第2讲 抛体运动
■目标要求
1.掌握平抛运动的规律,学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动。2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。3.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
考点1 平抛运动的规律
必|备|知|识
1.平抛运动:将物体以一定初速度沿 方向抛出,物体只在 作用下的运动。
2.平抛运动的性质:平抛运动是加速度为g的 曲线运动,运动轨迹为 。
3.研究方法:化曲为直,可分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。
4.平抛运动的规律。
(1)速度关系。
(2)位移关系。
(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总是垂直的()
(2)平抛运动的初速度越大,在空中飞行的时间越长()
(3)相等时间内做平抛运动的物体速度变化总是相同的,且方向一定竖直向下()
关|键|能|力
1.速度改变量:因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt是相同的,方向恒为竖直向下。
2.两个重要的推论。
(1)做平抛运动的物体,在任一位置P(x,y)的瞬时速度的反向延长线与x轴交点A的横坐标为,如图所示。
(2)做平抛运动的物体,在任一位置速度偏向角θ与位移偏向角α的关系为tan θ=2tan α。
考向1 平抛运动的基本规律
【典例1】 (2024·海南卷)在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越长x=25 m的河流落在河对岸平台上,已知河流宽度25 m,不计空气阻力,取g=10 m/s2,则两平台的高度差h为( )
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
考向2 多个物体的平抛运动
【典例2】
(2025·东莞模拟)在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B,其运动轨迹如图所示,不计空气阻力,两球在空中P点相遇,则( )
A.应先抛出A球
B.应先抛出B球
C.相遇时A球速率小于B球速率
D.抛出时A球的初速度大于B球的初速度
考向3 流体的平抛运动
【典例3】 (2024·北京卷)如图所示,水平放置的排水管满口排水,管口的横截面积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
命题特点:本题以排水管(水平放置)排水为背景考查流体的平抛运动,这里对流量(单位时间内流过的水的体积)的概念要有正确的理解,流量Q=Sv。
复习建议:用平抛运动的规律解决实际问题时,要能够从复杂的情境中提炼出解题需要的物理模型。
考点2 落点有约束的平抛运动
关|键|能|力
与斜面或圆弧有关的平抛运动。
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 物体做平抛运动,垂直落到斜面上,如图所示,已知某时刻的速度方向垂直于斜面 分解速度,有 tan θ==
物体做平抛运动,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,即已知某时刻的速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度,有 tan θ==
已知位 移方向 物体从斜面上平抛又落回到斜面上,如图所示,已知位移的方向沿斜面向下 分解位移,有 tan θ==
物体从斜面外平抛,落在斜面上有最小的位移,如图所示,即已知位移方向垂直于斜面 分解位移,有 tan θ==
利用位 移关系 物体从圆心处平抛,落到半径为R的圆弧上,如图所示,位移大小等于半径R 运用几何关系 x2+y2=R2, 且x=v0t, y=gt2
物体从与圆心等高的圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 运用几何关系 x=R+Rcos θ, y=Rsin θ, (x-R)2+y2=R2, 且x=v0t, y=gt2
考向1 已知某时刻速度方向类
【典例4】
如图所示,以10 m/s的水平初速度抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上,g取10 m/s2,这段飞行所用的时间为( )
A. s B. s C. s D.2 s
考向2 已知位移方向类
【典例5】
如图所示,从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A,先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出,第一次初速度为v1,小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1,第二次初速度为v2,小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2,若v2>v1,则φ1和φ2的大小关系是( )
A.φ1>φ2 B.φ1<φ2
C.φ1=φ2 D.无法确定
考向3 利用位移关系类
【典例6】
如图所示,在竖直平面内有一半圆形轨道,圆心为O。一小球(可视为质点)从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度v0水平向右抛出,落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为θ,重力加速度为g,则小球从A运动到C的时间为( )
A. B.
C. D.
考点3 平抛运动的临界、极值问题
关|键|能|力
常见的“三种”临界特征。
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
考向1 平抛运动的临界问题
【典例7】
如图所示,窗口上、下沿间的高度H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗口上沿高h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物块以速度v垂直于墙壁水平抛出,小物块直接穿过窗口并落在水平地面上,取g=10 m/s2,则v的取值范围是( )
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s考向2 平抛运动的极值问题
【典例8】 某科技比赛中,参赛者设计了一个轨道模型,如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上,最高点距离水平地面2 m,右端出口水平。现让小球由最高点静止释放,忽略阻力作用,为使小球飞得最远,右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0 B.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
考点4 斜抛运动
必|备|知|识
1.定义:将物体以初速度v0 或斜向下方抛出,物体只在 作用下的运动。
2.性质:斜抛运动是加速度为 的 曲线运动,运动轨迹是 。
3.研究方法:运动的合成与分解。
(1)水平方向: 直线运动。
(2)竖直方向: 直线运动。
(1)初速度方向斜向上抛出的轻塑料球的运动可以看成斜上抛运动()
(2)做斜上抛运动的物体到达最高点时的速度为零()
(3)斜上抛运动是匀变速曲线运动()
关|键|能|力
1.基本规律和极值。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O,水平向右为x轴的正方向,竖直向上为y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可分解为v0x=v0cos θ,v0y=v0sin θ。
在水平方向,物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t, ①
vx=v0x=v0cos θ, ②
在竖直方向,物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2, ③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。 ④
在最高点,vy=0,由④式得到t=,⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym=,⑥
物体落回与抛出点同一高度时,有y=0,
由③式得总时间t总=, ⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm=,
当θ=45°时,sin 2θ最大,射程最大。
所以对于给定大小的初速度v0,沿θ=45°方向斜向上抛出时,射程最大。
2.逆向思维法处理斜抛问题。
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,可逆过程分析,看成平抛运动,分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解某些问题。
【典例9】 (2023·湖南卷)如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是( )
甲 乙
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
命题特点:本题以抛撒谷粒为背景考查平抛运动和斜上抛运动的规律,解题中易出现错误的理解是两谷粒的轨迹相交,不是两谷粒相遇。
复习建议:物理试题离不开情境,解答实际问题时,从真实情境中提炼出平抛运动和斜上抛运动模型是解题的关键一步。大多数物理问题三步完成解题,第一步,审题,分析物理问题的情境和已知条件;第二步,从复杂的情境中提炼出有用信息,建立物理模型;第三步,列方程求解。
第2讲 抛体运动
考点1
必备知识
1.水平 重力 2.匀变速 抛物线 3.匀速直线 自由落体 4.(1)gt = (2)v0t gt2
微点辨析 (1)× (2)× (3)√
关键能力
【典例1】 B 解析 车做平抛运动,设运动时间为t,竖直方向h=gt2,水平方向d=v0t,其中d=25 m,v0=25 m/s,解得h=5 m,B项正确。
【典例2】 D 解析 由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同,由h=gt2可知两球下落时间相同,两球应同时抛出,A、B两项错误;根据以上分析A、B做平抛运动的时间相同,但xA>xB,由于水平方向做匀速直线运动,则vAx > vBx,相遇时v=,则相遇时A球速率大于B球速率,C项错误,D项正确。
【典例3】 答案 (1) (2)d (3)Sd
解析 (1)水在空中做平抛运动,由平抛运动规律得,竖直方向h=gt2,
解得水从管口到水面的运动时间t=。
(2)由平抛运动规律得,水平方向d=v0t,
解得水从管口排出时的速度大小
v0=d。
(3)管口单位时间内流出水的体积
Q=Sv0=Sd。
考点2
关键能力
【典例4】 C 解析 物体做平抛运动,当垂直地撞在倾角为θ的斜面上时,把物体的速度分解如图所示,tan θ=,代入数据解得t= s,C项正确。
【典例5】 C 解析 根据平抛运动的推论,做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时,设其速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水平方向的夹角为β,则tan α=2tan β,由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ+θ)=2tan θ,此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关,而与初速度无关,因此φ1=φ2,即以不同初速度平抛的物体,落在斜面上各点的速度方向是互相平行的,C项正确。
【典例6】 B 解析 根据题意得小球做平抛运动,设半圆形轨道半径为R,水平方向小球做匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,即R-Rcos θ=v0t,Rsin θ=gt2,整理得t=,B项正确。
考点3
关键能力
【典例7】 C 解析 若小物块恰好碰到窗口上沿,由平抛运动规律,L=v1t1,h=g,联立解得小物块的速度v1=7 m/s;若小物块恰好碰到窗口下沿,由平抛运动规律,L+d=v2t2,h+H=g,联立解得小物块的速度v2=3 m/s。所以小物块速度v的取值范围是3 m/s【典例8】 C 解析 小球从最高点到右端出口,满足机械能守恒定律,有mg(H-h)=mv2,从右端出口飞出后小球做平抛运动,有x=vt,h=gt2,联立解得x=2,根据数学知识知,当H-h=h时,x最大,即h=1 m时,小球飞得最远,此时右端出口距离桌面高度为Δh=1 m-0.8 m=0.2 m,C项正确。
考点4
必备知识
1.斜向上方 重力 2.g 匀变速 抛物线
3.(1)匀速 (2)匀变速
微点辨析 (1)× (2)× (3)√
关键能力
【典例9】 B 解析 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用,加速度均为重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A项错误;在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动,谷粒1做自由落体运动,竖直方向上位移相同,谷粒2运动时间较长,C项错误;两谷粒水平方向的分运动均为匀速直线运动,水平位移相同,但谷粒2运动时间较长,故谷粒2水平方向上的速度小于v1,B项正确;两谷粒从O点运动到P点的位移相同,运动时间不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D项错误。(共46张PPT)
第2讲
第四章 抛体运动 圆周运动
抛体运动
目
标
要
求
1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动。2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。3.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
考点1 平抛运动的规律
考点2 落点有约束的平抛运动
内容
索引
考点3 平抛运动的临界、极值问题
考点4 斜抛运动
平抛运动的规律
考点1
必|备|知|识
1.平抛运动：将物体以一定初速度沿_________方向抛出，物体只在_______作用下的运动。
2.平抛运动的性质：平抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹为________。
3.研究方法：化曲为直，可分解为水平方向的____________运动和竖直方向的___________运动。
水平
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4.平抛运动的规律。
(1)速度关系。
(2)位移关系。
(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总是垂直的( )
(2)平抛运动的初速度越大，在空中飞行的时间越长( )
(3)相等时间内做平抛运动的物体速度变化总是相同的，且方向一定竖直向下( )
关|键|能|力
1.速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt是相同的，方向恒为竖直向下。
2.两个重要的推论。
(1)做平抛运动的物体，在任一位置P(x，y)的瞬时速度的反向延长线与x轴交点A的横坐标为，如图所示。
(2)做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角θ与位移偏向角α的关系为tan θ=2tan α。
考向1
平抛运动的基本规律
【典例1】 (2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长x=25 m的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g=10 m/s2，则两平台的高度差h为( )
A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m
车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h=gt2，水平方向d= v0t，其中d=25 m，v0=25 m/s，解得h=5 m，B项正确。
解析
考向2
多个物体的平抛运动
【典例2】 (2025·东莞模拟)在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中P点相遇，则( )
A.应先抛出A球
B.应先抛出B球
C.相遇时A球速率小于B球速率
D.抛出时A球的初速度大于B球的初速度
由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同，由h=gt2可知两球下落时间相同，两球应同时抛出，A、B两项错误；根据以上分析A、B做平抛运动的时间相同，但xA>xB，由于水平方向做匀速直线运动，则vAx > vBx，相遇时v=，则相遇时A球速率大于B球速率，C项错误，D项正确。
解析
考向3
流体的平抛运动
【典例3】 (2024·北京卷)如图所示，水平放置的排水管满口排 水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h=gt2，
解得水从管口到水面的运动时间t=。
解析
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
由平抛运动规律得，水平方向d=v0t，
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
解析
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
管口单位时间内流出水的体积
Q=Sv0=Sd。
解析
命题特点：本题以排水管(水平放置)排水为背景考查流体的平抛运动，这里对流量(单位时间内流过的水的体积)的概念要有正确的理解，流量Q=Sv。
复习建议：用平抛运动的规律解决实际问题时，要能够从复杂的情境中提炼出解题需要的物理模型。
落点有约束的平抛运动
考点2
关|键|能|力
与斜面或圆弧有关的平抛运动。
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 物体做平抛运动，垂直落到斜面上，如图所示，已知某时刻的速度方向垂直于斜面 分解速度，有
tan θ==
已知速 度方向 物体做平抛运动，恰好无碰撞地进入 圆弧形轨道，如图所示，即已知某时 刻的速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，有
tan θ==
已知位 移方向 物体从斜面上平抛又落回到斜面上， 如图所示，已知位移的方向沿斜面 向下 分解位移，有
tan θ==
物体从斜面外平抛，落在斜面上有 最小的位移，如图所示，即已知位 移方向垂直于斜面 分解位移，有
tan θ==
利用 位移 关系 物体从圆心处平抛，落到半 径为R的圆弧上，如图所示， 位移大小等于半径R 运用几何关系x2+y2=R2，
且x=v0t，y=gt2
物体从与圆心等高的圆弧上 抛出落到半径为R的圆弧上， 如图所示，水平位移x与R的 差的平方与竖直位移的平方 之和等于半径的平方 运用几何关系x=R+Rcos θ，
y=Rsin θ，(x-R)2+y2=R2，
且x=v0t，y=gt2
考向1
已知某时刻速度方向类
【典例4】 如图所示，以10 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上，g取10 m/s2，这段飞行所用的时间为( )
A. s B. s C. s D.2 s
物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为θ的斜面上时，把物体的速度分解如图所示，tan θ=，代入数据解得t= s，C项正确。
解析
考向2
已知位移方向类
【典例5】 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为 v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A.φ1>φ2 B.φ1<φ2
C.φ1=φ2 D.无法确定
根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α=2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ+θ)=2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1=φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的，C项正 确。
解析
考向3
利用位移关系类
【典例6】 如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球(可视为质点)从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度v0水平向右抛出，落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为θ，重力加速度为g，则小球从A运动到C的时间为( )
A. B. C. D.
根据题意得小球做平抛运动，设半圆形轨道半径为R，水平方向小球做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，即R-Rcos θ=v0t，Rsin θ=gt2，整理得t=，B项正确。
解析
平抛运动的临界、极值问题
考点3
关|键|能|力
常见的“三种”临界特征。
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
考向1
平抛运动的临界问题
【典例7】 如图所示，窗口上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m，某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗口上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物块以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物块直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10 m/s2，则v的取值范围是( )
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s若小物块恰好碰到窗口上沿，由平抛运动规律，L=v1t1，h= g，联立解得小物块的速度v1=7 m/s；若小物块恰好碰到窗口下沿，由平抛运动规律，L+d=v2t2，h+H=g，联立解得小物块的速度v2=3 m/s。所以小物块速度v的取值范围是3 m/s解析
考向2
平抛运动的极值问题
【典例8】 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作 用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0 B.1 m C.0.2 m D.0.3 m
小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒定律，有mg(H-h)=mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x=vt，h=gt2，联立解得x=2，根据数学知识知，当H-h=h时，x最大，即h=1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh= 1 m-0.8 m=0.2 m，C项正确。
解析
斜抛运动
考点4
必|备|知|识
1.定义：将物体以初速度v0_________________或斜向下方抛出，物体只在_______作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的___________曲线运动，运动轨迹是________。
3.研究方法：运动的合成与分解。
(1)水平方向：______直线运动。
(2)竖直方向：________直线运动。
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
(1)初速度方向斜向上抛出的轻塑料球的运动可以看成斜上抛运动
( )
(2)做斜上抛运动的物体到达最高点时的速度为零( )
(3)斜上抛运动是匀变速曲线运动( )
关|键|能|力
1.基本规律和极值。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可分解为v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ。
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t， ①
vx=v0x=v0cos θ， ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2， ③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。 ④
在最高点，vy=0，由④式得到t=，⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym=，⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y=0，
由③式得总时间t总=， ⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm=，
当θ=45°时，sin 2θ最大，射程最大。
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ=45°方向斜向上抛出时，射程最大。
2.逆向思维法处理斜抛问题。
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
【典例9】 (2023·湖南卷)如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A项错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，谷粒2运动时间较长，C项错误；两谷粒水平方向的分运动均为匀速直线运动，水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度小于v1，B项正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D项错误。
解析
命题特点：本题以抛撒谷粒为背景考查平抛运动和斜上抛运动的规律，解题中易出现错误的理解是两谷粒的轨迹相交，不是两谷粒相遇。
复习建议：物理试题离不开情境，解答实际问题时，从真实情境中提炼出平抛运动和斜上抛运动模型是解题的关键一步。大多数物理问题三步完成解题，第一步，审题，分析物理问题的情境和已知条件；第二步，从复杂的情境中提炼出有用信息，建立物理模型；第三步，列方程求解。微练13 抛体运动
梯级Ⅰ基础练
1.(2024·新课标卷)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的( )
A.0.25倍 B.0.5倍 C.2倍 D.4倍
2.(多选)(2024·广西卷)如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。M水平向右运动，速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N在( )
A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
3.(2025·巴彦淖尔模拟)乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为 m/s的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在A点的速度方向与水平方向成30°角，运动到B点时速度方向与水平方向成60°角，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为( )
A.0.1 m B.0.4 m C.0.45 m D.0.9 m
4.(2025·蚌埠模拟)如图P点为某次演习中轰炸机需要轰炸的山坡上的目标，山坡的倾角θ=37°，演习要求飞机沿水平方向飞行并在距目标h高度时投弹，且炸弹垂直击中山坡上的P点，不计空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ，则炸弹投出时的速度大小为( )
A. B.
C. D.
5.(2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A点。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D.(+1)D
6.(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
7.(2025·茂名模拟)如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A.ta>tb，va>vb B.taC.ta>tb，vatb，va=vb
梯级Ⅱ能力练
8.如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。关于这段过程，下列说法正确的是( )
A.两球的速度变化不同
B.相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°
C.两球的相遇点在N点上方处
D.M、N间的距离为2h
9.(多选)(2025·西安模拟)如图所示为抽水机抽水灌溉农田的情景，已知抽水机出水流量为Q(单位时间从管口流出水的体积)，水平出水口处的水柱横截面积为S，出水口与水的落点间高度差为h，重力加速度为g。则( )
A.空中水的体积为Q
B.空中水的体积为Q
C.水的落点离出水口的水平距离为
D.水的落点离出水口的水平距离为QS
10.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
11.(2025·通化模拟)某连队举行匍匐投弹比赛，即人匍匐在倾角θ=37°的山坡脚下向山坡上投掷手榴弹。某战士投掷后，手榴弹落在山坡上的D点，到达D点时速度恰好沿水平方向，测得AD长为L，重力加速度大小为g，忽略战士的投弹高度(可认为手榴弹从斜面底端投出)，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求:
(1)手榴弹在空中运动的时间t1;
(2)手榴弹到达D点时的速度大小v1;
(3)手榴弹出手时的速度大小v及出手速度与水平方向夹角的正切值。
梯级Ⅲ创新练
12.(多选)(2025·南充模拟)如图所示，某同学在进行投篮训练时，将篮球从距水平地面高度为1.95 m、距篮板水平距离为4 m处投向篮板，篮球恰好沿水平方向击中篮板上离地高度为3.2 m处，篮球反向弹回后又恰好落在该同学脚下，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.篮球刚离开手时的速度大小为13 m/s
B.篮球击中篮板前瞬间的速度大小为8 m/s
C.篮球反向弹回时的速度大小为6 m/s
D.篮球落地时的速度方向与水平方向夹角的正切值为1.6
微练13 抛体运动
1.C 解析 动能表达式为Ek=mv2,若小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍,则离开甲板时速度变为调整前的2倍;小车离开甲板后做平抛运动,从离开甲板到到达海面所用时间不变,根据x=vt,小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍,C项正确。
2.BC 解析 由于两小球碰撞过程中机械能守恒,可知两小球碰撞过程是弹性碰撞,由于两小球质量相等,故碰撞后两小球交换速度,即vM=0,vN=v,碰后小球N做平抛运动,在水平方向做匀速直线运动,即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v;在竖直方向上做自由落体运动,即竖直墙面上的垂直投影的运动是自由落体运动,B、C两项正确。
3.B 解析 分解乒乓球在A、B两点的速度,可得vyA=v0tan 30°,vyB=v0tan 60°,根据v2=2gh可得Δh=hB-hA=0.4 m,B项正确。
4.C 解析 设炸弹的运动时间为t,h=gt2,tan 53°=,解得v0=,C项正确。
5.C 解析 设出水口到水桶中心距离为x,则x=v0,落到桶底A点时,有x+=v0,解得v0=,C项正确。
6.AD 解析 小鱼在运动过程中只受重力作用,则小鱼在水平方向上做匀速直线运动,即vx为定值,则有水平位移x=vxt,A项正确,C项错误;小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动,则y=vy0t-gt2,vy=vy0-gt,且最高点时竖直方向的速度为0,B项错误,D项正确。
7.C 解析 根据h=gt2,可得t=,因为ha>hb,可知ta>tb,根据v=,两球水平位移相等,则va8.B 解析 两球加速度均为重力加速度,则相同时间内速度变化量相同,A项错误;S2球上升到最高点时恰与S1球相遇,则两球相遇时间t=,小球S1的速度方向与水平方向夹角tan θ==1,即相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°,B项正确;两球在竖直方向的运动是互逆的,则相遇点在N点上方处,C项错误;M、N间的距离为x=vt=,又h=2×,则x=h,D项错误。
9.AC 解析 水在空中运动时间t=,则空中水的体积为V=Qt=Q,A项正确,B项错误;由Q=Sv得到v=,水的落点离出水口水平距离为x=v=,C项正确,D项错误。
10.BD 解析 将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ分速度v2,则有v1=v0cos 60°=10 m/s,v2=v0sin 60°=10 m/s,将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ分加速度a2,则有a1=gsin 30°=5 m/s2,a2=gcos 30°=5 m/s2,垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间为t=2=4 s,重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m,A、C两项错误;重物落地时竖直分速度大小为vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ===,解得θ=60°,B项正确;从抛出到最高点所用时间为t1==1 s,从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s,轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m,D项正确。
11.答案 (1) (2)
(3)
解析 (1)手榴弹在空中的逆运动为平抛运动,根据题意有
y=g,
根据几何关系y=Lsin θ=0.6L,
解得t1=。
(2)到D点时手榴弹的速度大小为v1,则Lcos θ=v1t1,
解得v1=。
(3)手榴弹刚出手时竖直方向的初速度
vy=gt1=,
手榴弹出手时的速度
v==,
设手榴弹出手时的速度与水平方向的夹角为α,则tan α==。
12.BD 解析 篮球上升过程中,上升的高度h1=3.2 m-1.95 m=1.25 m,上升时间t1==0.5 s,出手时的水平速度v1x==8 m/s,竖直速度v1y=gt1=5 m/s,篮球刚离开手时的速度大小为v1== m/s,A项错误,B项正确;反弹后下落的时间t2== s=0.8 s,反弹后的水平速度v2x==5 m/s,C项错误;落地时的竖直速度v2y=gt2=8 m/s,落地时的速度方向与水平方向的夹角的正切值tan θ==1.6,D项正确。(共32张PPT)
微练13
抛体运动
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1.(2024·新课标卷)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的( )
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2倍 D.4倍
梯级Ⅰ 基础练
动能表达式为Ek=mv2，若小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则离开甲板时速度变为调整前的2倍；小车离开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面所用时间不变，根据x=vt，小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍，C项正确。
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2.(多选)(2024·广西卷)如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。M水平向右运动，速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N在( )
A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
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由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，由于两小球质量相等，故碰撞后两小球交换速度，即vM= 0，vN=v，碰后小球N做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v；在竖直方向上做自由落体运动，即竖直墙面上的垂直投影的运动是自由落体运 动，B、C两项正确。
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3.(2025·巴彦淖尔模拟)乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为 m/s的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在A点的速度方向与水平方向成30°角，运动到B点时速度方向与水平方向成60°角，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为( )
A.0.1 m B.0.4 m
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分解乒乓球在A、B两点的速度，可得vyA=v0tan 30°，vyB= v0tan 60°，根据v2=2gh可得Δh=hB-hA=0.4 m，B项正确。
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4.(2025·蚌埠模拟)如图P点为某次演习中轰炸机需要轰炸的山坡上的目标，山坡的倾角θ=37°，演习要求飞机沿水平方向飞行并在距目标h高度时投弹，且炸弹垂直击中山坡上的P点，不计空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ，则炸弹投出时的速度大小为( )
A. B.
C. D.
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设炸弹的运动时间为t，h=gt2，tan 53°=，解得v0=，C项正确。
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5.(2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A点。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D.(+1)D
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设出水口到水桶中心距离为x，则x=v0，落到桶底A点时，有x+=v0，解得v0=，C项正确。
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6.(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
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小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x=vxt，A项正确，C项错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且最高点时竖直方向的速度为0，B项错误，D项正确。
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7.(2025·茂名模拟)如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A.ta>tb，va>vb B.taC.ta>tb，vatb，va=vb
根据h=gt2，可得t=，因为ha>hb，可知ta>tb，根据v=，两球水平位移相等，则va解析
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8.如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻 力。关于这段过程，下列说法正确的是( )
A.两球的速度变化不同
B.相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°
C.两球的相遇点在N点上方处
D.M、N间的距离为2h
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梯级Ⅱ 能力练
两球加速度均为重力加速度，则相同时间内速度变化量相同，A项错误；S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，则两球相遇时间t= ，小球S1的速度方向与水平方向夹角tan θ==1，即相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°，B项正确；两球在竖直方向的运动是互逆的，则相遇点在N点上方处，C项错误；M、N间的距离为x=vt=，又h=2×，则x=h，D项错误。
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9.(多选)(2025·西安模拟)如图所示为抽水机抽水灌溉农田的情景，已知抽水机出水流量为Q(单位时间从管口流出水的体积)，水平出水口处的水柱横截面积为S，出水口与水的落点间高度差为h，重力加速度为g。则( )
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A.空中水的体积为Q
B.空中水的体积为Q
C.水的落点离出水口的水平距离为
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水在空中运动时间t=，则空中水的体积为V=Qt=Q，A项正确，B项错误；由Q=Sv得到v=，水的落点离出水口水平距离为x=v=，C项正确，D项错误。
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10.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ分速度v2，则有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ分加速度a2，则有a1= gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间为t=2=4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m，A、C两项错误；重物落地时竖直分速度大小
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为vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ===，解得θ=60°，B项正确；从抛出到最高点所用时间为t1==1 s，从最高点到落地所用时间为t2=t-t1= 3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m，D项正确。
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11.(2025·通化模拟)某连队举行匍匐投弹比赛，即人匍匐在倾角θ=37°的山坡脚下向山坡上投掷手榴弹。某战士投掷后，手榴弹落在山坡上的D点，到达D点时速度恰好沿水平方向，测得AD长为L，重力加速度大小为g，忽略战士的投弹高度(可认为手榴弹从斜面底端投出)，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
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(1)手榴弹在空中运动的时间t1；
手榴弹在空中的逆运动为平抛运动，根据题意有y=g，
根据几何关系y=Lsin θ=0.6L，
解得t1=。
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(2)手榴弹到达D点时的速度大小v1；
到D点时手榴弹的速度大小为v1，则
Lcos θ=v1t1，
解得v1=。
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(3)手榴弹出手时的速度大小v及出手速度与水平方向夹角的正切 值。
手榴弹刚出手时竖直方向的初速度vy=gt1=，
手榴弹出手时的速度v==，
设手榴弹出手时的速度与水平方向的夹角为α，则tan α==。
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12.(多选)(2025·南充模拟)如图所示，某同学在进行投篮训练时，将篮球从距水平地面高度为1.95 m、距篮板水平距离为4 m处投向篮板，篮球恰好沿水平方向击中篮板上离地高度为3.2 m处，篮球反向弹回后又恰好落在该同学脚下，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
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A.篮球刚离开手时的速度大小为13 m/s
B.篮球击中篮板前瞬间的速度大小为8 m/s
C.篮球反向弹回时的速度大小为6 m/s
D.篮球落地时的速度方向与水平方向夹角的正切值为1.6
篮球上升过程中，上升的高度h1=3.2 m-1.95 m=1.25 m，上升时间t1==0.5 s，出手时的水平速度v1x==8 m/s，竖直速度v1y=gt1=5 m/s，篮球刚离开手时的速度大小为v1==
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