
设点P（0，y），
由点P、C、O的坐标得：PO2＝y2，CO2＝25，PC2＝9+（y﹣4）2，
当PO＝CO时，
则y2＝25，则y＝±5，
即点P（0，5）或（0，﹣5）；
当PO＝PC或CO＝PC时，
则y2＝9+（y﹣4）2或25＝9+（y﹣4）2，
解得：y＝0（舍去）或8或，
即点P（0，8）或（0，）；
综上，P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理、添加辅助线构造全等三角形等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
28．如图，将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，P（m，n）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积是S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当时，在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ的值最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）从图中不难发现，点B在y轴上，即B点的横坐标为0，且点B在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，则将x＝0代入即可求得y值，B点坐标即可确定；
（2）根据A点为一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点，不难确定A点的坐标为（1，0），再运用三角形的面积计算公式，即可用求得；
（3）要使得PQ+BQ最小，找出点P对称点P′，然后连接BP′且求出解析式y＝﹣6x+2，当y＝0时即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度后得到的一次函数为：y＝﹣2x+2，
当x＝0，则y＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）点P（m，﹣2m+2），
由y＝﹣2x+2，令y＝0，则x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴S△AOPOA y1×（﹣2m+2）＝﹣m+1，
即S＝﹣m+1（0＜m＜1）；
（3）当S时，在x轴上存在一点Q，使得PQ+BQ最小，理由如下：
当Sx+1，
解得：x，
∴点P的坐标为（，1），
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标是（，﹣1），
如图，
设直线BP′的函数表达式为y＝kx+b，把点B（0，2）代入，解得：b＝2，
将P′（，﹣1）代入y＝kx+2，解得：k＝﹣6，
∴y＝﹣6x+2，
当y＝0时，0＝﹣6x+2，
解得x，
∴在x轴上存在一点Q（，0），使得PQ+BQ最小．
【点评】此题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，AD＝5，∠DCB＝90°，连接BD．点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿折线A→B→D运动，到达D点停止．设点P的运动时间为x秒（0＜x＜11），△DAP的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出关于函数y的一条性质 当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（3）若该函数图象与直线y＝x+k恰好有一个交点，则常数k的取值范围是 k＝6或﹣11＜k≤0 ．
【分析】（1）当点P在AB上时，则yAP DHx×4＝2x；当点P在BD上移动时，同理可解；
（2）当x＝0时，y＝0，当x＝6时，y＝12，当x＝11时，y＝0，根据上述各点绘制函数图象即可；观察函数图象得到函数性质；
（3）当直线y＝x+k在m、n、l的位置时，属于临界点，即可求解．
【解答】解：（1）作DH⊥AB于点H，
∵0＜x＜11，则BD＝11﹣6＝5，
即△ABD为等腰三角形，则BH＝CD＝3＝AH，
则DH4，
则sin∠DBA，
当点P在AB上时，
则yAP DHx×4＝2x；
当点P在BD上移动时，
则y＝S△ABD﹣S△ABP6×4AB×PBsin∠DBA＝126（x﹣6）x，
则y；
（2）当x＝0时，y＝0，当x＝6时，y＝12，当x＝11时，y＝0，
根据上述各点绘制函数图象如下：
从函数图象看，当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当0＜x≤6时，y随x增大而增大，当6＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当直线y＝x+k在m、n、l的位置时，属于临界点，
直线m：将点（6，12）代入y＝x+k得：12＝6+k，则k＝6；
直线n：k＝0；
直线l：同理可得：k＝﹣11，
故k＝6或﹣11＜k≤0，
故答案为：k＝6或﹣11＜k≤0．
【点评】此题重点考查平行线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、一次函数的图象与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（4，0），点D是直线AC上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当点D在直线AC上运动时，存在某时刻，使得△DBC为直角三角形且∠CBD＝90°，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段AC的中点时，此时，在直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A（﹣2，0），点C（0，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，将点（4，0），点C（0，4）代入y＝kx+b之中求出，由此可得直线BC的解析式；
（2）设直线BD的解析式为：y＝mx+n，根据直线BC的解析式为y＝﹣x+4，BD⊥BC得m＝1，将m＝1，点B（4，0）代入y＝mx+n求出，则直线BD的解析式为y＝x﹣4，解方程组即可得出点D的坐标；
（3）依题意有以下两种情况：①当点P在直线AC的右侧时，过点P作PE⊥x轴于E，PH⊥AC于H，设点P（t，﹣t+4），则PE＝﹣t+4，OE＝t，显然t＞0，AE＝2+t，AB＝6，由勾股定理得AC，AP，证明△APH为等腰直角三角形则PH＝AH，由勾股定理得APPH，则PH，再根据S△ABC＝S△APC+S△ABP构造关于t的方程，然后解方程求出t＝2.5，进而可得点P的坐标；②当点P在仔细ACDE左侧时，设为P'，则PA⊥P'A，先求出直线PA的解析式，进而得直线P'A的解析式为y＝﹣3x﹣6，解方程组即可得出点P'的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）对于y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），点C（0，4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
将点（4，0），点C（0，4）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）过点B作BD⊥BC交直线AC于点D，则点D符合条件，如图1所示：
设直线BD的解析式为：y＝mx+n，
∵直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，BD⊥BC，
∴m＝1，
将m＝1，点B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣4，
解方程组：，得：，
∴点D（﹣8，﹣12）；
（3）直线BC上存在点P，使∠DAP＝45°，
依题意有以下两种情况：
①当点P在直线AC的右侧时，过点P作PE⊥x轴于E，PH⊥AC于H，如图2所示：
∵点P在直线BC：y＝﹣x+4上，
∴设点P（t，﹣t+4），
则PE＝﹣t+4，OE＝t，显然t＞0，
∵点A（﹣2，0），点C（0，4），点B（4，0），
∴OA＝2，OC＝OB＝4，
∴AE＝OA+OE＝2+t，AB＝OA+OB＝6，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC，
在Rt△APE中，由勾股定理得：AP，
∵∠DAP＝45°，PH⊥AC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∴PH＝AH，
由勾股定理得：APPH，
∴PH，
∴PH，
∵S△ABC＝S△APC+S△ABP，
∴AB OCAC PH+1AB PE，
即AB OC＝AC PH+AB PE，
∴，
即，
整理得：2t2+5t﹣25＝0，
解得：t＝2.5，t＝﹣5（不合题意，舍去），
∴﹣t+4＝﹣2.5+4＝1.5，
∴点P（2.5，1.5）；
②当点P在仔细ACDE左侧时，设为P'，如图3所示：
∵∠DAP＝∠DAP'＝45°，
∴∠PAP'＝90°，
即PA⊥P'A，
设直线PA的解析式为：y＝k1x+b1，
将A（﹣2，0），点P（2.5，1.5）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，
∴直线PA的解析式为：，
设P'A的解析式为：y＝k2x+b2，
∵PA⊥P'A，
∴k2＝﹣3，
将k2＝﹣3，点A（﹣2，0）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线P'A的解析式为：y＝﹣3x﹣6，
解方程组：，得：，
∴点P'的坐标为（﹣5，9）．
综上所述：直线BC上是否存在点P，使得∠DAP＝45°，此时点P的坐标为（2.5，1.5）或（﹣5，9）．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求两个一次函数的图象交点坐标的方法是解决问题的关键．
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