第1讲 万有引力定律及应用
■目标要求
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律,并能用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点1 开普勒行星运动定律
必|备|知|识
1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个 上。
2.开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等。
3.开普勒第三定律:所有行星轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比都相等。
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样,但都有一个共同的焦点()
(2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等()
(3)根据开普勒第三定律,地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较,有=()
关|键|能|力
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.应用微元法,结合开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,近日点的速度最大,远日点的速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【典例1】 (多选)对于开普勒定律的理解,下列说法正确的是( )
A.开普勒根据第谷对行星的观测数据,总结得出了开普勒三大定律
B.行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上
C.行星距离太阳越近,其运动速率越小
D.行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
【典例2】 (2025·张家口模拟)如图所示是地球绕太阳运行情况的示意图,A点是远日点,B点是近日点,CD是椭圆轨道的短轴,运行的周期为T。则地球从A经C、B到D的运动过程中( )
A.地球运动到A点时速度最大
B.地球从A点到C点所用的时间等于
C.地球从A点到B点的过程中先做加速运动后做减速运动
D.地球从A点到B点所用时间等于
考点2 万有引力定律
必|备|知|识
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积 ,与它们之间距离r的二次方 。
2.表达式:F= ,G为引力常量:G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
3.适用条件。
(1)公式适用于 间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用,r是 的距离。
(1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力()
(2)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大()
(3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 ()
关|键|能|力
1.万有引力与重力的关系。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg0。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极,g值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg。
2.星球上空的重力加速度g'。
星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g',mg'=,得g'=,所以=。
考向1 万有引力定律的理解
【典例3】
(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等,b处最小
审题指导
序号 信息读取 信息加工
1 潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同 潮汐现象是由月球引力变化引起的,应用万有引力定律分析海水潮汐现象
2 a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小 由万有引力定律知,图中a处与月球距离最小,单位质量的海水受月球引力最大;c处与月球距离最大,单位质量的海水受月球引力最小
失分 剖析 不能从题中信息获取潮汐现象形成的原因
考向2 重力和万有引力的关系
【典例4】 设宇宙中有一自转角速度为ω,半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块,在极点处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度大小为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度大小为g2,则下列关系式正确的是( )
A.g2=g1 B.F=mω2R
C.F=mω2R D.F=mω2R
考向3 补偿法求万有引力
【典例5】
如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R,现从球中挖去一个直径为R的小球放在相距为d=2R的A处,位置关系如图所示。引力常量为G,则放置于A处的小球与大球剩余部分间的万有引力为( )
A. B.
C. D.
补偿法求非对称物体间的万有引力
球内挖去一部分后则变成非对称球,无法直接使用万有引力定律求解,此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维,即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上,使其成为规则的球体,再根据万有引力定律,分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力,最后两引力相减即可得到结果。
考向4 地球表面下万有引力的计算
【典例6】 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,对壳外物体的引力等于将所有质量全部集中在球心的质点对球外物体的引力。现以地心为原点O建立坐标轴,用r表示坐标轴上某点到地心的距离,地表处重力加速度为g0,则该直线上各点的重力加速度g随r变化的图像正确的是( )
A B
C D
星体内部万有引力的两个推论
(1)推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。
(2)推论2:在半径为R的匀质球体内部,距离球心r(r考点3 天体质量和密度的计算
关|键|能|力
天体质量和密度的估算方法。
1.重力加速度法:利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.天体环绕法:测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=m得天体的质量M=。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
考向1 “重力加速度法”计算天体质量和密度
【典例7】 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面。已知引力常量为G,月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求:
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ。
考向2 “环绕法”计算天体质量和密度
【典例8】 (2024·新课标卷)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
命题特点:以天文学上的发现——红矮星的两颗行星绕其运动为载体考查天体质量的计算,且计算中需要与地球绕太阳运动相比较。
复习建议:重视行星绕中心天体运行的规律,了解各种典型问题的求解思路,能够更快地找到解题的思路。
第1讲 万有引力定律及应用
考点1
必备知识
1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期
微点辨析 (1)√ (2)× (3)×
关键能力
【典例1】 AB 解析 开普勒通过观察和分析第谷对行星的观测数据,总结得出了开普勒三大定律,A项正确;由开普勒第一定律知,行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,B项正确;由开普勒第二定律知,行星距离太阳越近,其运动速率越大,C项错误;由开普勒第三定律知,行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的平方成正比,D项错误。
【典例2】 D 解析 根据开普勒第二定律,在相同时间内某一行星与恒星的连线所扫过的面积相等,可知在近日点B速度最大,在远日点A速度最小,A项错误;根据对称性可知,A→C→B与B→D→A的时间相等,均为,根据上述可知,A→C→B阶段,速率逐渐变大,即A到C的平均速率小于C到B的平均速率,所以从A点到C点所用的时间大于,B项错误,D项正确;地球从A点运动到B点运动,即向近日点运动,速度逐渐增大,做加速运动,C项错误。
考点2
必备知识
1.成正比 成反比 2.G
3.(1)质点 (2)两球心间
微点辨析 (1)× (2)× (3)√
关键能力
【典例3】 A 解析 根据万有引力公式F=G,图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大,A项正确,B、C、D三项错误。
【典例4】 B 解析 在极点处有F=mg1,在赤道处有F=mg2,根据万有引力和重力的关系有F-F=mω2R,解得g2=g1,F=mω2R,B项正确,A、C、D三项错误。
【典例5】 D 解析 根据公式m=ρπr3可知,挖去小球质量等于原大球的,则有m=M,设没挖去前,对小球的引力为F1===,挖去部分对小球的引力F2=G=,则放置于A处的小球与大球剩余部分的万有引力为F=F1-F2,联立解得F=,D项正确。
【典例6】 A 解析 在地球内部,根据题意有G=mg,地球可视为质量分布均匀的球体,则M'=ρV=ρπr3,联立解得g=πρGr∝r,地表重力加速度为g0;在地球外部,满足G=mg,即g=∝,A项正确。
考点3
关键能力
【典例7】 答案 (1) (2)
(3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动,有h=g月t2,
解得月球表面的自由落体加速度大小
g月=。
(2)不考虑月球自转的影响,有
G=mg月,
解得月球的质量M=。
(3)月球的密度ρ=,
将M=和V=πR3代入解得
ρ=。
【典例8】 B 解析 设红矮星质量为M1,行星质量为m1,半径为r1,周期为T1;太阳的质量为M2,地球质量为m2,到太阳距离为r2,周期为T2;根据万有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,联立解得=3·2,由于轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,解得≈0.1,B项正确。(共38张PPT)
第1讲
第五章 万有引力与宇宙航行
万有引力定律及应用
目
标
要
求
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并能用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点1 开普勒行星运动定律
考点2 万有引力定律
内容
索引
考点3 天体质量和密度的计算
开普勒行星运动定律
考点1
必|备|知|识
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个_______上。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的_______相等。
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的_____________的三次方跟它的____________的二次方的比都相等。
焦点
面积
半长轴
公转周期
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点( )
(2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
( )
(3)根据开普勒第三定律，地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较，有=( )
关|键|能|力
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.应用微元法，结合开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点的速度最大，远日点的速度最小。
3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【典例1】 (多选)对于开普勒定律的理解，下列说法正确的是( )
A.开普勒根据第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律
B.行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C.行星距离太阳越近，其运动速率越小
D.行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
开普勒通过观察和分析第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律，A项正确；由开普勒第一定律知，行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，B项正确；由开普勒第二定律知，行星距离太阳越近，其运动速率越大，C项错误；由开普勒第三定律知，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的平方成正比，D项错误。
解析
【典例2】 (2025·张家口模拟)如图所示是地球绕太阳运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴，运行的周期为T。则地球从A经C、B到D的运动过程中( )
A.地球运动到A点时速度最大
B.地球从A点到C点所用的时间等于
C.地球从A点到B点的过程中先做加速运动后做减速运动
D.地球从A点到B点所用时间等于
根据开普勒第二定律，在相同时间内某一行星与恒星的连线所扫过的面积相等，可知在近日点B速度最大，在远日点A速度最小，A项错误；根据对称性可知，A→C→B与B→D→A的时间相等，均为，根据上述可知，A→C→B阶段，速率逐渐变大，即A到C的平均速率小于C到B的平均速率，所以从A点到C点所用的时间大于，B项错误，D项正确；地球从A点运动到B点运动，即向近日点运动，速度逐渐增大，做加速运动，C项错误。
解析
万有引力定律
考点2
必|备|知|识
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积________，与它们之间距离r的二次方________。
2.表达式：F=_________，G为引力常量：G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
成正比
成反比
G
3.适用条件。
(1)公式适用于_______间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是_________的距离。
质点
两球心间
(1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力( )
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大( )
(3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 ( )
关|键|能|力
1.万有引力与重力的关系。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G=mg1+mω2R。
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。
2.星球上空的重力加速度g'。
星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g'，mg'=，得g'=，所以=。
考向1
万有引力定律的理解
【典例3】 (2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小
审题指导
序号 信息读取 信息加工
1 潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同 潮汐现象是由月球引力变化引起的，应用万有引力定律分析海水潮汐现象
2 a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小 由万有引力定律知，图中a处与月球距离最小，单位质量的海水受月球引力最大；c处与月球距离最大，单位质量的海水受月球引力最小
失分 剖析 不能从题中信息获取潮汐现象形成的原因
根据万有引力公式F=G，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A项正确，B、C、D三项错误。
解析
考向2
重力和万有引力的关系
【典例4】 设宇宙中有一自转角速度为ω，半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1；在赤道处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是( )
A.g2=g1 B.F=mω2R C.F=mω2R D.F=mω2R
在极点处有F=mg1，在赤道处有F=mg2，根据万有引力和重力的关系有F-F=mω2R，解得g2=g1，F=mω2R，B项正确，A、C、D三项错误。
解析
考向3
补偿法求万有引力
【典例5】 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，现从球中挖去一个直径为R的小球放在相距为d=2R的A处，位置关系如图所示。引力常量为G，则放置于A处的小球与大球剩余部分间的万有引力为( )
A. B. C. D.
根据公式m=ρπr3可知，挖去小球质量等于原大球的，则有m=
M，设没挖去前，对小球的引力为F1===，挖去部分对小球的引力F2=G=，则放置于A处的小球与大球剩余部分的万有引力为F=F1-F2，联立解得F=，D项正确。
解析
补偿法求非对称物体间的万有引力
球内挖去一部分后则变成非对称球，无法直接使用万有引力定律求解，此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维，即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上，使其成为规则的球 体，再根据万有引力定律，分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到结果。
考向4
地球表面下万有引力的计算
【典例6】 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，对壳外物体的引力等于将所有质量全部集中在球心的质点对球外物体的引力。现以地心为原点O建立坐标轴，用r表示坐标轴上某点到地心的距离，地表处重力加速度为g0，则该直线上各点的重力加速度g随r变化的图像正确的是( )
在地球内部，根据题意有G=mg，地球可视为质量分布均匀的球体，则M'=ρV=ρπr3，联立解得g=πρGr∝r，地表重力加速度为g0；在地球外部，满足G=mg，即g=∝，A项正确。
解析
星体内部万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。
(2)推论2：在半径为R的匀质球体内部，距离球心r(r天体质量和密度的计算
考点3
关|键|能|力
天体质量和密度的估算方法。
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=m得天体的质量M=。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
考向1
“重力加速度法”计算天体质量和密度
【典例7】 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
月球表面附近的物体做自由落体运动，有h=g月t2，
解得月球表面的自由落体加速度大小g月=。
解析
(2)月球的质量M；
不考虑月球自转的影响，有G=mg月，
解得月球的质量M=。
解析
(3)月球的密度ρ。
月球的密度ρ=，
将M=和V=πR3代入解得ρ=。
解析
考向2
“环绕法”计算天体质量和密度
【典例8】 (2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G=m1r1，G=m2r2，联立解得=，由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，解得≈0.1，B项正确。
解析
命题特点：以天文学上的发现——红矮星的两颗行星绕其运动为载体考查天体质量的计算，且计算中需要与地球绕太阳运动相比较。
复习建议：重视行星绕中心天体运行的规律，了解各种典型问题的求解思路，能够更快地找到解题的思路。微练17 万有引力定律及应用
梯级Ⅰ基础练
1.(2024·甘肃卷)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
2.(多选)(2025·武汉模拟)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据如图，下列说法正确的是( )
A.芒种时地球公转速度比小满时小
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.立春时地球公转的加速度与立秋时大小相等
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
3.(2025·哈尔滨模拟)电影《流浪地球》讲述的是由于太阳快速老化膨胀，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星(比邻星)。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示(N较大，图中只画出了4个)。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供推力，该推力可阻碍地球的自转。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法正确的是( )
A.地球自转刹车过程中，赤道附近的重力加速度逐渐变大
B.地球自转刹车过程中，两极附近的重力加速度逐渐变大
C.地球停止自转后，赤道附近比两极附近的重力加速度大
D.地球停止自转后，赤道附近比两极附近的重力加速度小
4.如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为( )
A.F B.F C.F D.F
5.(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是( )
A.在环月飞行时，样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
6.(2024·山东卷)鹊桥二号中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B. C. D.
7.2024年5月8日，嫦娥六号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。若嫦娥六号绕月球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出月球质量的是( )
A.嫦娥六号的质量和绕月半径
B.嫦娥六号的质量和绕月周期
C.嫦娥六号的绕月角速度和绕月周期
D.嫦娥六号的绕月线速度和绕月半径
梯级Ⅱ能力练
8.太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转角速度为ω，在该星球表面“赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的重力加速度大小的，已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A. B. C. D.
9.(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
10.如图所示，某时刻质量分别为m1、m2、m3的地球、中国空间站和月球在同一直线上，以地球球心为原点O，以地心和月心连线为x轴，x轴与地球表面交于A点，空间站和月心分别在B点和C点，A、B、C坐标分别为x1、x2、x3。假设空间站和月球皆绕地球做匀速圆周运动，空间站可视为质点，已知引力常量为G。求:
(1)分别求出地球和月球对空间站的万有引力F1、F2的大小;
(2)若将空间站在x1(3)仅考虑地球引力，空间站的环绕速度v大小。
梯级Ⅲ创新练
11.(2025·常州模拟)质量均匀分布、半径为R的球体，在与球心O距离x(x>R)处有一质点A。现从球体中挖去两个半径为的球体，三个球体相切且球心与切点共线，如图所示。则剩余部分对质点A万有引力的方向( )
A.可能沿F1
B.可能沿F2
C.可能沿F3
D.沿F1、F2、F3方向均有可能
微练17 万有引力定律及应用
1.D 解析 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力,故A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=G=mr,整理得轨道重力加速度为g=r,通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D项正确。
2.AB 解析 从题图中我们可以看到,冬至时地球位于近日点附近,公转速度最快。随着地球向远日点移动,公转速度逐渐减慢。因此,芒种 (位于远日点附近)时的公转速度应该比小满 (位于近日点和远日点之间)时慢,A项正确;由于公转速度的变化,芒种到小暑的时间间隔与大雪到小寒的时间间隔并不相等,芒种到小暑的时间间隔要大于大雪到小寒的时间间隔,B项正确;地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关,立春时和立秋时,地球到太阳的距离并不相等(立春时离太阳较近,立秋时离太阳较远),因此公转加速度也不相等,C项错误;春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始,但它们并不刚好将一年的时间分为四等份。实际上,由于地球公转轨道是椭圆形的,各季节的长度并不相等,D项错误。
3.A 解析 设地球质量为M,地球半径为R,地球自转角速度为ω,两极附近的重力加速度为g0,赤道附近的重力加速度为g;则物体在两极处有=mg0,物体在赤道处有=mg+mω2R,地球自转刹车过程中,地球自转角速度逐渐减小,赤道附近的重力加速度逐渐变大,两极附近的重力加速度保持不变;地球停止自转后,则有=mg0,=mg,赤道附近重力加速度与两极附近的重力加速度大小相等,A项正确。
4.A 解析 设原球体的质量为M,质点P的质量为m0,球心与质点P的距离为L。根据m=ρπr3知,挖去部分的小球的质量m=M,没挖去前,原球体对质点P的引力F=G,挖去的部分对质点P的引力F'==F,则剩余部分对质点P的引力F″=F-F'=F,A项正确。
5.D 解析 在环月飞行时,样品所受合力提供所需的向心力,不为零,A项错误;若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小;由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的,则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小,B项错误,D项正确;样品在不同过程中受到的引力不同,但样品的质量相同,C项错误。
6.D 解析 卫星绕中心天体运动时,由万有引力定律有G=mr,可得M=,则=,D项正确。
7.D 解析 根据G=mr,可得M=,已知嫦娥六号绕月半径和周期可求解月球的质量;由以上分析,已知嫦娥六号的质量和绕月半径,或者已知嫦娥六号的质量和绕月周期,都不能求解月球质量,A、B两项错误;由以上分析,已知嫦娥六号的绕月角速度和绕月周期,因ω=,无法求解绕月轨道半径,则无法求解月球质量,C项错误;由以上分析,嫦娥六号的绕月线速度和绕月半径可求解周期T=,可求解月球质量,D项正确。
8.B 解析 该星球“两极”处G=mg,该星球表面“赤道”处G=mg+mω2R,则该星球密度ρ为ρ==,解得ρ=,B项正确。
9.B 解析 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A项错误;根据开普勒第二定律得,鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于远月点的速度,B项正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动,在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时运行时近月点的速度,C项错误;鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D项错误。
10.答案 (1)
(2)x3 (3)
解析 (1)根据万有引力定律,地球对空间站的引力F1=,
月球对空间站的引力F2=。
(2)在x1=,
解得位置坐标x=x3。
(3)空间站绕地球做圆周运动
=m2,
解得v2=。
11.A 解析 在挖去的地方补上相同材料,根据万有引力公式F=G,被挖去的上面球对质点A的万有引力小于被挖去的下面球对质点A的万有引力,两球对质点A的合力方向应为斜向下,题图中剩余部分对质点A万有引力的方向应为斜向上,合成后沿F1方向,所以剩余部分对质点A万有引力的方向可能沿F1,A项正确。(共27张PPT)
微练17
万有引力定律及应用
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1.(2024·甘肃卷)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
梯级Ⅰ 基础练
在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力，故A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=G=mr，整理得轨道重力加速度为g=r， 通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行，D项正确。
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2.(多选)(2025·武汉模拟)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据如图，下列说法正确的是( )
A.芒种时地球公转速度比小满时小
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.立春时地球公转的加速度与立秋时大小相等
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
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从题图中我们可以看到，冬至时地球位于近日点附近，公转速度最快。随着地球向远日点移动，公转速度逐渐减慢。因此，芒种 (位于远日点附近)时的公转速度应该比小满 (位于近日点和远日点之间)时慢，A项正确；由于公转速度的变化，芒种到小暑的时间间隔与大雪到小寒的时间间隔并不相等，芒种到小暑的时间间隔要大于大雪到小寒的时间间隔，B项正确；地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关，立春时和立秋时，地球到太阳的距离
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并不相等(立春时离太阳较近，立秋时离太阳较远)，因此公转加速度也不相等，C项错误；春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始，但它们并不刚好将一年的时间分为四等份。实际上，由于地球公转轨道是椭圆形的，各季节的长度并不相等，D项错误。
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3.(2025·哈尔滨模拟)电影《流浪地球》讲述的是由于太阳快速老化膨胀，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星(比邻星)。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示(N较大，图中只画出了4个)。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供推力，该推力可阻碍地球的自转。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法正确的是( )
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A.地球自转刹车过程中，赤道附近的重力加速度逐渐变大
B.地球自转刹车过程中，两极附近的重力加速度逐渐变大
C.地球停止自转后，赤道附近比两极附近的重力加速度大
D.地球停止自转后，赤道附近比两极附近的重力加速度小
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设地球质量为M，地球半径为R，地球自转角速度为ω，两极附近的重力加速度为g0，赤道附近的重力加速度为g；则物体在两极处有=mg0，物体在赤道处有=mg+mω2R，地球自转刹车过程中，地球自转角速度逐渐减小，赤道附近的重力加速度逐渐变 大，两极附近的重力加速度保持不变；地球停止自转后，则有=mg0，=mg，赤道附近重力加速度与两极附近的重力加速度大小相等，A项正确。
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4.如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为( )
A.F B.F C.F D.F
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设原球体的质量为M，质点P的质量为m0，球心与质点P的距离为L。根据m=ρπr3知，挖去部分的小球的质量m=M，没挖去前，原球体对质点P的引力F=G，挖去的部分对质点P的引力F'==F，则剩余部分对质点P的引力F″=F-F'=F，A项正确。
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5.(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是( )
A.在环月飞行时，样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
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在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，A项错误；若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小，B项错误，D项正确；样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，C项错误。
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6.(2024·山东卷)鹊桥二号中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B. C. D.
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卫星绕中心天体运动时，由万有引力定律有G=mr，可得M=，则=，D项正确。
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7.2024年5月8日，嫦娥六号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。若嫦娥六号绕月球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出月球质量的是( )
A.嫦娥六号的质量和绕月半径
B.嫦娥六号的质量和绕月周期
C.嫦娥六号的绕月角速度和绕月周期
D.嫦娥六号的绕月线速度和绕月半径
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根据G=mr，可得M=，已知嫦娥六号绕月半径和周期可求解月球的质量；由以上分析，已知嫦娥六号的质量和绕月半 径，或者已知嫦娥六号的质量和绕月周期，都不能求解月球质 量，A、B两项错误；由以上分析，已知嫦娥六号的绕月角速度和绕月周期，因ω=，无法求解绕月轨道半径，则无法求解月球质量，C项错误；由以上分析，嫦娥六号的绕月线速度和绕月半径可求解周期T=，可求解月球质量，D项正确。
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8.太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转角速度为ω，在该星球表面“赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的重力加速度大小的，已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A. B. C. D.
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梯级Ⅱ 能力练
该星球“两极”处G=mg，该星球表面“赤道”处G=mg+
mω2R，则该星球密度ρ为ρ==，解得ρ=，B项正确。
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9.(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 ( )
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A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得=，整理得T2=T1≈288 h，A项错误；根据开普勒第二定律得，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于远月点的速度，B项正确；从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时运行时近月点的速度，C项错误；鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D项错误。
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10.如图所示，某时刻质量分别为m1、m2、m3的地球、中国空间站和月球在同一直线上，以地球球心为原点O，以地心和月心连线为x 轴，x轴与地球表面交于A点，空间站和月心分别在B点和C点，A、 B、C坐标分别为x1、x2、x3。假设空间站和月球皆绕地球做匀速圆周运动，空间站可视为质点，已知引力常量为G。求：
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(1)分别求出地球和月球对空间站的万有引力F1、F2的大小；
根据万有引力定律，地球对空间站的引力F1=，
月球对空间站的引力F2=。
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(2)若将空间站在x1在x1=，
解得位置坐标x=x3。
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(3)仅考虑地球引力，空间站的环绕速度v的大小。
空间站绕地球做圆周运动
=m2，
解得v=。
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11.(2025·常州模拟)质量均匀分布、半径为R的球体，在与球心O距离x(x>R)处有一质点A。现从球体中挖去两个半径为的球体，三个球体相切且球心与切点共线，如图所示。则剩余部分对质点A万有引力的方向( )
A.可能沿F1
B.可能沿F2
C.可能沿F3
D.沿F1、F2、F3方向均有可能
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梯级Ⅲ 创新练
在挖去的地方补上相同材料，根据万有引力公式F=G，被挖去的上面球对质点A的万有引力小于被挖去的下面球对质点A的万有引力，两球对质点A的合力方向应为斜向下，题图中剩余部分对质点A万有引力的方向应为斜向上，合成后沿F1方向，所以剩余部分对质点A万有引力的方向可能沿F1，A项正确。
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