第一章 相交线与平行线
一．对顶角、邻补角（共7小题）
1．如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
【解答】解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，
故选：B．
2．在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝50°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．70°
【解答】解：∵OE平分∠COB，
∴∠EOB＝∠COE，
∵∠EOB＝50°，
∴∠COB＝100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°．
故选：C．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOC＝180°60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC60°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
故选：A．
5．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ 90° ．（用含α的代数式表示）
【解答】解：∵∠AOC＝2α，
∴∠BOD＝∠AOC＝2α，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE＝α，∠COF＝∠EOF∠COE，
∴∠EOC＝180°﹣α，
∴∠EOF＝90°，
故答案为：90°．
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠COF与∠DOF是邻补角，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝90°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝90°﹣50°＝40°．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝70°；
（2）∠BOD：∠BOE＝1：4，
设∠BOD＝∠AOC＝x，∠BOE＝∠COE＝4x．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即x+4x+4x＝180°，
解得x＝20°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°．
二．点到直线的距离（共7小题）
8．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
9．小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点P到起跳线l的距离，应该选择线段 PC 的长度作为小明的跳远成绩．
【解答】解：小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点P到起跳线l的距离，应该选择线段PC的长度作为小明的跳远成绩．
故答案为：PC．
10．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，
故选：A．
11．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D．
12．如图，△ABC中，CD⊥AB，M是AD上的点，连接CM，其中AC＝10cm，CM＝8cm，CD＝6cm，CB＝8cm，则点C到边AB所在直线的距离是 6 cm．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB，CD＝6cm，
∴点C到边AB所在直线的距离为6cm，
故答案为：6．
13．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
14．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；
图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离；
故选：A．
三．同位角、内错角、同旁内角（共6小题）
15．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
16．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
17．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，
故选：B．
18．如图．
（1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是 ∠ACD ；
（2）∠AEF的同位角是 ∠ACD、∠ACB ；
（3）∠1的同旁内角是 ∠ACD、∠ACB、∠EFD ．
【解答】解：（1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是∠ACD．
故答案为：∠ACD．
（2）∠AEF的同位角是∠ACD、∠ACB．
故答案为：∠ACD、∠ACB．
（3）∠1的同旁内角是∠ACD、∠ACB、∠EFD．
故答案为：∠ACD、∠ACB、∠EFD．
19．如图，有下列说法：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个；②能与∠BFE构成同位角的角的个数有2个；③能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是 ① ．
【解答】解：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EFA和∠EDC，故正确；
②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠FAE，故错误；
③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；
所以结论正确的是①．
故答案为：①．
20．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是 ABD ．
【解答】解：上列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是：ABD，
故答案为：ABD．
四．平行线（共6小题）
21．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
22．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；
B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；
C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；
D、根据平行线的定义知是错误的．
故选：C．
23．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．相交或垂直 D．相交或平行
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直．
故选：D．
24．在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
25．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 a∥c ．
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
26．在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．
【解答】解：如图所示，
五．平行线的判定（共23小题）
27．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
28．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∠2＝∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：B．
29．如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 内错角相等 ，两直线平行．
【解答】解：如图，利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
直线BC把AB和CD所截，
此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角，
所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
故答案为：内错角相等．
30．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
31．如图，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则∠4＝ 100° 时，AB∥EF．
【解答】解：当∠4＝100°时，AB∥EF；
理由：∵∠3＝100°，∠4＝100°，
∴DC∥EF，
∵∠1＝120°，
∴∠5＝60°，
∵∠2＝60°，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
32．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
33．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∴∠A＝∠EBC＝∠E．
34．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝ 145° 时，道路CE才能恰好与AD平行．
【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F，
当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°，
∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°，
∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°，
即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行．
故答案为：145°．
35．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ①⑤ ．（填序号）
【解答】解：①∵∠1＝25.5°，∠ABC＝30°，
∴∠2＝∠1+∠ABC＝55.5°＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤．
36．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 25 °．
【解答】解：如图，
∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°．
故答案为：25．
37．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴ BD ∥ CE （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3+∠ C ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴ AC ∥ DF （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF （对顶角相等）
∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
38．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
39．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
【解答】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠3∠ADC，∠2∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
40．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
（5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
故选：D．
41．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
42．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ 200° ．
【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：
则l∥l1∥l2，
∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；
故答案为：200°．
43．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t；
综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．
故答案为： 秒或秒．
44．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
45．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
46．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 ．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，
∴∠ABM∠ABE＝∠CHB，∠CDN∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH∠ABE∠CDE（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F∠E，
即．
故答案为：．
47．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．
48．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
49．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为 ∠EPG+2∠EHG＝180°． ．
【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC；
（2）如图1，连接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β，
∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°，
∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β，
∵∠CGE是△EFG的外角，
∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β，
70°﹣β＝110°﹣α﹣β，
解得α＝40°，
∴∠AEP＝40°；
（3）如图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF＝∠PEF＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠BEF＝α，
∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α，
∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC＝2∠FGH，
即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG），
整理可得，∠P+2∠EHG＝180°．
故答案为：∠P+2∠EHG＝180°．
六．平移的性质（共6小题）
50．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5．EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【解答】解：根据平移的性质，
易得平移的距离＝BE＝5﹣3＝2，
故选：A．
51．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【解答】解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故选：A．
52．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42 B．96 C．84 D．48
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE） BE（10+6）×6＝48．
故选：D．
53．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 18 cm2．
【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故答案为：18．
54．如图，∠1＝70°，将直线m向右平移到直线n处，则∠2﹣∠3＝ 110 °．
【解答】解：如图，延长AB，交直线n于点C，
由平移的性质得：m∥n，
∴∠BCD＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2﹣∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠3，
∴∠2﹣∠3＝∠BCD＝110°，
故答案为：110．
55．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝ 90 °；
【探究】如图②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG）．若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，则∠AHF＝ 40 °．
【解答】解：【感知】如图①，
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，
∴EF∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF＝40°，∠ECD＝∠CEF＝50°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD＝40°+50°＝90°．
故答案为：90°；
【探究】∠BAE+∠DCE＝∠AEC，理由：
如图②，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠DCE，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
【应用】如图③中，
∵FG∥CE，
∴∠ECD＝∠GFD，
∵AH平分∠BAE，HF平分∠GFD，
∴∠BAH∠BAE，∠DFH∠DFG∠DCE，
∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH（∠BAE+∠DCE），
∵∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝80°，
∴∠AHF80°＝40°．
故答案为：40．
七．生活中的平移现象（共5小题）
56．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：观察图形可知C中的图形是平移得到的．
故选：C．
57．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
58．下列生活中的各个现象，属于平移变换现象的是（ ）
A．拉开抽屉 B．用放大镜看文字
C．时钟上分针的运动 D．你和平面镜中的像
【解答】解：A、是平移；
B、大小发生变化，不是平移；
C、是旋转；
D、你和平面镜中的像不是平移，是轴对称．
故选：A．
59．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
60．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到A′B′，得到封闭图形AA′B′B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线A′B′C′，得到封闭图形AA′B′C′CB（阴影部分）．
（1）问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，则S1＝ 40 平方米；并比较大小：S1 ＝ S2（填“＞”“＝”或＜”）；
（2）联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 a（b﹣1）或ab﹣a 平方米（用含a，b的式子表示）．
（3）实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 448 平方米．
【解答】解：（1）设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，
则S1＝10×（5﹣1）＝10×4＝40平方米，S2＝10×（5﹣1）＝10×4＝40平方米；
∴S1＝S2．
故答案为：40，＝．
（2）如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b﹣1）＝（ab﹣a）平方单位．
故答案为：（ab﹣a）．
（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，道路宽为4米，
∴空白部分表示的草地的面积是（32﹣4）（20﹣4）＝448平方米．
故答案为：448
(
1
)第一章 相交线与平行线
考点分布
一．对顶角、邻补角
二．点到直线的距离
三．同位角、内错角、同旁内角
四．平行线
五．平行线的判定与性质
六．平移的性质
七．生活中的平移现象
一．对顶角、邻补角
知识点梳理：对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
例题讲解：
1．如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
2．在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝50°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．70°
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
5．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ ．（用含α的代数式表示）
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
二．点到直线的距离
知识点梳理：
点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
例题讲解：
8．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
9．小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点P到起跳线l的距离，应该选择线段 的长度作为小明的跳远成绩．
10．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
11．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
12．如图，△ABC中，CD⊥AB，M是AD上的点，连接CM，其中AC＝10cm，CM＝8cm，CD＝6cm，CB＝8cm，则点C到边AB所在直线的距离是 cm．
13．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
三．同位角、内错角、同旁内角
知识点梳理：
同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
例题讲解：
15．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
16．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
17．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
18．如图．
（1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是 ；
（2）∠AEF的同位角是 ；
（3）∠1的同旁内角是 ．
19．如图，有下列说法：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个；②能与∠BFE构成同位角的角的个数有2个；③能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是 ．
20．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是 ．
四．平行线
知识点梳理：
平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
例题讲解：
21．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
22．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
23．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．相交或垂直 D．相交或平行
24．在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
25．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
26．在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．
五．平行线的判定与性质
知识点梳理：
平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
例题讲解：
27．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
28．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
29．如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 ，两直线平行．
30．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
31．如图，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则∠4＝ 时，AB∥EF．
32．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．
33．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
34．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝ 时，道路CE才能恰好与AD平行．
35．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
36．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 °．
37．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（ ）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴∠3+∠ ＝180°（ ）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴∠A＝∠F（ ）
38．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
39．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
40．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
41．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
42．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ ．
43．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ ．
44．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
45．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
46．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 ．
47．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
48．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
49．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为 ．
六．平移的性质
知识点梳理：
平移的性质
（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
例题讲解：
50．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5．EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
51．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
52．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42 B．96 C．84 D．48
53．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．
54．如图，∠1＝70°，将直线m向右平移到直线n处，则∠2﹣∠3＝ °．
55．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，则∠AEC＝ °；
【探究】如图②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG）．若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，则∠AHF＝ °．
七．生活中的平移现象
知识点梳理：
生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
例题讲解：
56．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（ ）
A． B． C． D．
57．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
58．下列生活中的各个现象，属于平移变换现象的是（ ）
A．拉开抽屉 B．用放大镜看文字
C．时钟上分针的运动 D．你和平面镜中的像
59．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
60．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到A′B′，得到封闭图形AA′B′B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线A′B′C′，得到封闭图形AA′B′C′CB（阴影部分）．
（1）问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，则S1＝ 平方米；并比较大小：S1 S2（填“＞”“＝”或＜”）；
（2）联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）．
（3）实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米．
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