专题提升练4 动力学中的连接体问题和临界、极值问题
梯级Ⅰ基础练
1.如图所示，质量不等的木块A和B的质量分别为 m1和m2，置于光滑的水平面上。当水平力F作用于左端A上，两物体一起做匀加速运动时，A、B间作用力大小为F1;当水平力F作用于右端B上，两物体一起做匀加速运动时，A、B间作用力大小为 F2，则在两次作用过程中( )
A.F1+F2=F B.F1+F2C.< D.>
2.(多选)(2025·菏泽模拟)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体A、B通过轻弹簧连接。在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动。A在空中，B在地面上。力F与水平方向成θ角，则B受到的支持力FN和摩擦力Ff正确的是( )
A.FN=m1g+m2g-Fsin θ
B.FN=m1g+m2g+Fcos θ
C.Ff=Fsin θ
D.Ff=Fcos θ
3.(2025·南京模拟)如图，质量为M的斜面体置于水平面上，将一个质量为m的小物块放在斜面上，若向右对小物块施加恒力F1或向左对斜面体施加恒力F2，都能恰好使得两者不相对滑动，不计一切摩擦，F1和F2的大小之比为( )
甲乙
A.m∶M B.M∶m
C.(M+m)∶M D.(M+m)∶m
4.如图所示，长度为L的绳静止在粗糙水平地面上，绳的质量分布均匀，并且与地面间的动摩擦因数处处相等。若对绳的右端施加水平向右的恒力F，使其向右运动，则绳上与其右端距离为x处的拉力大小为( )
A.F B.F
C.F D.0
5.(多选)(2025·德州模拟)AB是固定在空中的光滑水平横杆，一质量为M的物块穿在杆AB上，物块通过细线悬吊着一质量为m的小球，重力加速度为g。现用沿杆的恒力F拉物块使物块、小球一起(保持相对静止)向右运动，细线与竖直方向夹角为θ，下列说法正确的是( )
A.杆对物块的支持力为(M+m)g
B.细线上的拉力为
C.F=(M+m)gtan θ
D.物块和小球的加速度为gtan θ
6.(多选)(2025·郑州模拟)如图所示，物块A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上。
已知mA=2 kg，mB=4 kg，A、B间动摩擦因数μ=0.3。对物块A施加一水平向右的拉力F，g取10 m/s2。下列判断正确的是( )
A.当拉力0B.当拉力F>6 N时，物块A相对物体B滑动
C.当拉力F=7.5 N时，物体B受到物块A的摩擦力等于6 N
D.当拉力F=12 N时，物体B受到物块A的摩擦力等于6 N
7.(多选)(2025·西安模拟)如图所示，弹簧下端悬挂一滑轮，跨过滑轮的细线两端系有A、B两重物，mB=2 kg，不计线、滑轮质量及摩擦，则A、B两重物在静止或运动过程中，弹簧的拉力可能为(g取10 m/s2)( )
A.40 N B.60 N
C.80 N D.100 N
梯级Ⅱ能力练
8.(多选)如图所示， A、B物块间的接触面与斜面平行，从斜面上静止释放后，保持相对静止一起沿斜面加速下滑。已知A的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ1，B与斜面之间动摩擦因数为μ2， 重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.A、B间摩擦力为μ1mgcos θ
B.A、B间摩擦力为μ2mgcos θ
C.若斜面光滑，则A、B间摩擦力为0
D.μ1可能小于μ2
9.(2024·全国甲卷)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦;绳的另一端悬挂一轻盘(质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a-m图像。重力加速度大小为g。在下列a-m图像中，可能正确的是( )
10.(2025·保定模拟)如图所示，三个物块A、B、C挤压一根轻质弹簧，恰好处于静止状态，已知三个物块的质量分别是mA=1 kg、mB=2 kg、mC=3 kg，三个物块与水平面的动摩擦因数都是μ=0.2，重力加速度取g=10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，突然把C拿走后的瞬间，则A对B的弹力是( )
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
11.(多选)(2025·莆田模拟)如图所示，一质量为m的物块A与直立弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止状态，为使A、B能分离，某学习小组研究了以下两种方案:
方案一:用力缓慢向下压B，当力增加到F1时，撤去力F1，B开始向上运动，最终A、B分离。
方案二:对B施加一个向上的恒力F2，A、B开始向上运动，最终A、B分离。
下列判断正确的是( )
A.两个方案中A、B分离时，两物块之间的弹力为零
B.两个方案中A、B分离时，一定是B的加速度大于A的加速度
C.两个方案中A、B分离时，弹簧均处于原长
D.只有方案一A、B分离时，弹簧处于原长
12.如图所示，静止在光滑水平面上的斜面体，质量为M=7 kg，倾角为α=30°，其斜面上有一静止的滑块，质量为m=2 kg，两者之间的动摩擦因数为μ=，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现给斜面体施加水平向右的力使斜面体加速运动，g取10 m/s2。求:
(1)若要使滑块与斜面体一起加速运动，图中水平向右的力F的最大值;
(2)若要使滑块做自由落体运动，图中水平向右的力F的最小值。
梯级Ⅲ创新练
13.(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的A、B两个物体放在斜面上，中间用一个轻杆相连，A、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，它们在斜面上加速下滑，关于杆的受力情况，下列分析正确的是( )
A.μ1>μ2，m1=m2，则杆受到压力
B.μ1=μ2，m1>m2，则杆受到拉力
C.μ1<μ2，m1D.μ1=μ2，m1≠m2，则杆无作用力
专题提升练4 动力学中的连接体问题和临界、极值问题
1.A 解析 对整体分析,由牛顿第二定律知,两次整体的加速度大小相等,都为a=,当水平力F作用于左端A上,对B受力分析,由牛顿第二定律可得F1=m2a=,当水平力F作用于右端B上,对A受力分析,由牛顿第二定律可得F2=m1a=,因此有F1+F2=F,=,A项正确,B、C、D三项错误。
2.AD 解析 对两个物体构成的整体进行分析,根据平衡条件有Fcos θ=Ff,Fsin θ+FN=(m1+m2)g,解得Ff=Fcos θ,FN=m1g+m2g-Fsin θ,A、D两项正确。
3.A 解析 由于不计一切摩擦,分析题图甲,对整体受力分析,竖直方向FN地1=(m+M)g,水平方向,列牛顿第二定律F1=(m+M)a1,再对斜面体受力分析,设斜面体倾角为θ,竖直方向FN地1=Mg+FN1cos θ,水平方向,列牛顿第二定律FN1sin θ=Ma1,解得F1=(m+M)。同理,分析题图乙,对整体受力分析,竖直方向FN地2=(m+M)g,水平方向,列牛顿第二定律F2=(m+M)a2,再对小物块受力分析,竖直方向FN2cos θ=mg,水平方向,列牛顿第二定律FN2sin θ=ma2,解得F2=(m+M)gtan θ,所以F1∶F2=m∶M,A项正确。
4.C 解析 设绳的质量为m,对整条绳由牛顿第二定律有F-μmg=ma,左侧长度为(L-x)的部分绳的质量为m,以它为研究对象,则有F'-μmg=ma,联立解得绳上与其右端相距x处的拉力大小F'=F,C项正确。
5.ACD 解析 对小球和物块组成的整体受力分析,如图甲所示,竖直方向上受重力和支持力处于平衡状态,因此杆对物块的支持力为FN=(M+m)g,A项正确;对小球受力分析,如图乙所示,则FT=,由牛顿第二定律得mgtan θ=ma,两物体保持相对静止即加速度相同为a=gtan θ,B项错误,D项正确;对整体,在水平方向上有F=(M+m)a=(M+m)gtan θ,C项正确。
甲 乙
6.AD 解析 当A、B间的摩擦力达到最大静摩擦力时,A、B开始产生滑动,则对A、B整体F0=(mA+mB)a0,对B有μmAg=mBa0=6 N,解得F0=9 N,则当拉力09 N时,物块A相对物体B滑动,A项正确,B项错误;当拉力F=7.5 NF0时,物块A相对物体B滑动,物体B受到物块A的摩擦力等于f=μmAg=6 N,D项正确。
7.AB 解析 当mB>mA时,B向下做加速运动,处于失重状态,细线的拉力TmBg,两物体的加速度大小a8.BC 解析 设B物块的质量为mB,对A、B整体由牛顿第二定律得(m+mB)gsin θ-μ2(m+mB)gcos θ=(m+mB)a,解得a=gsin θ-μ2gcos θ,设A、B间静摩擦力大小为f,B对A的静摩擦力方向沿斜面向上,规定沿斜面向下为正方向,对A由牛顿第二定律得mgsin θ-f=ma得f=μ2mgcos θ,若斜面光滑,则μ2=0,A、B间摩擦力为0,A项错误,B、C两项正确;因A、B间最大静摩擦力Fm=μ1mgcos θ>f,即μ1mgcos θ≥μ2mgcos θ,所以μ1≥μ2,μ1不可能小于μ2,D项错误。
9.D 解析 设P的质量为M,P与桌面的滑动摩擦力为f;以P为研究对象,根据牛顿第二定律得T-f=Ma,以盘和砝码为研究对象,根据牛顿第二定律得mg-T=ma,联立解得a==,当砝码的重力大于f时,才有一定的加速度,当m趋于无穷大时,加速度趋近于g,D项正确。
10.D 解析 根据题意可知,弹簧弹力大小为F弹=μ(mA+mB+mC)g=12 N,突然把C拿走后的瞬间,弹簧弹力保持不变,以A、B为整体,根据牛顿第二定律可得F弹-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a,解得a=2 m/s2,以B为对象,根据牛顿第二定律可得FNAB-μmBg=mBa,解得A对B的弹力为FNAB=8 N,D项正确。
11.AD 解析 方案一:撤去力F1,A、B开始向上运动,当弹簧处于原长时,两物块的加速度相同,均为重力加速度g,此时两物块之间的弹力为零,之后由于弹簧拉伸,A的加速度大于B的加速度,A、B分离;方案二:当两物块之间的弹力为零时,A、B分离,加速度相同。由于存在恒力F2,此时有F2-mg=ma,该加速度不是重力加速度,A的加速度与之相同,所以弹簧要提供向上的弹力,弹簧仍处于压缩状态,A、D两项正确。
12.答案 (1)10 N (2)70 N
解析 (1)当滑块与斜面体一起向右加速时,力F越大,加速度越大,当F最大时,斜面体对滑块的静摩擦力达到最大值Ffm,滑块受力如图甲所示,
甲
设一起加速的最大加速度为a,对滑块受力正交分解,竖直方向由平衡条件可得
FNcos α+Ffmsin α=mg,
水平方向由牛顿第二定律可得
Ffmcos α-FNsin α=ma,
由题意知Ffm=μFN,
联立解得a=g,
对整体受力分析可得F=(M+m)a,
解得F=10 N。
(2)如图乙所示,要使滑块做自由落体运动,滑块与斜面体之间应没有力的作用,滑块的加速度为g,设此时斜面体的加速度为aM,则对斜面体有F=MaM,当水平向右的力F最小时,二者没有相互作用但仍接触,则有
乙
tan α=,
即tan α=,
联立解得F=70 N。
13.AD 解析 设斜面倾角为θ,A、B一起下滑,以物体A、B整体为研究对象,由牛顿第二定律得m1gsin θ+m2gsin θ-μ1m1gcos θ-μ2m2gcos θ=(m1+m2)a,假设杆受拉力,则以物体A为研究对象有m1gsin θ-F-μ1m1gcos θ=m1a,联立可得F=。若μ1>μ2,则F为负值,杆受压力,A项正确;若μ1<μ2,则F为正值,杆受拉力,C项错误;若μ1=μ2,F为零,则杆无作用力,B项错误,D项正确。(共30张PPT)
专题提升练4
描述运动的基本概念
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1.如图所示，质量不等的木块A和B的质量分别为 m1和m2，置于光滑的水平面上。当水平力F作用于左端A上，两物体一起做匀加速运动时，A、B间作用力大小为F1；当水平力F作用于右端B上，两物体一起做匀加速运动时，A、B间作用力大小为 F2，则在两次作用过程中
( )
A.F1+F2=F B.F1+F2C.< D.>
梯级Ⅰ 基础练
对整体分析，由牛顿第二定律知，两次整体的加速度大小相等，都为a=，当水平力F作用于左端A上，对B受力分析，由牛顿第二定律可得F1=m2a=，当水平力F作用于右端B上，对A受力分析，由牛顿第二定律可得F2=m1a=，因此有F1+F2= F，=，A项正确，B、C、D三项错误。
解析
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2.(多选)(2025·菏泽模拟)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体A、B通过轻弹簧连接。在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动。A在空中，B在地面上。力F与水平方向成θ角，则B受到的支持力FN和摩擦力Ff正确的是( )
A.FN=m1g+m2g-Fsin θ
B.FN=m1g+m2g+Fcos θ
C.Ff=Fsin θ
D.Ff=Fcos θ
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对两个物体构成的整体进行分析，根据平衡条件有Fcos θ=Ff，Fsin θ+FN=(m1+m2)g，解得Ff=Fcos θ，FN=m1g+m2g-Fsin θ，A、D两项正确。
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3.(2025·南京模拟)如图，质量为M的斜面体置于水平面上，将一个质量为m的小物块放在斜面上，若向右对小物块施加恒力F1或向左对斜面体施加恒力F2，都能恰好使得两者不相对滑动，不计一切摩 擦，F1和F2的大小之比为( )
A.m∶M B.M∶m
C.(M+m)∶M D.(M+m)∶m
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由于不计一切摩擦，分析题图甲，对整体受力分析，竖直方向 FN地1=(m+M)g，水平方向，列牛顿第二定律F1=(m+M)a1，再对斜面体受力分析，设斜面体倾角为θ，竖直方向FN地1=Mg+FN1cos θ，水平方向，列牛顿第二定律FN1sin θ=Ma1，解得F1=(m+M)。同理，分析题图乙，对整体受力分析，竖直方向FN地2=(m+M)g，水平方向，列牛顿第二定律F2=(m+M)a2，再对小物块受力分析，竖直方向FN2cos θ=mg，水平方向，列牛顿第二定律FN2sin θ=ma2，解得F2=(m+M)gtan θ，所以F1∶F2=m∶M，A项正确。
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4.如图所示，长度为L的绳静止在粗糙水平地面上，绳的质量分布均匀，并且与地面间的动摩擦因数处处相等。若对绳的右端施加水平向右的恒力F，使其向右运动，则绳上与其右端距离为x处的拉力大小为( )
A.F B.F
C.F D.0
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设绳的质量为m，对整条绳由牛顿第二定律有F-μmg=ma，左侧长度为(L-x)的部分绳的质量为m，以它为研究对象，则有F'-μmg=ma，联立解得绳上与其右端相距x处的拉力大小F'=F，C项正确。
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5.(多选)(2025·德州模拟)AB是固定在空中的光滑水平横杆，一质量为M的物块穿在杆AB上，物块通过细线悬吊着一质量为m的小球，重力加速度为g。现用沿杆的恒力F拉物块使物块、小球一起(保持相对静止)向右运动，细线与竖直方向夹角为θ，下列说法正确的是( )
A.杆对物块的支持力为(M+m)g
B.细线上的拉力为
C.F=(M+m)gtan θ
D.物块和小球的加速度为gtan θ
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对小球和物块组成的整体受力分析，如图甲所示，竖直方向上受重力和支持力处于平衡状态，因此杆对物块的支持力为FN=(M+
m)g，A项正确；对小球受力分析，如图乙所示，则FT=，由牛顿第二定律得mgtan θ
=ma，两物体保持相对静止即加速度相同为a=gtan θ，B项错 误，D项正确；对整体，在水平方向上有F=(M+m)a=(M+m)gtan θ，C项正确。
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6.(多选)(2025·郑州模拟)如图所示，物块A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上。已知mA=2 kg，mB=4 kg，A、B间动摩擦因数μ=0.3。对物块A施加一水平向右的拉力F，g取10 m/s2。下列判断正确的是( )
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A.当拉力0B.当拉力F>6 N时，物块A相对物体B滑动
C.当拉力F=7.5 N时，物体B受到物块A的摩擦力等于6 N
D.当拉力F=12 N时，物体B受到物块A的摩擦力等于6 N
当A、B间的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B开始产生滑动，则对A、B整体F0=(mA+mB)a0，对B有μmAg=mBa0=6 N，解得F0= 9 N，则当拉力0 9 N时，物块A相对物体B滑动，A项正确，B项错误；当拉力F=7.5 NF0时，物块A相对物体B滑动，物体B受到物块A的摩擦力等于f=μmAg=6 N，D项正确。
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7.(多选)(2025·西安模拟)如图所示，弹簧下端悬挂一滑轮，跨过滑轮的细线两端系有A、B两重物，mB=2 kg，不计线、滑轮质量及摩 擦，则A、B两重物在静止或运动过程中，弹簧的拉力可能为(g取 10 m/s2)( )
A.40 N B.60 N
C.80 N D.100 N
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当mB>mA时，B向下做加速运动，处于失重状态，细线的拉力TmBg，两物体的加速度大小a解析
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8.(多选)如图所示， A、B物块间的接触面与斜面平行，从斜面上静止释放后，保持相对静止一起沿斜面加速下滑。已知A的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ1，B与斜面之间动摩擦因数为μ2， 重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.A、B间摩擦力为μ1mgcos θ
B.A、B间摩擦力为μ2mgcos θ
C.若斜面光滑，则A、B间摩擦力为0
D.μ1可能小于μ2
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梯级Ⅱ 能力练
设B物块的质量为mB，对A、B整体由牛顿第二定律得(m+ mB)gsin θ-μ2(m+mB)gcos θ=(m+mB)a，解得a=gsin θ-μ2gcos θ，设A、B间静摩擦力大小为f，B对A的静摩擦力方向沿斜面向上，规定沿斜面向下为正方向，对A由牛顿第二定律得mgsin θ-f=ma得f=μ2mgcos θ，若斜面光滑，则μ2=0，A、B间摩擦力为0，A项错误，B、C两项正确；因A、B间最大静摩擦力Fm=μ1mgcos θ>f，即μ1mgcos θ≥μ2mgcos θ，所以μ1≥μ2，μ1不可能小于μ2，D项错误。
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9.(2024·全国甲卷)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘 (质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加
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速度大小a，得到a-m图像。重力加速度大小为g。在下列a-m图像中，可能正确的是( )
设P的质量为M，P与桌面的滑动摩擦力为f；以P为研究对象，根据牛顿第二定律得T-f=Ma，以盘和砝码为研究对象，根据牛顿第二定律得mg-T=ma，联立解得a==，当砝码的重力大于f 时，才有一定的加速度，当m趋于无穷大时，加速度趋近于g，D项正确。
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10.(2025·保定模拟)如图所示，三个物块A、B、C挤压一根轻质弹簧，恰好处于静止状态，已知三个物块的质量分别是mA=1 kg、mB= 2 kg、mC=3 kg，三个物块与水平面的动摩擦因数都是μ=0.2，重力加速度取g=10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，突然把C拿走后的瞬间，则A对B的弹力是( )
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
根据题意可知，弹簧弹力大小为F弹=μ(mA+mB+mC)g=12 N，突然把C拿走后的瞬间，弹簧弹力保持不变，以A、B为整体，根据牛顿第二定律可得F弹-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a，解得a=2 m/s2，以B为对象，根据牛顿第二定律可得FNAB-μmBg=mBa，解得A对B的弹力为FNAB=8 N，D项正确。
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11.(多选)(2025·莆田模拟)如图所示，一质量为m的物块A与直立弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止状态，为使A、B能分离，某学习小组研究了以下两种方案：
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方案一：用力缓慢向下压B，当力增加到F1时，撤去力F1，B开始向上运动，最终A、B分离。
方案二：对B施加一个向上的恒力F2，A、B开始向上运动，最终A、B分离。
下列判断正确的是( )
A.两个方案中A、B分离时，两物块之间的弹力为零
B.两个方案中A、B分离时，一定是B的加速度大于A的加速度
C.两个方案中A、B分离时，弹簧均处于原长
D.只有方案一A、B分离时，弹簧处于原长
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方案一：撤去力F1，A、B开始向上运动，当弹簧处于原长时，两物块的加速度相同，均为重力加速度g，此时两物块之间的弹力为零，之后由于弹簧拉伸，A的加速度大于B的加速度，A、B分 离；方案二：当两物块之间的弹力为零时，A、B分离，加速度相同。由于存在恒力F2，此时有F2-mg=ma，该加速度不是重力加速度，A的加速度与之相同，所以弹簧要提供向上的弹力，弹簧仍处于压缩状态，A、D两项正确。
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12.如图所示，静止在光滑水平面上的斜面体，质量为M=7 kg，倾角为α=30°，其斜面上有一静止的滑块，质量为m=2 kg，两者之间的动摩擦因数为μ=，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现给斜面体施加水平向右的力使斜面体加速运动，g取10 m/s2。求：
1
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(1)若要使滑块与斜面体一起加速运动，图中水平向右的力F的最大值；
当滑块与斜面体一起向右加速时，力F越大，加速度越大，当F最大时，斜面体对滑块的静摩擦力达到最大值Ffm，滑块受力如图甲所示，
解析
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设一起加速的最大加速度为a，对滑块受力正交分解，竖直方向由平衡条件可得FNcos α+Ffmsin α=mg，
水平方向由牛顿第二定律可得Ffmcos α-FNsin α=ma，
由题意知Ffm=μFN，
联立解得a=g，
对整体受力分析可得F=(M+m)a，
解得F=10 N。
解析
1
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(2)若要使滑块做自由落体运动，图中水平向右的力F的最小值。
如图乙所示，要使滑块做自由落体运动，滑块与斜面体之间应没有力的作用，滑块的加速度为g，设此时斜面体的加速度为aM，则对斜面体有F=MaM，当水平向右的力F最小时，二者没有相互作用但仍接触，则有tan α=，即tan α=，
联立解得F=70 N。
解析
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13.(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的A、B两个物体放在斜面 上，中间用一个轻杆相连，A、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，它们在斜面上加速下滑，关于杆的受力情况，下列分析正确的是( )
A.μ1>μ2，m1=m2，则杆受到压力
B.μ1=μ2，m1>m2，则杆受到拉力
C.μ1<μ2，m1D.μ1=μ2，m1≠m2，则杆无作用力
1
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梯级Ⅲ 创新练
设斜面倾角为θ，A、B一起下滑，以物体A、B整体为研究对象，由牛顿第二定律得m1gsin θ+m2gsin θ-μ1m1gcos θ-μ2m2gcos θ =(m1+m2)a，假设杆受拉力，则以物体A为研究对象有m1gsin θ-F-μ1m1gcos θ=m1a，联立可得F=。若μ1>μ2，则F为负值，杆受压力，A项正确；若μ1<μ2，则F为正值，杆受拉力，C项错误；若μ1=μ2，F为零，则杆无作用力，B项错误，D项正确。
解析
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2
3
4专题提升四 动力学中的连接体问题和临界、极值问题
题型1 动力学中连接体问题
1.连接体。
多个相互关联的物体通过细绳、细杆、弹簧等连接或通过叠放、并排放置等构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般有相同的速度、加速度或有相等的速度、加速度大小。
2.解决连接体问题的两种方法。
考向1 轻绳、轻杆、轻弹簧连接类
两个物体通过轻绳、轻杆、轻弹簧连接或并排放置,物体间作用力为弹力,沿着两物体连线方向运动,具有相同的加速度和速度,常见的情形有:
【典例1】 如图甲所示,水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2,中间用一条轻绳连接,两木块的材料相同,用恒力F向右拉木块2,使两木块一起向右做匀加速直线运动,已知重力加速度为g。
(1)若水平面光滑,求轻绳的拉力。
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数为μ,求轻绳的拉力。
(3)如图乙所示,若两木块在平行斜面向上的恒定拉力F作用下一起沿光滑斜面向上匀加速运动,求轻绳的拉力。
(4)若两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ,其他条件与第(3)问相同,求轻绳的拉力。
甲 乙
1.整体法和隔离法分析动力学中的轻绳、轻杆、轻弹簧连接类问题。
(1)整体法:若连接体内的物体具有共同的加速度,可以把它们看成一个整体,对整体应用牛顿第二定律。
(2)隔离法:求系统内物体之间的作用力时,需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程。
(3)整体法和隔离法并用:若连接体内各物体具有共同的加速度,可根据已知条件和求解的问题选择整体法和隔离法并用的方法求解。
①已知系统受力,可先对整体应用牛顿第二定律求系统的加速度,再对其中一个物体(一般选择受力个数少或已知力多的物体)应用牛顿第二定律求相互作用力。
②已知系统内物体间的作用力,可先对其中一个物体应用牛顿第二定律求加速度,再对整体应用牛顿第二定律求系统的合外力或某一个力。
2.轻绳、轻杆、轻弹簧连接类问题中物体间相互作用力的特征。
从典例1的推理计算中不难看出,两物体间轻绳的拉力与有无摩擦力无关,与系统处于平面、斜面还是竖直方向无关。分析考向2中叠放物体类问题,看是否也有相同的结论。
考向2 叠放物体类
两物体叠放在一起有共同的加速度、速度,一般与弹力、摩擦力有关。常见的情形有:
【典例2】
(多选)如图,质量均为m的粗糙木块A、B叠放在一起,静止于水平面上。现对木块B施加一个水平方向的拉力F,使木块A、B一起向右做匀加速直线运动,A与B、B与地面之间动摩擦因数相同均为μ,重力加速度为g,则( )
A.木块A与木块B之间无摩擦力
B.木块A对木块B的摩擦力为μmg
C.木块B受到的地面的摩擦力为2μmg
D.加速度大小为-μg
考向3 跨过滑轮的绳子关联类
跨过滑轮的绳子关联类连接体问题指轻绳在伸直状态下,两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面所示的三种情形中A、B两物体的速度和加速度大小相等,方向不同。
【典例3】
(多选)如图所示,质量分别为m=2 kg和M=3 kg的两个物块A、B通过一根跨过定滑轮的轻绳连接,其中A放置在光滑水平面上,B竖直悬挂。现将两个物块同时由静止释放。已知轻绳不可伸长且始终处于绷紧状态,不计一切摩擦及阻力,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A.轻绳的拉力大小为12 N
B.物块A、B的加速度大小均为10 m/s2
C.若仅将物块A、B互换位置,则轻绳的拉力大小为20 N
D.若仅将物块A、B互换位置,则两物块的加速度大小为4 m/s2
跨过滑轮的绳子关联类连接体问题中的两物体的加速度方向不同,一般采用隔离法分析,对两物体分别列牛顿第二定律的方程,联立解得物体的加速度大小和绳子的拉力大小。
题型2 动力学中的临界和极值问题
1.“四种”典型临界条件。
(1)接触与脱离的临界条件:弹力FN=0。
(2)相对滑动的临界条件:静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件:绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛与拉紧的临界条件是FT=0。
(4)加速度变化时,速度达到最值的临界条件:加速度变为0。
2.求解临界极值问题的三种常用方法。
(1)极限法:把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象(或状态)暴露出来,以达到正确解决问题的目的。
(2)假设法:临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题。
(3)数学方法:将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件。
考向1 相对滑动的临界问题
【典例4】 (多选)如图所示,质量m=1 kg的滑块和质量M=2 kg的木板叠放在一起,滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.1,木板与地面之间的动摩擦因数μ2=0.2,g取10 m/s2。某时刻木板与滑块恰好以相同的速度向右运动,此时给木板施加向右的恒力F,若要求木板与滑块在以后的运动中不产生相对滑动,F的值可能为( )
A.0 N B.4 N
C.6 N D.10 N
【典例5】
如图所示,物体A叠放在物体B上,B置于光滑水平面上,A、B质量分别为mA=6 kg、mB=2 kg,A、B之间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2。开始时F=10 N,此后逐渐增大,在增大到45 N的过程中,下列说法正确的是( )
A.当拉力F<12 N时,物体均保持静止状态
B.两物体开始没有相对运动,当拉力超过12 N时,开始相对滑动
C.两物体从受力开始就有相对运动
D.两物体始终没有相对运动
从典例4和典例5中可以看出,临界加速度均是通过受力个数少且已知力多的物体求得的。
考向2 接触、脱离的临界和极值问题
【典例6】 (多选)如图所示,倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上,质量均为m的物块A和物块B并排放在斜面上,与斜面垂直的挡板P固定在斜面底端,轻弹簧一端固定在挡板上,另一端与物块A连接,物块A、B(物块A、B不相连)处于静止状态。现用一沿斜面向上的外力F拉物块B,使物块A、B一起沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动。已知重力加速度为g,弹簧的劲度系数为k,不计空气阻力,下列说法正确的是( )
A.物块A、B分离时弹簧恰好为原长
B.物块A、B分离前外力F为变力,分离后为恒力
C.从外力F作用在物块B上到物块A、B分离的时间为
D.外力F的最大值为mg+ma
专题提升四 动力学中的连接体问题和临界、极值问题
题型1
【典例1】 答案 (1)F (2)F
(3)F (4)F
解析 (1)若水平面光滑,对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F=(m1+m2)a,
对木块1应用牛顿第二定律得
FT1=m1a,
两式联立解得轻绳的拉力FT1=F。
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ,对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a,
对木块1应用牛顿第二定律得
FT2-μm1g=m1a,
两式联立解得轻绳的拉力FT2=F。
(3)若斜面光滑,对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ=(m1+m2)a,
对木块1应用牛顿第二定律得
FT3-m1gsin θ=m1a,
两式联立解得轻绳的拉力FT3=F。
(4)若两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ,对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ-μ(m1+m2)gcos θ=(m1+m2)a,
对木块1应用牛顿第二定律得
FT4-m1gsin θ-μm1gcos θ=m1a,
两式联立解得轻绳的拉力FT4=F。
【典例2】 CD 解析 根据题意,对整体受力分析,竖直方向上有FN=2mg,水平方向上有Ff=μFN=μ·2mg,由牛顿第二定律有F-Ff=2ma,解得a=-μg,C、D两项正确;根据题意,对A受力分析,水平方向上,由牛顿第二定律有Ff1=ma=-μmg,A、B两项错误。
【典例3】 AD 解析 以A为研究对象,根据牛顿第二定律可得T=ma,以B为研究对象,根据牛顿第二定律可得Mg-T=Ma,联立解得T=12 N,a=6 m/s2,A项正确,B项错误;若仅将物块A、B互换位置,根据牛顿第二定律可得T'=Ma',mg-T'=ma',联立解得T'=12 N,a'=4 m/s2,C项错误,D项正确。
题型2
【典例4】 BC 解析 滑块相对木板静止时,滑块的最大加速度a=μ1g=1 m/s2,木板、滑块一起向右以加速度a做匀减速运动时,拉力最小为F1,对整体有μ2(M+m)g-F1=(M+m)a,解得F1=3 N;木板、滑块一起向右以加速度a做匀加速运动时,拉力最大为F2,对整体有F2-μ2(M+m)g=(M+m)a,解得F2=9 N,所以3 N≤F≤9 N,B、C两项正确。
【典例5】 D 解析 当A、B间达到最大静摩擦力时两者开始相对滑动,以B为研究对象,设临界加速度为a,由牛顿第二定律得μmAg=mBa,得a=6 m/s2。由整体法得F=(mA+mB)a=48 N,所以F增大到45 N的过程中,两物体始终没相对运动,B、C两项错误,D项正确;由于地面光滑,故一开始物体就加速运动,A项错误。
【典例6】 BC 解析 物块A、B在外力的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动,加速度不变,当物块A、B分离时,物块A、B的加速度相等且沿斜面向上,物块A、B间的弹力FN=0,此时对物块A分析kx-mgsin θ=ma,可知弹簧弹力沿斜面向上,弹簧处于压缩状态,A项错误;物块A、B分离后,对B分析F-mgsin θ=ma,故物块A、B分离后,外力F为恒力,B项正确;对物块A、B整体进行分析,外力F未作用在物块B上时,弹簧的压缩量x1=,物块A、B分离时,对物块A有kx-mgsin 30°=ma,解得x=,由运动学知识有x1-x=at2,解得t=,C项正确;物块A、B分离时外力F达到最大,此后不变,由牛顿第二定律得Fmax-mgsin 30°=ma,解得Fmax=mg+ma,D项错误。(共34张PPT)
专题提升四
第三章 运动与力的关系
动力学中的连接体问题和临界、极值问题
题型1 动力学中连接体问题
题型2 动力学中的临界和极值问题
内容
索引
动力学中连接体问题
题型1
1.连接体。
多个相互关联的物体通过细绳、细杆、弹簧等连接或通过叠放、并排放置等构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般有相同的速度、加速度或有相等的速度、加速度大小。
2.解决连接体问题的两种方法。
考向1
轻绳、轻杆、轻弹簧连接类
两个物体通过轻绳、轻杆、轻弹簧连接或并排放置，物体间作用力为弹力，沿着两物体连线方向运动，具有相同的加速度和速度，常见的情形有：
【典例1】 如图甲所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，用恒力F向右拉木块 2，使两木块一起向右做匀加速直线运动，已知重力加速度为g。
(1)若水平面光滑，求轻绳的拉力。
若水平面光滑，对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F=(m1+m2)a，
对木块1应用牛顿第二定律得FT1=m1a，
两式联立解得轻绳的拉力FT1=F。
解析
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数为μ，求轻绳的拉力。
若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a，
对木块1应用牛顿第二定律得
FT2-μm1g=m1a，
两式联立解得轻绳的拉力FT2=F。
解析
(3)如图乙所示，若两木块在平行斜面向上的恒定拉力F作用下一起沿光滑斜面向上匀加速运动，求轻绳的拉力。
若斜面光滑，对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ=(m1+m2)a，
对木块1应用牛顿第二定律得
FT3-m1gsin θ=m1a，
两式联立解得轻绳的拉力FT3=F。
解析
(4)若两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，其他条件与第(3)问相同，求轻绳的拉力。
若两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，对两木块构成的整体应用牛顿第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ-μ(m1+m2)gcos θ=(m1+m2)a，
对木块1应用牛顿第二定律得
FT4-m1gsin θ-μm1gcos θ=m1a，
两式联立解得轻绳的拉力FT4=F。
解析
1.整体法和隔离法分析动力学中的轻绳、轻杆、轻弹簧连接类问题。
(1)整体法：若连接体内的物体具有共同的加速度，可以把它们看成一个整体，对整体应用牛顿第二定律。
(2)隔离法：求系统内物体之间的作用力时，需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程。
(3)整体法和隔离法并用：若连接体内各物体具有共同的加速度，可根据已知条件和求解的问题选择整体法和隔离法并用的方法求解。
①已知系统受力，可先对整体应用牛顿第二定律求系统的加速度，再对其中一个物体(一般选择受力个数少或已知力多的物体)应用牛顿第二定律求相互作用力。
②已知系统内物体间的作用力，可先对其中一个物体应用牛顿第二定律求加速度，再对整体应用牛顿第二定律求系统的合外力或某一个 力。
2.轻绳、轻杆、轻弹簧连接类问题中物体间相互作用力的特 征。
从典例1的推理计算中不难看出，两物体间轻绳的拉力与有无摩擦力无关，与系统处于平面、斜面还是竖直方向无关。分析考向2中叠放物体类问题，看是否也有相同的结论。
考向2
叠放物体类
两物体叠放在一起有共同的加速度、速度，一般与弹力、摩擦力有关。常见的情形有：
【典例2】 (多选)如图，质量均为m的粗糙木块A、B叠放在一起，静止于水平面上。现对木块B施加一个水平方向的拉力F，使木块 A、B一起向右做匀加速直线运动，A与B、B与地面之间动摩擦因数相同均为μ，重力加速度为g，则( )
A.木块A与木块B之间无摩擦力
B.木块A对木块B的摩擦力为μmg
C.木块B受到的地面的摩擦力为2μmg
D.加速度大小为-μg
根据题意，对整体受力分析，竖直方向上有FN=2mg，水平方向上有Ff=μFN=μ·2mg，由牛顿第二定律有F-Ff=2ma，解得a=-μg，C、D两项正确；根据题意，对A受力分析，水平方向上，由牛顿第二定律有Ff1=ma=-μmg，A、B两项错误。
解析
考向3
跨过滑轮的绳子关联类
跨过滑轮的绳子关联类连接体问题指轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面所示的三种情形中A、B两物体的速度和加速度大小相等，方向不同。
【典例3】 (多选)如图所示，质量分别为m=2 kg和M=3 kg的两个物块A、B通过一根跨过定滑轮的轻绳连接，其中A放置在光滑水平面上，B竖直悬挂。现将两个物块同时由静止释放。已知轻绳不可伸 长且始终处于绷紧状态，不计一切摩擦及阻力，重力加速度g取 10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A.轻绳的拉力大小为12 N
B.物块A、B的加速度大小均为10 m/s2
C.若仅将物块A、B互换位置，则轻绳的拉力大小为20 N
D.若仅将物块A、B互换位置，则两物块的加速度大小为4 m/s2
以A为研究对象，根据牛顿第二定律可得T=ma，以B为研究对 象，根据牛顿第二定律可得Mg-T=Ma，联立解得T=12 N，a= 6 m/s2，A项正确，B项错误；若仅将物块A、B互换位置，根据 牛顿第二定律可得T'=Ma'，mg-T'=ma'，联立解得T'=12 N，a'= 4 m/s2，C项错误，D项正确。
解析
跨过滑轮的绳子关联类连接体问题中的两物体的加速度方向不 同，一般采用隔离法分析，对两物体分别列牛顿第二定律的方程，联立解得物体的加速度大小和绳子的拉力大小。
动力学中的临界和极值问题
题型2
1.“四种”典型临界条件。
(1)接触与脱离的临界条件：弹力FN=0。
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是FT= 0。
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：加速度变为0。
2.求解临界极值问题的三种常用方法。
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。
(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。
考向1
相对滑动的临界问题
【典例4】 (多选)如图所示，质量m=1 kg的滑块和质量M=2 kg的木板叠放在一起，滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.1，木板与地面之间的动摩擦因数μ2=0.2，g取10 m/s2。某时刻木板与滑块恰好以相同的速度向右运动，此时给木板施加向右的恒力F，若要求木板与滑块在以后的运动中不产生相对滑动，F的值可能为( )
A.0 N B.4 N C.6 N D.10 N
滑块相对木板静止时，滑块的最大加速度a=μ1g=1 m/s2，木板、滑块一起向右以加速度a做匀减速运动时，拉力最小为F1，对整体有μ2(M+m)g-F1=(M+m)a，解得F1=3 N；木板、滑块一起向右以加速度a做匀加速运动时，拉力最大为F2，对整体有F2-μ2(M+m)g= (M+m)a，解得F2=9 N，所以3 N≤F≤9 N，B、C两项正确。
解析
【典例5】 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面 上，A、B质量分别为mA=6 kg、mB=2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。开始时F=10 N，此后逐渐增大，在增大到45 N的过程中，下列说法正确的是( )
A.当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态
B.两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对滑动
C.两物体从受力开始就有相对运动
D.两物体始终没有相对运动
当A、B间达到最大静摩擦力时两者开始相对滑动，以B为研究对象，设临界加速度为a，由牛顿第二定律得μmAg=mBa，得a= 6 m/s2。由整体法得F=(mA+mB)a=48 N，所以F增大到45 N的过程中，两物体始终没相对运动，B、C两项错误，D项正确；由于地面光滑，故一开始物体就加速运动，A项错误。
解析
从典例4和典例5中可以看出，临界加速度均是通过受力个数少且已知力多的物体求得的。
考向2
接触、脱离的临界和极值问题
【典例6】 (多选)如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，质量均为m的物块A和物块B并排放在斜面上，与斜面垂直的挡板P固定在斜面底端，轻弹簧一端固定在挡板上，另一端与物块A连接，物块A、B(物块A、B不相连)处于静止状态。现用一沿斜面向上的外力F拉物块B，使物块A、B一起沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.物块A、B分离时弹簧恰好为原长
B.物块A、B分离前外力F为变力，分离后为恒力
C.从外力F作用在物块B上到物块A、B分离的时间为
D.外力F的最大值为mg+ma
物块A、B在外力的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，加速度不变，当物块A、B分离时，物块A、B的加速度相等且沿斜面向上，物块A、B间的弹力FN=0，此时对物块A分析kx-mgsin θ=ma，可知弹簧弹力沿斜面向上，弹簧处于压缩状态，A项错误；物块 A、B分离后，对B分析F-mgsin θ=ma，故物块A、B分离后，外力F为恒力，B项正确；对物块A、B整体进行分析，外力F未作用在物块B上时，弹簧的压缩量x1=，物块A、B分离时，对物块A有
解析
kx-mgsin 30°=ma，解得x=，由运动学知识有x1-x=at2，解得t=，C项正确；物块A、B分离时外力F达到最大，此后不变，由牛顿第二定律得Fmax-mgsin 30°=ma，解得Fmax=mg+ ma，D项错误。
解析
