11.3 课时2 一元一次不等式组的应用 课件(共41张PPT) 2024—2025学年人教版七年级数学下册

(共41张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
课时2 一元一次不等式组的应用
目
录
1. 学习目标
3. 知识点1 一元一次不等式组的简单应用
5. 课堂小结
6. 当堂小练
CONTENTS
2. 知识回顾
4. 知识点2 一元一次不等式组的实际应用
8. 拓展与延伸
7. 对接中考
1. 会用一元一次不等式组解决简单问题.
2. 会通过列一元一次不等式组去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程 .
学习目标
知识回顾
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
审
设出适当的未知数.
设
根据题中的不等关系列出不等式.
列
解不等式，求出其解集.
解
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
验
用一元一次不等式解决实际问题的步骤
写出答案.
答
新课讲解
知识点1 一元一次不等式组的简单应用
例
1. x 取哪些整数值时，不等式 5x+2>3(x-1) 与 都成立？
解集中的整数值
解：解不等式组 得 所以 x 可取的整数值是 -2，-1，0，1，2，3，4.
求一元一次不等式组的特殊解的方法
先求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如非负整数解、最小整数解等)，还可以借助数轴直观地找特殊解.
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例
2. 若不等式组 有解，求 a 的取值范围.
解：对于不等式组
解不等式①，得 x≥-a. 解不等式②，得 x<1.
∵ 不等式组 有解，
∴ 对 -a 和 1 的大小关系进行讨论：
①当 -a>1 时，如下图所示.
不等式组无解，不符合题意；
0
1
-a
②当 -a=1 时，不等式组无解，不符合题意；
③当 -a<1 时，如下图所示.
可以看出此时不等式组有解.
∴ -a<1，即 a>-1.
-a
0
1
根据不等式组的解的情况求字母的取值范围的方法
已知不等式组的解的情况，确定这个不等式组中字母的取值范围，可先求出不等式组的解集，然后结合已知条件，或利用数轴直观地得到关于字母的关系式，即可解决问题.
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例
3. 已知不等式组 的解集为 -3解：对于不等式组
解不等式①，得 x>2+a. 解不等式②，得 x由题意知，不等式组有解，
∴ 不等式组的解集为 2+a∵ 不等式组的解集为 -3∴ 解得
∴ (a+b)2 022=(-5+4)2 022=(-1)2 022=1.
根据不等式组的解集求字母或式子的值
当含未知常数项的不等式组的解集确定时，一般先解出不等式组的解集，然后比较两个解集之间的关系，通过列方程(组)或不等式进行求解.
新课讲解
例
4. 若关于 x 的不等式组 的整数解共有 4 个，求 m 的取值范围 .
方法点拨： 先解不等式组，再根据其特殊解的情况找出临界点的取值范围 .
解： 解不等式①，得 x ＜ m. 解不等式②，得 x ≥ 3.
∴ 原不等式组的解集为 3 ≤ x ＜ m.
∵ 原不等式组有 4 个整数解，
∴ 原不等式组的解集在数轴上的表示如图所示 .
当 m=6 时，不等式组只有 3 个整数解，不符合题意 .
当 m=7 时，符合题意 .
∴ m 的取值范围为 6 ＜ m ≤ 7.
解题时m=6和m=7的
情况易被忽视，做此类
型题时需注意
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练一练
1. 不等式组 的正整数解的个数是 ( )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
C
x≤3
1，2，3
不等式组的解集为 -1x>-1
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练一练
2. x 取哪些整数值时，成立？
解：解不等式组
解不等式①，得 x≥3．
解不等式②，得 x≤5．
∴ 不等式组的解集为 3≤x≤5．
∴ x 可取的整数值是 3，4，5．
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练一练
3. 若不等式组 无解，则 m 的取值范围为（ ）
A. m≤ 2 B. m<2 C. m≥ 2 D. m>2
思路引导：
解：解不等式 ，得 x >8.
∵ 不等式组无解， ∴ 4 m ≤ 8，解得 m ≤ 2.
A
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知识点2 一元一次不等式组的实际应用
5. 3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？
解：设每个小组原先每天生产x件产品，由题意，得
解不等式组，得
根据题意，x的值应是整数，所以x=16.
答：每个小组原先每天生产16件产品.
例
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列一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
(1)审：分析已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系.
(2)设：设出合适的未知数.
(3)列：根据题目中的不等关系,列出一元一次不等式组.
(4)解：解不等式组(可以借助数轴也可以用“口诀”).
(5)验：检验所求出的不等式组的解集是否符合题意及实际意义.
(6)答：写出答案.
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例
6. 攀枝花市出租车的收费标准是：起步价 5 元(即行驶距离不超过 2 千米都需付 5 元车费)，超过 2 千米以后，每增加 1 千米，加收 1.8 元（不足 1 千米按 1 千米计）.某同学从家乘出租车到学校，付了车费 24.8 元.求该同学的家到学校的距离在什么范围？
解：设该同学的家到学校的距离是 x 千米.
依题意，得
解得 12答：该同学的家到学校的距离在大于 12 千米小于或等于 13 千米的范围.
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例
解：(1) 根据题意，得 2a+b=50，当 b=20 时，2a+20=50，
解得 a=15.
7. 如图，某校劳动兴趣小组准备用50 m 的栅栏围成一块靠墙的长方形菜地 . 设长方形菜地的宽为 a m，长为 b m.
(1)当 b=20 时，求 a 的值；
(2)受场地条件的限制， b 的取值范围为 18 ≤ b ≤ 26，
求 a 的取值范围 .
(2) 由(1)知， b=50－2a.
∵ 18 ≤ b ≤ 26， ∴ 18 ≤ 50－2a ≤ 26，
即50－2a ≥ 18，50－2a ≤ 26. 解得 12 ≤ a ≤ 16.
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例
8. 某工厂有甲种原料 130 kg，乙种原料 144 kg.现用这两种原料生产出 A，B 两种产品共 30 件.已知生产每件 A 产品需甲种原料 5 kg，乙种原料 4 kg，且每件 A 产品可获利 700 元；生产每件 B 产品需甲种原料 3 kg，乙种原料 6 kg，且每件 B 产品可获利 900 元.设生产 A 产品 x 件(产品件数为整数)，根据以上信息解答下列问题：
(1)生产 A，B 两种产品的方案有哪几种？
(2)设生产这 30 件产品可获利 y 元，写出 y 与 x 之间的关系式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润.
解：(1)根据题意，得
解得 18≤x≤20.
因为 x 是正整数，所以 x＝18 或 19 或 20.
共有三种生产方案：
方案一：生产 A 产品 18 件、B 产品 12 件；
方案二：生产 A 产品 19 件、B 产品 11 件；
方案三：生产 A 产品 20 件、B 产品 10 件．
(2)根据题意，得 y＝700x+900(30-x)=-200x+27000.
当 x=18 时，y=23400；
当 x=19 时，y=23200；
当 x=20 时，y=23000.
故利润最大的方案是方案一：生产 A 产品 18 件、B 产品 12 件，最大利润为 23400 元．
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练一练
1. 红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/时的平均速度，需要用2时到达.由于天气原因，原路返回时汽车的平均速度控制在不低于50千米/时且不高于60千米/时的范围内，这样需要用t时到达，求t的取值范围.
解：由题意，得
解得 2.5≤t≤3.
答：t的取值范围为2.5≤t≤3.
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练一练
2. 红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完，若所获利润大于 750 元，则该店进货方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解析：设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50-x)件.
由题意得
解得 20≤ x＜25.
∵ x 为整数，∴ x＝20，21，22，23，24.
∴ 该店进货方案有 5 种．
C
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练一练
3. 有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人．
(1)请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？
(2)某学校组织 240 名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6 辆，一次将全部师生送到指定地点. 若每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
解：（1）设 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 x 人、y 人．
根据题意，得
解得
答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人、30 人．
（2）设租甲种客车 a 辆．
根据题意，得 解得 4≤a＜6.
因为 a 取整数，所以 a＝4 或 5.
当 a＝4 时，租车费用为 4×400+2×280=2 160（元）；
当 a＝5 时，租车费用为 5×400+1×280=2 280（元）.
因为 2 160<2 280，所以租甲种客车 4 辆、乙种客车 2 辆所用费用最低，最低费用为 2 160 元.
课堂小结
分析已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系.
审
设出合适的未知数.
设
根据题中的不等关系列出不等式组.
列
解不等式组，求出其解集.
解
检验所求出的不等式组的解集是否符合题意.
验
写出答案.
答
用一元一次不等式组解决实际问题的步骤
当堂小练
1. 已知点 P(1-a，2a+6)在第四象限，则 a 的取值范围是( )
A. a<-3 B. -3- 3 D. a>1
A
a<-3
当堂小练
2. 小明在网上购买了牛奶和蛋糕，牛奶的储藏温度要求为2℃ ～6℃，蛋糕的储藏温度要求为0℃ ～10℃，若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为（　　）
A.0℃～2℃ B.2℃～6℃
C.0℃～6℃ D.2℃～10℃
B
当堂小练
3. 在关于 x， y 的方程组 中，已知x>1， y<2，求 m 的取值范围 .
解： ② - ①，得 3y=m－1， ∴ y= .
把 y= 代入①中，得 x－ =2m+1，
∴ x= .
∵ x>1， y<2， ∴ 解得 ∴ m 的取值范围为 当方程组的解满足特定要求时，先设法求出这个方程组的解，然后根据题意列出不等式组，即可求出所求字母的取值范围 .
归纳
当堂小练
4. 若关于 x 的一元一次不等式组 有 2 个负整数解，则 a 的取值范围是_________.
-3≤a<-2
不等式组的解集为a2个负整数解为-2和-1
-3≤a<-2
易混淆边界值是否取到出错
在数轴上表示出不等式组的解集，如下图：
所以 .注意这里 a 可以取到 -3 但不能取到 -2，因为若，则原不等式组的解集为 ，此时负整数解为 -2 和 -1，符合题意；若 ，则原不等式组的解集为 ，此时负整数解为 -1，不符合题意.
2
0
-3
-2
-1
1
3
a
当堂小练
5. 若不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≥3
C．m≤3 D．m＜3
C
x＞3
m ≤ 3
6. 若不等式组 有 3 个整数解，则 m 的取值范围是_________.
20，1，2
当堂小练
7. 【感知】解不等式 ＞ 0. 根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组①或不等式组②
解不等式组①，得 x ＞ 1；解不等式组②，得 x ＜－2，所以原不等式的解集为 x ＞ 1 或 x ＜ －2.
【探究】解不等式 ＜ 0.
解：原不等式可化为不等式组①或不等式组②
解不等式组①，得不等式组无解；解不 等 式 组 ②，得 －1 ＜ x ＜ 2.
所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 －1 ＜x ＜ 2.
解：原不等式可化为不等式组①或不等式组②
解不等式组①，得不等式组无解；解不等式组②，得 －5 ≤ x ≤ 3.
所以原不等式的解集为 －5 ≤ x ≤ 3.
【应用】不等式（x－3）（x+5） ≤ 0 的解集是_____________ .
－5 ≤ x ≤ 3
当堂小练
8. 某出租汽车公司计划购买 A 型和 B 型两种节能汽车，若购买 A 型汽车 4 辆，B 型汽车 7 辆，共需 310 万元；若购买 A 型汽车 10 辆,B 型汽车 15 辆，共需 700 万元.
(1) A 型和 B 型汽车每辆的价格分别是多少万元？
(2)该公司计划购买 A 型和 B 型两种汽车共 10 辆，费用不超过 285 万元，且 A 型汽车的数量少于 B 型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
解：(1)设 A 型汽车每辆的价格为 x 万元，B 型汽车每辆的价格为 y 万元，
依题意，得 解得
答：A 型汽车每辆的价格为 25 万元，B 型汽车每辆的价格为 30 万元.
(2)设购买 A 型汽车 m 辆，则购买 B 型汽车(10-m)辆，
根据题意，得 解得 3≤m<5.∵ m 是整数，∴ m=3 或 4.
当 m=3 时，该方案所需费用为 25×3+30×7=285(万元)；
当 m=4 时，该方案所需费用为 25×4+30×6=280(万元).
答：费用最省的方案是购买 A 型汽车 4 辆，B 型汽车 6 辆，该方案所需费用为 280 万元.
当堂小练
9. 为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别是多少元？
(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备协调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱.要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
解：(1)设清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为 x 元、y 元．
根据题意，得
解得
答：清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为 2000 元、3000 元．
(2)设分配 a 人清理养鱼网箱，则分配(40-a)人清理捕鱼网箱．
根据题意，得
解得 18 ≤ a＜20.
∵ a 为正整数，∴ a＝18 或 19.
∴ 一共有 2 种分配方案，分别为：
方案一：分配 18 人清理养鱼网箱、22 人清理捕鱼网箱；
方案二：分配 19 人清理养鱼网箱、21 人清理捕鱼网箱.
当堂小练
10. 在新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉.现已知这批物资中，食品和矿泉水共 410 箱，且食品比矿泉水多 110 箱.
(1)食品和矿泉水各有多少箱？
(2)现计划租用 A、B 两种货车共 10 辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知 A 种货车最多可装食品 40 箱和矿泉水 10 箱，B 种货车最多可装食品 20 箱和矿泉水 20 箱，A 种货车每辆需付运费 600 元，B 种货车每辆需付运费 450 元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
解：(1)设食品有 x 箱，矿泉水有 y 箱.
依题意得 解得
答：食品有 260 箱，矿泉水有 150 箱．
(2)设租用 A 种货车 m 辆，则租用 B 种货车(10-m)辆.
依题意得
解得 3≤m≤5.又因为 m 为正整数，
所以 m 可以为 3，4，5，
所以共有 3 种运输方案，
方案 1：租用 A 种货车 3 辆，B 种货车 7 辆.
方案 2：租用 A 种货车 4 辆，B 种货车 6 辆.
方案 3：租用 A 种货车 5 辆，B 种货车 5 辆．
选择方案 1 所需运费为 600×3+450×7=4 950(元)，
选择方案 2 所需运费为 600×4+450×6=5 100(元)，
选择方案 3 所需运费为 600×5+450×5=5 250(元)．
因为 4 950＜5 100＜5 250，
所以政府应该选择方案 1，才能使运费最少，最少运费是 4 950 元.
当堂小练
11. 某工厂有甲种原料 130 kg，乙种原料 144 kg.现用这两种原料生产出 A，B 两种产品共 30 件.已知生产每件 A 产品需甲种原料 5 kg，乙种原料 4 kg，且每件 A 产品可获利 700 元；生产每件 B 产品需甲种原料 3 kg，乙种原料 6 kg，且每件 B 产品可获利 900 元.设生产 A 产品 x 件（产品件数为整数），根据以上信息解答下列问题：
(1)生产 A，B 两种产品的方案有哪几种？
(2)设生产这 30 件产品可获利 y 元，写出 y 与 x 之间的关系式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润.
解：(1)根据题意，得
解得 18≤x≤20.
因为 x 是正整数，所以 x＝18 或 19 或 20.
共有三种生产方案：
方案一：生产 A 产品 18 件、B 产品 12 件.
方案二：生产 A 产品 19 件、B 产品 11 件.
方案三：生产 A 产品 20 件、B 产品 10 件．
(2)根据题意,得 y＝700x+900(30-x)=-200x+27 000.
当 x=18 时，y=23 400；
当 x=19 时，y=23 200；
当 x=20 时，y=23 000.
故利润最大的方案是方案一：生产 A 产品 18 件、B 产品 12 件，最大利润为 23 400 元．
当堂小练
12. 某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2 辆大型渣土运输车与 3 辆小型渣土运输车一次共运输土方 31 t，5 辆大型渣土运输车与 6 辆小型渣土运输车一次共运输土方 70 t.
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148 t，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x t，一辆小型渣土运输车一次运输土方 y t.
根据题意，得 解得
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方 8 t，一辆小型渣土运输车一次运输土方 5 t.
(2)设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车 m 辆，则派出小型渣土运输车(20－m)辆．
根据题意，得 解得 16≤m≤18.
因为 m 取整数，所以 m 可取 16，17，18.
故有三种派车方案：
方案一：大型渣土运输车 16 辆、小型渣土运输车 4 辆.
方案二：大型渣土运输车 17 辆、小型渣土运输车 3 辆.
方案三：大型渣土运输车 18 辆、小型渣土运输车 2 辆.
对接中考
1. 下列不等式中，与 －x ＞ 1组成的不等式组无解的是（　　）
A. x ＞ 2 B. x ＜ 0
C. x ＜ －2 D. x ＞ －3
A
对接中考
2. 解不等式组 并写出满足不等式组的所有整数解 .
对接中考
3. 不等式组 的整数解有 ______个 .
4
解：解不等式 得 x ＞ －2，
解不等式 ，得 x ＜ 3.
所以不等式组的解集为 －2 ＜ x ＜ 3.
所以不等式组的整数解为 －1，0，1，2，即不等式组有4 个整数解 .
对接中考
4. 解不等式组 并求出它的所有整数解的和.
对接中考
5. 关于 x 的不等式组 恰有 3 个整数解，则 a的取值范围
是 ________.
2≤a<3
对接中考
6. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子 . 已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元；购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325元 .
(1) 购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
解：(1) 设购买一个甲种品牌毽子需要 x 元，购买一个乙种品牌毽子需要y 元，
根据题意，得
解得
答：购买一个甲种品牌毽子需要 15元，购买一个乙种品牌毽子需要 10 元 .
对接中考
6. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子 . 已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元；购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325元 .
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1 000 元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的 5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的 16 倍，则有几种购买方案？
解：(2) 设购买 m 个甲种品牌毽子，则购买 =(100－ m)个乙种品牌毽子，
根据题意，得解得 ≤ m ≤ 64.
又∵ m，（100－ m）均为正整数，∴ m 可以为 60，62，64.
∴ 学校共有 3 种购买方案，
方 案 1：购 买 60 个 甲 种 品 牌 毽 子，10 个乙种品牌毽子；
方 案 2：购 买 62 个 甲 种 品 牌 毽 子，7 个乙种品牌毽子；
方 案 3：购 买 64 个 甲 种 品 牌 毽 子，4 个乙种品牌毽子 .
对接中考
6. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子 . 已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元；购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325元 .
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是 5 元，每售出一个乙种品牌毽子利润是 4 元，在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：(3) 学校选择方案 1，商家可获得的总利润为 5× 60+4× 10=340（元）；
学校选择方案 2，商家可获得的总利润为 5× 62+4× 7=338（元）；
学校选择方案 3，商家可获得的总利润为 5× 64+4× 4=336（元） .
∵ 340 元＞ 338 元＞ 336 元，
∴ 在(2)的条件下，学校购买 60个甲种品牌毽子，10 个乙种品牌毽子时，商家获得的利润最大，最大利润是340 元 .
拓展与延伸
1. 已知 ，试求 x 的取值范围.
解：根据题意可得不等式组 ①或 ②
解不等式组①，得 x>5.
解不等式组②，得 x<2.
所以 x 的取值范围是 x>5 或 x<2.
两式异号
拓展与延伸
2. 已知关于 x，y 的方程组 的解满足不等式组 求满足条件的 m 的整数值.
解：解方程组 得
则不等式组 可化为
解得 -4 < m ≤ -.
所以当 m 为整数时，m=-3 或 m=-2.
方法二：
由①+②，得 3x+y=3m+4.
由②-①，得 x+5y=m+4.
则不等式组 可化为
解得 -4 < m ≤ -.所以当 m 为整数时，m=-3 或 m=-2.