【高考押题预测】2025年高考数学核心考点考前冲刺 变量间的相关关系（解答题）（含解析）

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变量间的相关关系（解答题）
一．解答题（共20小题）
1．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，判断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．
表1
A 26 18 13 10 4 ﹣1
B 20 24 34 38 50 64
表2
C 0 5 10 15 20 25 30 35
D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75
2．根据变量x，y的观测数据可得散点图（1）；根据变量u，v的观测数据可得散点图（2）．由这两个散点图判断x与y，u与v之间的相关关系类型（即指出是正相关还是负相关）．
3．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y＝C1x2+C2与模型②：y作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．
温度x/℃ 20 22 24 26 28 30 32
产卵数y/个 6 10 21 24 64 113 322
t＝x2 400 484 576 676 784 900 1024
Z＝lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77
26 692 80 3.57
1157.54 0.43 0.32 0.00012
其中ti＝xi2，，zi＝lnyi，，
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β，αβ．
（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（3）若模型①、②的相关指数计算分别为R12＝0.82，R22＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．
4．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学xi 80 75 70 65 60
物理yi 70 66 68 64 62
（1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；
（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．
参考数据和公式：，其中，；，
残差和公式为：．
5．现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如表所示．
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？
注：若|r|＞0.75，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系．
6．2023年3月6日，中华人民共和国国务院新闻办公室举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会，介绍“加快推进新型工业化做强做优做大实体经济”有关情况．经综合研判，今年我国新能源汽车产业将保持良好的发展态势，生产和销售将实现稳定增长．据统计，去年10月至今年2月某品牌新能源汽车的市场销售量如下表．
月份x 10月 11月 12月 1月 2月
销售量y/万辆 0.6 0.7 1.0 1.3 1.6
（1）根据数据作出散点图；
（2）判断x与y之间的相关关系．
7．某人统计了同一个省6个城市某一年的人均国民生产总值（即人均GDP）（单位：万元）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如表：
城市 A B C D E F
人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1
患白血病的儿童数 351 312 207 175 132 180
画出散点图，并判定人均GDP（设为变量x）与患白血病的儿童数量（设为变量y）之间是否具有线性相关关系．
8．如表是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
判断这两个变量之间是否存在相关关系．
9．如表为某十个地区某年1月平均气温与海拔及纬度的数据，试分析1月平均气温与海拔之间、1月平均气温与纬度之间是否具有相关关系（结果保留三位小数）．
平均气温xi/℃ 0.84 2.22 3.42 4.92 6.9 8.58 9.54 9.9 11.7 12.66
海拔yi/m 4650 4420 4220 3970 3640 3360 3200 3140 2840 2680
纬度zi 35.3 33.8 35 33.8 32.2 38.9 37.1 38.4 36.3 36.8
10．对下面这组数据：
x 1 2 3 4 10 10
y 1 3 3 5 1 11
计算相关系数，大概在0.5左右．对这组数据大部分点来说，x与y之间有很强的线性相关关系，是什么因素导致相关系数只有0.5左右？
11．试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
（1）商品的销售价格与其供应量；
（2）汽车的耗油量与行驶速度；
（3）真空中自由降落的小球的位移（单位：m）与时间（单位：s）；
（4）空气中污染物浓度（单位：μg/m3）与日降雨量（单位：cm）．
12．判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
（1）家庭月用电量与月平均气温；
（2）一天中的最高气温与最低气温；
（3）某企业生产的一种商品的销量与其广告费用；
（4）谷物的价格与牛肉的价格；
（5）在公式LW＝12中的L与W．
13．下列几对变量，哪些有明显的正相关、明显的负相关、接近于0的相关系数？
（1）广告费与销售额；
（2）施肥量与粮食产量；
（3）汽车车速与司机的年龄；
（4）人的体重与身高．
14．近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．
（1）该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人，
①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；
②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级，你认为哪种方案更合理，并给出理由．
（2）学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下：
第x天 1 2 3 4 5
用时y（小时） 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0
①计算变量x和y的相关系数r（精确到0.01），并说明两变量线性相关的强弱．
②根据①中的计算结果，判定变量x和y是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．
参考数据和公式：3.16，相关系数r．
15．在随机调查某校高三男生的身高和臂展时，得到数据：
身高x/cm 176 171 165 178 169 172 176 168 173 171 180 191 179
臂展y/cm 169 162 164 170 172 170 181 161 174 164 182 188 182
（1）绘制身高与臂展的散点图，初步判断二者之间的关系；
（2）判断身高x与臂展y之间的相关关系（结果保留两位小数）．
16．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 A B C D E F G H I J K
海拔高度/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
17．随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
18．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
19．已知x，y之间的一组数据如表：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
（1）分别从集合A＝1，3，6，7，8，B＝1，2，3，4，5中各取一个数x，y，求x+y≥10的概率；
（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试根据残差平方和：的大小，判断哪条直线拟合程度更好．
20．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：
航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 7.08 91.4 68.5
顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？
变量间的相关关系（解答题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，判断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．
表1
A 26 18 13 10 4 ﹣1
B 20 24 34 38 50 64
表2
C 0 5 10 15 20 25 30 35
D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75
【分析】在坐标系中画出散点图，即可判断变量是否具有线性相关关系．
【解答】解：散点图分别如图1和图2所示：
从图中可以看出两图中的点都分布在一条曲线附近，因此两图中的变量都具有相关关系，
图（1）中A的值由大变小时，B的值却是由小变大，
图（2）中C的值由小变大时，D的值却是由小变大．
【点评】本题考查散点图，属于基础题．
2．根据变量x，y的观测数据可得散点图（1）；根据变量u，v的观测数据可得散点图（2）．由这两个散点图判断x与y，u与v之间的相关关系类型（即指出是正相关还是负相关）．
【分析】根据正相关以及负相关的含义作判断．
【解答】解：在回归与相关分析中，因变量值随自变量值的增大（减小）而增大（减小），
在这种情况下，因变量和自变量的相关系数为正值，即正相关．散点图（1）y值随x值的增大而增大，因此x与y之间正相关；
在回归与相关分析中，因变量值随自变量值的增大（减小）而减小（增大），
在这种情况下，因变量和自变量的相关系数为负值，即负相关．散点图（2）v值随u值的增大而减小，因此v与u之间负相关．
【点评】本题考查正相关以及负相关的含义，考查基本分析判断能力，属基础题．
3．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y＝C1x2+C2与模型②：y作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．
温度x/℃ 20 22 24 26 28 30 32
产卵数y/个 6 10 21 24 64 113 322
t＝x2 400 484 576 676 784 900 1024
Z＝lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77
26 692 80 3.57
1157.54 0.43 0.32 0.00012
其中ti＝xi2，，zi＝lnyi，，
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β，αβ．
（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（3）若模型①、②的相关指数计算分别为R12＝0.82，R22＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．
【分析】（1）画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，结合图形判断模型②更适宜作为回归方程类型；
（2）计算模型①的回归系数，写出回归方程，求出x＝30时的值；
计算模型②的回归系数，写出回归方程，求出x＝30时的值即可；
（3）根据判断模型②的拟合效果更好．
【解答】解：（1）画出y关于t的散点图如图1，
画出z关于x的散点图如图2；
根据散点图可以判断模型②更适宜作为回归方程类型；
（2）对于模型①，设t＝x2，则y＝C1x2+C2＝C1t+C2，
计算C10.43，
C2C180﹣0.43×692＝﹣217.56，
∴所求回归方程为0.43x2﹣217.56，
当x＝30时，估计温度为0.43×302﹣217.56＝169.44；
对于模型②，设y，
则z＝lny＝C3x+C4，
计算C30.32，
C4C33.57﹣0.32×26＝﹣4.75，
∴所求回归方程为0.32x﹣4.75，
即e0.32x﹣4.75；
当x＝30时，估计温度为e0.32×30﹣4.75≈127.74；
（3）∵R12＝0.82，R22＝0.96，
∴，
∴模型②的拟合效果更好．
【点评】本题考查了散点图以及回归方程和相关指数的应用问题，也考查了分析与判断能力的应用问题，是综合性题目．
4．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学xi 80 75 70 65 60
物理yi 70 66 68 64 62
（1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；
（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．
参考数据和公式：，其中，；，
残差和公式为：．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是A55，满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C55，根据等可能事件的概率得到结果．
（2）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．
（3）做出残差平方差，得到结果是0，根据所给的残差平方和的范围，得到所求的线性回归方程是一个优拟方程．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是A55﹣1＝119
满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C52，
∴恰有两个人是自己的实际分的概率是．
（2）70，66，
b0.36，
a＝40.8，
∴回归直线方程为0.36x+40.8．
（3）0.36x+40.8，
0.36×80+40.8＝69.6，0.36×75+40.8＝67.8，
0.36×70﹣40.8＝66，0.36×65+40.8＝64.2，
0.36×60+40.8＝62.4，
∴（70﹣69.6）+（66﹣67.8）+（68﹣66）+（64﹣64.2）+（62﹣62.4）＝0，
∵残差和公式为：0，
∵0∈（﹣0.1，0.1），
∴回归方程为优拟方程．
【点评】本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查新定义问题，是一个基础题，注意题目的数字运算不要出错．
5．现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如表所示．
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？
注：若|r|＞0.75，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系．
【分析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
【解答】解：由表中的数据可得，
（120+108+…+99+108）＝107.8，
（84+64+…+57+71）＝68，
1202+1082+…+992+1082＝116584，
842+642+…+572+712＝47384，
120×84+108×64+…+108×71＝73796，
故相关系数r0.7506＞0.75，
故这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．
【点评】本题主要考查相关系数的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6．2023年3月6日，中华人民共和国国务院新闻办公室举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会，介绍“加快推进新型工业化做强做优做大实体经济”有关情况．经综合研判，今年我国新能源汽车产业将保持良好的发展态势，生产和销售将实现稳定增长．据统计，去年10月至今年2月某品牌新能源汽车的市场销售量如下表．
月份x 10月 11月 12月 1月 2月
销售量y/万辆 0.6 0.7 1.0 1.3 1.6
（1）根据数据作出散点图；
（2）判断x与y之间的相关关系．
【分析】（1）根据表格信息画出散点图即可；
（2）根据散点图判断即可．
【解答】解：（1）作出散点图如下：
（2）由散点图可知，5组样本数据呈正相关关系．
【点评】本题主要考查了散点图的应用，考查了变量间的相关关系，属于基础题．
7．某人统计了同一个省6个城市某一年的人均国民生产总值（即人均GDP）（单位：万元）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如表：
城市 A B C D E F
人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1
患白血病的儿童数 351 312 207 175 132 180
画出散点图，并判定人均GDP（设为变量x）与患白血病的儿童数量（设为变量y）之间是否具有线性相关关系．
【分析】首先根据已知表格中的数据画出散点图，再根据散点图可知，有5个点大致分布在一条直线的附近，即可得出结论．
【解答】解：根据表中数据画散点图，如图所示：
从图中可以看出，有5个点大致分布在一条直线的附近，
所以这两个变量具有线性相关关系．
【点评】本题主要考查了两个变量间的线性相关关系，考查了散点图的应用，属于基础题．
8．如表是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
判断这两个变量之间是否存在相关关系．
【分析】以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图，再根据散点图判断即可．
【解答】解：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图，如图所示，
我们会发现，随着身高的增加，体重基本上呈增长的趋势，所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．
【点评】本题主要考查了两个变量相关关系的判断，属于基础题．
9．如表为某十个地区某年1月平均气温与海拔及纬度的数据，试分析1月平均气温与海拔之间、1月平均气温与纬度之间是否具有相关关系（结果保留三位小数）．
平均气温xi/℃ 0.84 2.22 3.42 4.92 6.9 8.58 9.54 9.9 11.7 12.66
海拔yi/m 4650 4420 4220 3970 3640 3360 3200 3140 2840 2680
纬度zi 35.3 33.8 35 33.8 32.2 38.9 37.1 38.4 36.3 36.8
【分析】求出平均数，，，将成对数据分别以（，）、（，）为零点进行平移，作出散点图，观察分析相关性．
【解答】解：依题意，气温x的平均数xi≈12.7333，
海拔y的平均数yi≈3371.6667，
纬度z的平均数xi≈35.8417，
将成对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x12，y12）以为零点进行平移，
得到平移后的成对数据，，，，…，，，
作出其散点图得气温与海拔的散点图，如图：
将成对数据（x1，z1），（x2，z2），…，（x12，z12）以为零点进行平移，
得到平移后的成对数据，，…，，
作出其散点图得气温与纬度的散点图，如图：
观察散点图知，气温与海拔的散点图中的点大多数分布在第一、三象限，呈一定的正相关性，相关关系一般，
气温与纬度的散点图在4个象限均有，并且很散，气温与纬度相关关系很弱．
【点评】本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
10．对下面这组数据：
x 1 2 3 4 10 10
y 1 3 3 5 1 11
计算相关系数，大概在0.5左右．对这组数据大部分点来说，x与y之间有很强的线性相关关系，是什么因素导致相关系数只有0.5左右？
【分析】根据各对数据之间的关系进行说明．
【解答】解：这组数据共有6对数据，第1，2，3，4，6对数据相关性很强，
绝对值在1以内，但第5对数据相差很大，两个数据相差9，
在散点图中，第1，2，3，4，6对数据对应的点几乎在一条直线附近，
而第5对数据对应的点远远偏移这条直线，
在计算相关系数时，对结果影响较大，
从而得出相关系数大约为0.5．
【点评】本题考查相关关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
（1）商品的销售价格与其供应量；
（2）汽车的耗油量与行驶速度；
（3）真空中自由降落的小球的位移（单位：m）与时间（单位：s）；
（4）空气中污染物浓度（单位：μg/m3）与日降雨量（单位：cm）．
【分析】（1）根据相关关系的定义判断；
（2）根据相关关系的定义判断；
（3）根据相关关系的定义判断；
（4）根据相关关系的定义判断．
【解答】解：（1）商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系，一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价格就越高，某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略；
（2）汽车的耗油量与行驶速度之间具有相关关系，通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速（不同的汽车范围不一定一样）时，速度稍高，耗油反而较少；
（3）根据自由落体运动方程，自由降落的小球的位移与时间之间是函数关系；
（4）空气中污染物浓度与日降雨量之间具有相关关系，通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低．
【点评】本题主要考查了两变量间的相关关系，属于基础题．
12．判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
（1）家庭月用电量与月平均气温；
（2）一天中的最高气温与最低气温；
（3）某企业生产的一种商品的销量与其广告费用；
（4）谷物的价格与牛肉的价格；
（5）在公式LW＝12中的L与W．
【分析】根据相关关系的定义逐一判断即可．
【解答】解：（1）月平均气温的高低不受家庭月用电量的影响，两个变量之间不具有相关关系；
（2）一天中的最高气温不受最低气温的影响，两个变量之间不具有相关关系；
（3）企业生产的一种商品的销量除了受其广告费用影响，还受其它因素影响，比如商品的质量等，因此这两个变量之间具有相关关系；
（4）谷物的价格不受牛肉的价格影响，两个变量之间不具有相关关系；
（5）在公式LW＝12中，给定L一个值，W有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不具有相关关系．
【点评】本题主要考查了变量间的相关关系，属于基础题．
13．下列几对变量，哪些有明显的正相关、明显的负相关、接近于0的相关系数？
（1）广告费与销售额；
（2）施肥量与粮食产量；
（3）汽车车速与司机的年龄；
（4）人的体重与身高．
【分析】（1）根据相关关系的定义判断；
（2）根据相关关系的定义判断；
（3）根据相关关系的定义判断；
（4）根据相关关系的定义判断．
【解答】解：（1）广告费用高了，销售额也高了，因此是正相关；
（2）合理范围内，施肥量大，粮食产量高，它们是正相关；
（3）汽车车速与司机的年龄之间相关关系不太明显，是接近于0的相关系数；
（4）在一定范围内，身高越高，体重越大，它们是正相关．
【点评】本题主要考查了变量间的相关关系，属于基础题．
14．近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．
（1）该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人，
①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；
②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级，你认为哪种方案更合理，并给出理由．
（2）学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下：
第x天 1 2 3 4 5
用时y（小时） 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0
①计算变量x和y的相关系数r（精确到0.01），并说明两变量线性相关的强弱．
②根据①中的计算结果，判定变量x和y是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．
参考数据和公式：3.16，相关系数r．
【分析】（1）①首先求出高一年级的总人数，即可求出高一学生每天抽检人数；②显然分散抽检更合理；
（2）①根据相关系数公式求出r，即可判断线性相关关系；②根据相关系数的正负判断即可，再给出合理解析即可；
【解答】（1）解：①高一学生每天抽检人数为（人）；
②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强、潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛査工作；
（2）解：①，
所以，，
变量x和y的相关系数为，
因为|r|＞0.75，可知两变量线性相关性很强；
（2）由r＜0可知变量x和y是负相关；
可能的原因：随着抽检工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短；
【点评】本题考查了分层抽样，相关系数r的作用，属于中档题．
15．在随机调查某校高三男生的身高和臂展时，得到数据：
身高x/cm 176 171 165 178 169 172 176 168 173 171 180 191 179
臂展y/cm 169 162 164 170 172 170 181 161 174 164 182 188 182
（1）绘制身高与臂展的散点图，初步判断二者之间的关系；
（2）判断身高x与臂展y之间的相关关系（结果保留两位小数）．
【分析】（1）根据给定数据画出散点图，再作大致判断作答．
（2）计算x，y之间的相关系数，利用相关系数的大小作出判断作答．
【解答】解：（1）身高与臂展的散点图如下：
初步判断身高与臂展呈线性相关关系，臂展随着身高的增加而增加．
（2）身高的平均数 （176+171+…+191+179）≈174.5，
臂展的平均值172.2，
，
所以身高与臂展的相关系数 ，
说明x与y具有很强的线性相关关系．
【点评】本题考查了散点图的应用以及相关系数的计算与应用，属于中档题．
16．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 A B C D E F G H I J K
海拔高度/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
【分析】由表中数据计算相关系数即可得出结果．
【解答】解：设鸟的种类数为y，海拔高度为x，
，
，
∴，
当r＞0时，且0.75＜r≤1时，两变量正相关，相关性较强，
所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，两者呈正相关，相关性较强．
【点评】本题考查了相关系数的应用，属于中档题．
17．随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
【分析】作出成对数据的散点图，由数据计算相关系数即可得出结果．
【解答】解：成对数据的散点图如图所示：
从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，
由数据可得，
，
，
∴，
由此可推断，销售额与广告支出之间具有相关关系，相关程度较强，且销售额与广告支出的变化趋势相同．
【点评】本题考查了散点图和变量间的相关关系，属于中档题．
18．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额．
【解答】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）5，
50
又已知，．
于是可得：
50﹣6.5×5＝17.5
因此，所求回归直线方程为：6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
6.5×10+17.5＝82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【点评】用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点．是两个系数之间的纽带，希望大学注意．
19．已知x，y之间的一组数据如表：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
（1）分别从集合A＝1，3，6，7，8，B＝1，2，3，4，5中各取一个数x，y，求x+y≥10的概率；
（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试根据残差平方和：的大小，判断哪条直线拟合程度更好．
【分析】（1）由题意知这是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是分别从集合A，B中各取一个数组成数对（x，y），共有5×5对，满足x+y≥10的可以列举出来，根据概率公式得到结果．
（2）根据所给的两条直线的方程和五个坐标点，求出用作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和，用作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和，比较得到结果．
【解答】解：（1）由题意知这是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是分别从集合A，B中各取一个数组成数对（x，y），共有25对，
其中满足x+y≥10的有（6，4），（6，5），（7，3），（7，4），（7，5），（8，2），（8，3），（8，4），（8，5），共9对
故使x+y≥10的概率为．
（2）用作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：．
用作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：．
∵S2＜S1，
故用直线拟合程度更好．
【点评】这是一个综合题，考查统计问题和概率问题，又是一个基础题，考查最基本的古典概型和判断直线的拟合效果，残差平方和越小，拟合效果越好．
20．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：
航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 7.08 91.4 68.5
顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？
【分析】根据y与x的线性相关性求出回归系数和，即可得线性回归方程，根据参考公式和已知数据求得相关系数r≈﹣0.87．
【解答】解：设顾客投诉次数为y，正点率为53978.3，57975.1，65796，
设经验回归方程为，
（81.8+76.8+76.6+75.7+73.8+72.2+71.2+70.8+91.4+68.5）＝75.88．
68+74+93+72+122+18+125）＝73.6，
4.705，
将代入经验回归方程可得430.615，
所以经验回归方程为4.705x+430.615，
所以呈现出线性相关关系，样本相关系数r0.87，
r的绝对值越接近1，相关性越强，所以相关程度较高．变化趋势是正点率提高一个百分点，顾客投诉次数减少约为4.7．
【点评】本题主要考查相关系数以及回归方程的求解，考查计算能力，属于中档题．
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