第2讲 动能定理及应用
■目标要求
1.理解动能和动能定理,会用动能定理解决问题。2.掌握解决动能定理与图像结合问题的分析方法。
考点1 对动能定理的理解
必|备|知|识
1.动能。
(1)定义:物体由于 而具有的能量叫作动能。
(2)公式:Ek= ,单位:焦耳(J),1 J=1 N·m=1 kg·m2/s2。
(3)动能是标量,只有正值,没有负值。
(4)动能是状态量,具有相对性,与参考系的选取有关,一般以 为参考系。
2.动能定理。
(1)内容。
所有外力对物体做的 (也叫合外力的功)等于物体 的变化。
(2)表达式:W总= 。
(3)物理意义: 做的功是动能变化的量度。
(1)一定质量的物体动能变化时,速度一定变化,但速度变化时,动能不一定变化()
(2)物体的动能不变,所受合外力必定为零()
(3)合外力对物体做正功,物体的动能增加;合外力对物体做负功,物体的动能减少()
关|键|能|力
1.动能定理的两个关系。
(1)因果关系:合力做功是引起物体动能变化的原因。
(2)数量关系:动能定理中的“力”指合力,“功”指的是合力所做的功或各力所做的功的代数和,总功与动能变化具有等量关系。
2.动能定理是标量式。
动能、功都是标量,所以动能定理表达式是标量式,不存在方向的选取问题,不存在动能定理的分量表达式。
【典例1】 (多选)关于动能定理的表达式W=Ek2-Ek1,下列说法正确的是( )
A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的总功,也可通过以下两种方式计算:先求每个力的功再求功的代数和或先求合力再求合力的功
C.公式中的Ek2-Ek1为动能的变化量,当W>0时,动能增加;当W<0时,动能减少
D.动能定理适用于直线运动,但不适用于曲线运动,适用于恒力做功,但不适用于变力做功
【典例2】 (2024·安徽卷)某同学参加户外拓展活动,遵照安全规范,坐在滑板上,从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑,至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m,可视为质点。重力加速度大小为g,不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为( )
A.mgh B.mv2
C.mgh+mv2 D.mgh-mv2
考点2 动能定理的应用
关|键|能|力
应用动能定理应抓住“两个状态,一个过程”。
“两个状态”即明确研究对象的始末状态的速度或动能,“一个过程”即明确研究过程,确定在这一过程中研究对象的受力及位置变化信息。
【典例3】 (2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时,为安全起见,要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图,一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P,另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q,二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m=42 kg,重力加速度大小g=10 m/s2,当P绳与竖直方向的夹角α=37°时,Q绳与竖直方向的夹角β=53°(sin 37°=0.6)。
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小;
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h=10 m,求在重物下降到地面的过程中,两根绳子拉力对重物做的总功。
【典例4】
如图所示是由细管拼接成的一个轨道,轨道固定于竖直面内,其圆形部分半径分别为R和R,A、B均为圆形轨道的最高点。一质量为m的小球通过这段轨道时,在A点时刚好对管壁无压力,在B点时对管外侧壁的压力大小为mg。不计空气阻力,则小球从A点运动到B点过程,小球克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.-mgR
考点3 动能定理与图像的综合问题
关|键|能|力
1.图像所围“面积”或“斜率”的含义。
2.解决动能定理与图像问题的基本步骤。
考向1 F-x图像问题
【典例5】 (2025·泰安模拟)如图甲所示,质量为0.2 kg的物块受到水平向右的拉力F,以5 m/s的初速度从A点向右运动,F随位移x变化的图像如图乙所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.5,重力加速度g取10 m/s2,在运动过程中物块的最大速度为( )
甲 乙
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
考向2 Ek-x图像问题
【典例6】 (多选)如图甲所示,质量为0.6 kg的物块以一定的初速度冲上倾角为30°的固定斜面,物块在斜面上运动的过程中,其动能Ek与运动路程s的关系图像如图乙所示。已知物块所受的摩擦力大小恒定,取重力加速度大小g=10 m/s2。则在物块的路程从0增加到20 m的过程中,下列说法正确的是( )
甲 乙
A.物块受到的摩擦力大小为2 N
B.物块受到的重力做的功为0
C.物块的机械能减少量为20 J
D.物块受到的合力做的功为10 J
考向3 其他图像与动能定理的综合应用
【典例7】 (多选)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用,在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是( )
甲 乙
A.0~6 s内拉力做的功为140 J
B.物体在0~2 s内所受的拉力为4 N
C.物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D.合外力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功相等
第2讲 动能定理及应用
考点1
必备知识
1.(1)运动 (2)mv2 (4)地面
2.(1)总功 动能 (2)Ek2-Ek1 (3)合外力
微点辨析 (1)√ (2)× (3)√
关键能力
【典例1】 BC 解析 公式W=Ek2-Ek1中的W指合力做的功,包括重力在内所有力做的总功,A项错误;W为包含重力在内的所有力做的总功,可以用各个力做功的代数和表示,也可以先求合力,再求合力做功,B项正确;Ek2-Ek1为动能的变化量,由合力的功来量度,W>0,ΔEk>0,动能增加,W<0,ΔEk<0,动能减少,C项正确;动能定理不仅适用于直线运动也适用于曲线运动,不仅适用于恒力做功同样也适用于变力做功,D项错误。
【典例2】 D 解析 人在下滑的过程中,由动能定理得mgh-Wf=mv2-0,此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf=mgh-mv2,D项正确。
考点2
关键能力
【典例3】 答案 (1)1 200 N 900 N
(2)-4 200 J
解析 (1)重物下降的过程中受力平衡,设此时P、Q绳中拉力的大小分别为T1和T2,
竖直方向T1cos α=mg+T2cos β,
水平方向T1sin α=T2sin β,
联立并代入数据解得
T1=1 200 N,T2=900 N。
(2)整个过程,根据动能定理得
W+mgh=0,
解得两根绳子拉力对重物做的总功为
W=-4 200 J。
【典例4】 B 解析 设小球在A点的速度为vA,由于在A点时刚好对管壁无压力,则有mg=m,设小球在B点的速度为vB,由于在B点时对管外侧壁的压力大小为mg,则有mg+FN=m,FN=mg,小球从A点运动到B点过程,根据动能定理可得mgR-Wf=m-m,联立解得小球克服摩擦力所做的功为Wf=mgR,B项正确。
考点3
关键能力
【典例5】 B 解析 物体的滑动摩擦力Ff=μmg=0.5×0.2×10 N=1 N,根据题图乙可知,当拉力大于最大静摩擦力时,物体向右加速运动,当拉力与滑动摩擦力大小相等时,合力为0,物体速度达到最大值;由题图乙可知当F=1 N时,x1=2 m,x2=10 m。F-x图像中,图像与横坐标所围几何图形的面积表示功,则拉力从0 N增大到3 N再减小到1 N的过程中,拉力的功为W=x1+(x2-x1)=×6 J+(10-6) J=17 J,根据动能定理有W-Ffx2=m-m,解得vm= m/s,B项正确。
【典例6】 BC 解析 物块的路程从0增加到10 m的过程中,物块沿斜面上滑,有-mgxsin 30°-Ffx=0-Ek,解得Ff=1 N,A项错误;物块的路程从0增加到20 m的过程中,物块先上滑后下滑,物块的位移为0,因此物块受到的重力做的功为0,B项正确;物块的机械能减少量等于克服摩擦力做的功,有ΔE=Ffx=20 J,C项正确;物块的动能变化量等于物块受到的合力做的功,因此物块受到的合力做的功W=Ek2-Ek1=-20 J,D项错误。
【典例7】 AD 解析 由P=Fv可知,物体在0~2 s内所受的拉力F== N=6 N,在2~6 s内所受的拉力F'== N=2 N,B项错误;拉力在0~6 s内做的总功W=Fx1+F'x2=6××2 J+2×10×4 J=140 J,A项正确;由物体在2~6 s内做匀速运动可知,F'=μmg,可求得μ=0.25,C项错误;由动能定理可知,物体所受的合外力在0~6 s内所做的功与0~2 s内所做的功均为mv2=40 J,D项正确。(共28张PPT)
第2讲
第六章 机械能守恒定律
动能定理及应用
目
标
要
求
1.理解动能和动能定理，会用动能定理解决问题。2.掌握解决动能定理与图像结合问题的分析方法。
考点1 对动能定理的理解
考点2 动能定理的应用
内容
索引
考点3 动能定理与图像的综合问题
对动能定理的理解
考点1
必|备|知|识
1.动能。
(1)定义：物体由于______而具有的能量叫作动能。
(2)公式：Ek=_______，单位：焦耳(J)，1 J=1 N·m=1 kg·m2/s2。
(3)动能是标量，只有正值，没有负值。
(4)动能是状态量，具有相对性，与参考系的选取有关，一般以_____为参考系。
运动
mv2
地面
2.动能定理。
(1)内容。
所有外力对物体做的_______(也叫合外力的功)等于物体______的变化。
(2)表达式：W总=_________。
(3)物理意义：__________做的功是动能变化的量度。
总功
动能
Ek2-Ek1
合外力
(1)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化( )
(2)物体的动能不变，所受合外力必定为零( )
(3)合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负
功，物体的动能减少( )
关|键|能|力
1.动能定理的两个关系。
(1)因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
(2)数量关系：动能定理中的“力”指合力，“功”指的是合力所做的功或各力所做的功的代数和，总功与动能变化具有等量关系。
2.动能定理是标量式。
动能、功都是标量，所以动能定理表达式是标量式，不存在方向的选取问题，不存在动能定理的分量表达式。
【典例1】 (多选)关于动能定理的表达式W=Ek2-Ek1，下列说法正确的是( )
A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的总功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合力再求合力的功
C.公式中的Ek2-Ek1为动能的变化量，当W>0时，动能增加；当W<0时，动能减少
D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
公式W=Ek2-Ek1中的W指合力做的功，包括重力在内所有力做的总功，A项错误；W为包含重力在内的所有力做的总功，可以用各个力做功的代数和表示，也可以先求合力，再求合力做功，B项正确；Ek2-Ek1为动能的变化量，由合力的功来量度，W>0，ΔEk>0，动能增加，W<0，ΔEk<0，动能减少，C项正确；动能定理不仅适用于直线运动也适用于曲线运动，不仅适用于恒力做功同样也适用于变力做功，D项错误。
解析
【典例2】 (2024·安徽卷)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为( )
A.mgh B.mv2
C.mgh+mv2 D.mgh-mv2
人在下滑的过程中，由动能定理得mgh-Wf=mv2-0，此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf=mgh-mv2，D项正确。
解析
动能定理的应用
考点2
关|键|能|力
应用动能定理应抓住“两个状态，一个过程”。
“两个状态”即明确研究对象的始末状态的速度或动能，“一个过程”即明确研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力及位置变化信
息。
【典例3】 (2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m=42 kg，重力加速度大小g=10 m/s2，当P绳与竖直方向的夹角α=37°时，Q绳与竖直方向的夹角β=53°(sin 37°=0.6)。
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小；
重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为T1和T2，
竖直方向T1cos α=mg+T2cos β，
水平方向T1sin α=T2sin β，
联立并代入数据解得
T1=1 200 N，T2=900 N。
解析
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h=10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。
整个过程，根据动能定理得W+mgh=0，
解得两根绳子拉力对重物做的总功为W=-4 200 J。
解析
【典例4】 如图所示是由细管拼接成的一个轨道，轨道固定于竖直面内，其圆形部分半径分别为R和R，A、B均为圆形轨道的最高点。一质量为m的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管外侧壁的压力大小为mg。不计空气阻力，则小球从A点运动到B点过程，小球克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR C.mgR D.-mgR
设小球在A点的速度为vA，由于在A点时刚好对管壁无压力，则有mg=m，设小球在B点的速度为vB，由于在B点时对管外侧壁的压力大小为mg，则有mg+FN=m，FN=mg，小球从A点运动到B点过程，根据动能定理可得mgR-Wf=m-m，联立解得小球克服摩擦力所做的功为Wf=mgR，B项正确。
解析
动能定理与图像的综合问题
考点3
关|键|能|力
1.图像所围“面积”或“斜率”的含义。
2.解决动能定理与图像问题的基本步骤。
考向1
F-x图像问题
【典例5】 (2025·泰安模拟)如图甲所示，质量为0.2 kg的物块受到水平向右的拉力F，以5 m/s的初速度从A点向右运动，F随位移x变化的图像如图乙所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2，在运动过程中物块的最大速度为( )
A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s
物体的滑动摩擦力Ff=μmg=0.5×0.2×10 N=1 N，根据题图乙可知，当拉力大于最大静摩擦力时，物体向右加速运动，当拉力与滑动摩擦力大小相等时，合力为0，物体速度达到最大值；由题图乙可知当F=1 N时，x1=2 m，x2=10 m。F-x图像中，图像与横坐标所围几何图形的面积表示功，则拉力从0 N增大到3 N再减小到1 N的过程中，拉力的功为W=x1+(x2-x1)=×6 J+(10-6) J=17 J，根据动能定理有W-Ffx2=m-m，解得vm= m/s，B项正确。
解析
考向2
Ek-x图像问题
【典例6】 (多选)如图甲所示，质量为0.6 kg的物块以一定的初速度冲上倾角为30°的固定斜面，物块在斜面上运动的过程中，其动能Ek与运动路程s的关系图像如图乙所示。已知物块所受的摩擦力大小恒定，取重力加速度大小g=10 m/s2。则在物块的路程从0增加到20 m的过程中，下列说法正确的是( )
A.物块受到的摩擦力大小为2 N
B.物块受到的重力做的功为0
C.物块的机械能减少量为20 J
D.物块受到的合力做的功为10 J
物块的路程从0增加到10 m的过程中，物块沿斜面上滑，有
-mgxsin 30°-Ffx=0-Ek，解得Ff=1 N，A项错误；物块的路程从0增加到20 m的过程中，物块先上滑后下滑，物块的位移为0，因此物块受到的重力做的功为0，B项正确；物块的机械能减少量等于克服摩擦力做的功，有ΔE=Ffx=20 J，C项正确；物块的动能变化量等于物块受到的合力做的功，因此物块受到的合力做的功W=Ek2-Ek1=-20 J，D项错误。
解析
考向3
其他图像与动能定理的综合应用
【典例7】 (多选)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.0~6 s内拉力做的功为140 J
B.物体在0~2 s内所受的拉力为4 N
C.物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D.合外力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功相等
由P=Fv可知，物体在0~2 s内所受的拉力F== N=6 N，在2~6 s内所受的拉力F'== N=2 N，B项错误；拉力在0~6 s内做的总功W=Fx1+F'x2=6××2 J+2×10×4 J=140 J，A项正确；由物体在2~6 s内做匀速运动可知，F'=μmg，可求得μ=0.25，C项错误；由动能定理可知，物体所受的合外力在0~6 s内所做的功与0~2 s内所做的功均为mv2=40 J，D项正确。
解析微练20 动能定理及应用
梯级Ⅰ基础练
1.做匀加速直线运动的物体，速度从v增大到2v，动能增加了ΔEk1，速度从2v增大到3v，动能增加了ΔEk2，则ΔEk1∶ΔEk2等于( )
A.1∶1 B.2∶3 C.3∶5 D.4∶9
2.人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端P点由静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为4 m/s。已知货物质量m=10 kg，滑道半径r=4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度g取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的是( )
A.重力做的功为600 J
B.经过Q点时货物对轨道的压力大小为280 N
C.经过Q点时货物的向心加速度大小为4 m/s2
D.货物克服阻力做的功为80 J
3.(2025·盐城模拟)甲、乙两个物体质量之比m甲∶m乙=1∶2，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示。此过程中，两物体所受的摩擦力分别为f甲、f乙;克服摩擦力做功分别为W甲、W乙。下列判断正确的是( )
A.f甲B.f甲=f乙 W甲C.f甲>f乙 W甲>W乙
D.f甲>f乙 W甲=W乙
4.(多选)(2025·济南模拟)质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为v0。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则( )
A.物体与水平面间的动摩擦因数为
B.克服摩擦力做的功为m
C.物体再前进d便停止
D.要使物体前进总距离为2d，其初速度应为v0
5.(多选)在一粗糙平面上放置一质量为m的物体，现施加一与水平方向呈θ夹角的恒力作用于该物体，使物体前进l的距离。则在如图所示的两种施加力的方式中( )
A.图甲中力F所做的功更多
B.图乙中物体克服摩擦力所做的功更多
C.图甲中物体获得的动能更大
D.若在物体前进l的距离之后撤去力F，图乙中物体能靠惯性滑得更远
6.(多选)利用太阳能驱动的小车，若小车保持牵引力恒定，在平直的水泥路上从静止开始运动，经过时间t前进距离x，电动机的功率达到额定功率P，此时速度达到v，小车的质量为m，所受阻力恒为f，那么在这段时间内( )
A.小车做匀加速度直线运动
B.小车速度为v时，所受牵引力等于阻力
C.电动机对小车所做的功为Pt
D.电动机对小车所做的功为fx+mv2
7.(多选)如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块。现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法正确的是( )
A.支持力对小物块做功为mgLsin α
B.静摩擦力对小物块做功为mgLsin α
C.滑动摩擦力对小物块做功为mv2-mgLsin α
D.木板对小物块做功为-mv2
梯级Ⅱ能力练
8.质量为m的汽车，发动机的功率恒为P，摩擦阻力恒为F1，牵引力为F，汽车由静止开始，经过时间t行驶了位移s时，速度达到最大值vm，则发动机所做的功为( )
A.F1t B.Fs
C.m D.+
9.(多选)(2023·新课标卷)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.在x=1 m时，拉力的功率为6 W
B.在x=4 m时，物体的动能为2 J
C.从x=0运动到x=2 m，物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x=0运动到x=4的过程中，物体的动量最大为2 kg·m/s
10.如图所示，在高为h的平台上有一半径为R的圆弧轨道，轨道末端水平。一质量为m的小球从圆弧轨道上高为H处的A点无初速度释放，到达轨道末端B点时速度大小为v，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。求:
(1)小球从B点到落地所经历的时间t;
(2)小球到达B点时受到轨道的支持力F;
(3)小球从A点运动至B点的过程中圆弧轨道对小球的阻力所做的功W。
11.(2025·绵阳模拟)如图所示，“旋转秋千”中的座椅通过缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘绕竖直的中心轴从静止开始转动，稳定后座椅在水平面内做匀速圆周运动。已知悬点到中心轴的距离为R= m，座椅(可视为质点)质量为m=6 kg，缆绳长度为L=2 m，稳定后缆绳与竖直方向的夹角θ=30°，不考虑空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)座椅做圆周运动的角速度ω;
(2)座椅从静止达到稳定速度的过程中，缆绳对座椅所做的功W。
梯级Ⅲ创新练
12.(2025·淮安模拟)质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平放置的轻弹簧O端相距s，轻弹簧的另一端固定在竖直墙上，如图所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短的过程中，克服弹簧弹力所的功为( )
A.m-μmg(s+x)
B.m-μmgx
C.μmg(s+x)-m
D.-μmg(s+x)
微练20 动能定理及应用
1.C 解析 速度从v增大到2v,ΔEk1=m(2v)2-mv2=mv2,速度从2v增大到3v,ΔEk2=m(3v)2-m(2v)2=mv2,所以ΔEk1∶ΔEk2=3∶5,C项正确。
2.C 解析 重力做的功为WG=mgr=400 J,A项错误;经过Q点时货物对轨道的压力大小为FN=mg+m=140 N,B项错误;经过Q点时货物的向心加速度大小为a==4 m/s2,C项正确;货物克服阻力做的功为Wf=mgr-mv2=320 J,D项错误。
3.B 解析 根据牛顿第二定律可知,摩擦力f=ma=,因m甲∶m乙=1∶2,t甲∶t乙=1∶2,可知f甲=f乙,根据动能定理Wf=ΔEk=m,可知W甲4.CD 解析 根据动能定理Wf=m2-m=-m,克服摩擦力做功为m,根据Wf=-μmgd,解得μ=,A、B两项错误;根据动能定理-μmgx=0-m2,解得x=,C项正确;根据动能定理-μmg2d=0-mv0'2,解得v0'=v0,D项正确。
5.BC 解析 根据功的定义式W=Flcos θ可知力F所做的功一样多,A项错误;题图甲中的支持力等于G-Fsin θ,题图乙中的支持力等于G+Fsin θ,所以题图乙中的摩擦力更大,物体前进l的距离克服摩擦力所做的功更多,B项正确;力F所做的功一样多,题图甲中克服摩擦力所做的功较少,则合力做功较多,根据动能定理可知题图甲中物体获得的动能更大,C项正确;物体前进l的距离时,题图甲中物体获得的动能更大,速度更大,而撤去力F后两物体所受摩擦力一样大,加速度相同,根据2as=v2可知题图甲中物体能靠惯性滑得更远,D项错误。
6.AD 解析 小车保持牵引力恒定,小车所受阻力恒定,则小车在运动时间内所受合外力恒定,小车做匀加速直线运动,即小车的加速度保持不变,A项正确;根据题意电动机的功率达到额定功率P,此时速度达到v,小车做加速直线运动,合力方向与运动方向相同,此时牵引力仍然大于阻力,B项错误;因为牵引力恒定,由P=Fv,小车加速,功率一直增大,所以电动机对小车所做的功小于Pt,C项错误;根据动能定理W-fx=mv2-0,解得电动机对小车所做的功为W=fx+mv2,D项正确。
7.AC 解析 支持力和重力做的总功等于物体动能的变化,而因为物体是缓慢移动,故动能不变,支持力对小物块做功为mgLsin α,A项正确;当物体缓慢上升的过程中,静摩擦力的方向与速度方向垂直,不做功,B项错误;下滑过程由动能定理可知mgLsin α+Wf=mv2,滑动摩擦力对小物块做功为Wf=mv2-mgLsin α,C项正确;整个过程,木板对物体做功为W,重力做功为0,由动能定理可知W=mv2,D项错误。
8.D 解析 设发动机所做的功为WF,根据动能定理有WF-F1s=m,当速度达到最大值时,汽车的加速度为0,牵引力与阻力平衡,则有P=F1vm,解得WF=+,D项正确。
9.BC 解析 由于拉力在水平方向,则拉力做的功为W=Fx,可看出W-x图像的斜率代表拉力F。在物体运动的过程中根据动能定理有W-μmgx=mv2,则x=1 m时物体的速度为v1=2 m/s,拉力为F==6 N,则此时拉力的功率P=Fv1=12 W;x=4 m时物体的动能为Ek=2 J,A项错误,B项正确;从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为Wf=μmgx=8 J,C项正确;根据W-x图像可知在0~2 m的过程中F1=6 N,2~4 m的过程中F2=3 N,由于物体受到的摩擦力恒为f=4 N,则物体在x=2 m处速度最大,且根据选项AB分析可知此时的速度v2=2 m/s,则从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为p=mv=2 kg·m/s,D项错误。
10.答案 (1) (2)+mg,方向竖直向上 (3)mv2-mg(H-h)
解析 (1)小球从B点飞出后做平抛运动,则有h=gt2,
解得t=。
(2)小球到达B点时,由牛顿第二定律有
F-mg=,
解得F=+mg,
方向竖直向上。
(3)小球从A点运动至B点的过程中,根据动能定理有
mg(H-h)+W=mv2,
解得W=mv2-mg(H-h)。
11.答案 (1) rad/s (2)120(-1) J
解析 (1)由牛顿第二定律得
mgtan θ=mω2r,
由几何关系可得r=R+Lsin θ=2 m,
联立解得ω= rad/s。
(2)座椅在水平面内做匀速圆周运动速度为
v=ωr=×2 m/s=2 m/s,
座椅从静止达到稳定速度的过程,由动能定理得
W-mgL(1-cos 30°)=mv2,
解得W=120(-1) J。
12.A 解析 从开始运动到弹簧被压缩至最短的过程中,由动能定理-μmg(s+x)-W=0-m,解得W=m-μmg(s+x),A项正确。(共28张PPT)
微练20
动能定理及应用
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1.做匀加速直线运动的物体，速度从v增大到2v，动能增加了ΔEk1，速度从2v增大到3v，动能增加了ΔEk2，则ΔEk1∶ΔEk2等于( )
A.1∶1 B.2∶3 C.3∶5 D.4∶9
速度从v增大到2v，ΔEk1=m(2v)2-mv2=mv2，速度从2v增大到3v，ΔEk2=m(3v)2-m(2v)2=mv2，所以ΔEk1∶ΔEk2=3∶5，C项正确。
解析
梯级Ⅰ 基础练
2.人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端P点由静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为4 m/s。已知货物质量m=10 kg，滑道半径r=4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度g取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的是( )
A.重力做的功为600 J
B.经过Q点时货物对轨道的压力大小为280 N
C.经过Q点时货物的向心加速度大小为4 m/s2
D.货物克服阻力做的功为80 J
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重力做的功为WG=mgr=400 J，A项错误；经过Q点时货物对轨道的压力大小为FN=mg+m=140 N，B项错误；经过Q点时货物的向心加速度大小为a==4 m/s2，C项正确；货物克服阻力做的功为Wf=mgr-mv2=320 J，D项错误。
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3.(2025·盐城模拟)甲、乙两个物体质量之比m甲∶m乙=1∶2，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示。此过程中，两物体所受的摩擦力分别为f甲、f乙；克服摩擦力做功分别为W甲、W乙。下列判断正确的是( )
A.f甲B.f甲=f乙 W甲C.f甲>f乙 W甲>W乙
D.f甲>f乙 W甲=W乙
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根据牛顿第二定律可知，摩擦力f=ma=，因m甲∶m乙=1∶2，t甲∶t乙=1∶2，可知f甲=f乙，根据动能定理Wf=ΔEk=m，可知W甲解析
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4.(多选)(2025·济南模拟)质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为v0。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则( )
A.物体与水平面间的动摩擦因数为
B.克服摩擦力做的功为m
C.物体再前进d便停止
D.要使物体前进总距离为2d，其初速度应为v0
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根据动能定理Wf=m()2-m=-m，克服摩擦力做功为 m，根据Wf=-μmgd，解得μ=，A、B两项错误；根据动能定理-μmgx=0-m()2，解得x=，C项正确；根据动能定理-μmg2d=0-mv0'2，解得v0'=v0，D项正确。
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5.(多选)在一粗糙平面上放置一质量为m的物体，现施加一与水平方向呈θ夹角的恒力作用于该物体，使物体前进l的距离。则在如图所示的两种施加力的方式中( )
A.图甲中力F所做的功更多
B.图乙中物体克服摩擦力所做的功更多
C.图甲中物体获得的动能更大
D.若在物体前进l的距离之后撤去力F，图乙中物体能靠惯性滑得更远
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根据功的定义式W=Flcos θ可知力F所做的功一样多，A项错误；题图甲中的支持力等于G-Fsin θ，题图乙中的支持力等于G+Fsin θ，所以题图乙中的摩擦力更大，物体前进l的距离克服摩擦力所做的功更多，B项正确；力F所做的功一样多，题图甲中克服摩擦力所做的功较少，则合力做功较多，根据动能定理可知题图甲中物体获得的动能更大，C项正确；物体前进l的距离时，题图甲中物体获得的动能更大，速度更大，而撤去力F后两物体所受摩擦力一样大，加速度相同，根据2as=v2可知题图甲中物体能靠惯性滑得更远，D项错误。
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6.(多选)利用太阳能驱动的小车，若小车保持牵引力恒定，在平直的水泥路上从静止开始运动，经过时间t前进距离x，电动机的功率达到额定功率P，此时速度达到v，小车的质量为m，所受阻力恒为f，那么在这段时间内( )
A.小车做匀加速度直线运动
B.小车速度为v时，所受牵引力等于阻力
C.电动机对小车所做的功为Pt
D.电动机对小车所做的功为fx+mv2
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小车保持牵引力恒定，小车所受阻力恒定，则小车在运动时间内所受合外力恒定，小车做匀加速直线运动，即小车的加速度保持不变，A项正确；根据题意电动机的功率达到额定功率P，此时速度达到v，小车做加速直线运动，合力方向与运动方向相同，此时牵引力仍然大于阻力，B项错误；因为牵引力恒定，由P=Fv，小车加速，功率一直增大，所以电动机对小车所做的功小于Pt，C项错误；根据动能定理W-fx=mv2-0，解得电动机对小车所做的功为W=fx+mv2，D项正确。
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7.(多选)如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块。现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法正确的是( )
A.支持力对小物块做功为mgLsin α
B.静摩擦力对小物块做功为mgLsin α
C.滑动摩擦力对小物块做功为mv2-mgLsin α
D.木板对小物块做功为-mv2
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支持力和重力做的总功等于物体动能的变化，而因为物体是缓慢移 动，故动能不变，支持力对小物块做功为mgLsin α，A项正确；当物体缓慢上升的过程中，静摩擦力的方向与速度方向垂直，不做功，B项错误；下滑过程由动能定理可知mgLsin α+Wf=mv2，滑动摩擦力对小物块做功为Wf=mv2-mgLsin α，C项正确；整个过程，木板对物体做功为W，重力做功为0，由动能定理可知W=mv2，D项错误。
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8.质量为m的汽车，发动机的功率恒为P，摩擦阻力恒为F1，牵引力为F，汽车由静止开始，经过时间t行驶了位移s时，速度达到最大值vm，则发动机所做的功为( )
A.F1t B.Fs
C.m D.+
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梯级Ⅱ 能力练
设发动机所做的功为WF，根据动能定理有WF-F1s=m，当速度达到最大值时，汽车的加速度为0，牵引力与阻力平衡，则有P=F1vm，解得WF=+，D项正确。
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9.(多选)(2023·新课标卷)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用 下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.在x=1 m时，拉力的功率为6 W
B.在x=4 m时，物体的动能为2 J
C.从x=0运动到x=2 m，物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x=0运动到x=4的过程中，物体的动量最大为2 kg·m/s
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由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W=Fx，可看出W-x图像的斜率代表拉力F。在物体运动的过程中根据动能定理有W-μmgx =mv2，则x=1 m时物体的速度为v1=2 m/s，拉力为F==6 N，则此时拉力的功率P=Fv1=12 W；x=4 m时物体的动能为Ek=2 J，A项错误，B项正确；从x=0运动到x=2 m，物体克服摩擦力做的功为Wf=μmgx=8 J，C项正确；根据W-x图像可知在0~2 m的过程
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中F1=6 N，2~4 m的过程中F2=3 N，由于物体受到的摩擦力恒为f=4 N，则物体在x=2 m处速度最大，且根据选项AB分析可知此时的速度v2=2 m/s，则从x=0运动到x=4 m的过程中，物体的动量最大为p=mv=2 kg·m/s，D项错误。
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10.如图所示，在高为h的平台上有一半径为R的圆弧轨道，轨道末端水平。一质量为m的小球从圆弧轨道上高为H处的A点无初速度释 放，到达轨道末端B点时速度大小为v，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。求：
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(1)小球从B点到落地所经历的时间t；
小球从B点飞出后做平抛运动，则有
h=gt2，
解得t=。
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(2)小球到达B点时受到轨道的支持力F；
小球到达B点时，由牛顿第二定律有F-mg=，
解得F=+mg，
方向竖直向上。
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(3)小球从A点运动至B点的过程中圆弧轨道对小球的阻力所做的功 W。
小球从A点运动至B点的过程中，根据动能定理有
mg(H-h)+W=mv2，
解得W=mv2-mg(H-h)。
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11.(2025·绵阳模拟)如图所示，“旋转秋千”中的座椅通过缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘绕竖直的中心轴从静止开始转动，稳定后座椅在水平面内做匀速圆周运动。已知
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悬点到中心轴的距离为R= m，座椅(可视为质点)质量为m=6 kg，缆绳长度为L=2 m，稳定后缆绳与竖直方向的夹角θ=30°，不考虑空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)座椅做圆周运动的角速度ω；
由牛顿第二定律得
mgtan θ=mω2r，
由几何关系可得r=R+Lsin θ=2 m，
联立解得ω= rad/s。
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(2)座椅从静止达到稳定速度的过程中，缆绳对座椅所做的功W。
座椅在水平面内做匀速圆周运动速度为
v=ωr=×2 m/s=2 m/s，
座椅从静止达到稳定速度的过程，由动能定理得
W-mgL(1-cos 30°)=mv2，
解得W=120(-1) J。
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12.(2025·淮安模拟)质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平放置的轻弹簧O端相距s，轻弹簧的另一端固定在竖直墙上，如图所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短的过程中，克服弹簧弹力所的功为( )
A.m-μmg(s+x) B.m-μmgx
C.μmg(s+x)-m D.-μmg(s+x)
梯级Ⅲ 创新练
从开始运动到弹簧被压缩至最短的过程中，由动能定理-μmg(s +x)-W=0-m，解得W=m-μmg(s+x)，A项正确。
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