专题提升九 动能定理在多过程问题中的应用
题型1 动能定理在多过程问题中的应用
应用动能定理解决多过程问题的两种思路。
(1)分段应用动能定理。
①将“多过程”分解为许多“子过程”,各“子过程”间由“衔接点”连接。
②对各“衔接点”进行受力分析和运动分析,必要时画出受力图和过程示意图。
③根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
④分析“衔接点”速度、加速度等的关联,确定各段间的时间关联,并列出相关的辅助方程。
⑤联立方程组,分析求解,对结果进行必要的验证或讨论。
(2)全过程应用动能定理。
当物体运动过程包含几个不同的物理过程,又不需要研究过程的中间状态时,可以把几个运动过程看作一个整体,运用动能定理来研究,从而避开每个运动过程的细节,大大简化了运算。全过程列式时要注意两点:①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初末位置,与路径无关;②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
【典例1】 如图所示,AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道,其半径为R=0.8 m。轨道的B点与水平地面相切,质量为m=0.2 kg的小球(可视为质点)从A点由静止释放,通过水平面BC滑上光滑固定曲面CD,取重力加速度g=10 m/s2。
(1)小球运动到最低点B时,求圆弧轨道对小球的支持力大小;
(2)若恰能到达最高点D,且D到地面的高度为h=0.6 m,小球在水平面BC上克服摩擦力所做的功。
【典例2】 (2023·湖北卷)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点。求:
(1)小物块到达D点的速度大小;
(2)B和D两点的高度差;
(3)小物块在A点的初速度大小。
题型2 动能定理在往复运动问题中的应用
1.往复运动问题:在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性,描述运动的物理量多数是变化的,而且重复的次数有的是有限的,有的是最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。
2.解题策略:此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功,其做功的特点与路径有关,运用动力学观点非常繁琐,甚至无法解答。由于动能定理只涉及初末状态,所以用动能定理分析此类问题可使解题过程简化。
【典例3】
如图所示,ABCD是一个盆式容器,盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧,BC水平,其长度d=0.50 m,盆边缘的高度为h=0.30 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其由静止下滑。已知盆内侧壁是光滑的,而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ=0.1,小物块可视为质点。小物块在盆内来回滑动,最后停下来,则停止的位置到B的距离为( )
A.0.50 m B.0.25 m
C.0.10 m D.0
【典例4】 (2025·淮安模拟)如图所示,在竖直平面内,有一倾角为θ=37°的斜面与半径为R=2 m的光滑圆弧轨道BCD相切于B点,C是最低点,OB与OC的夹角为θ=37°,D与圆心O等高。将一质量为m=1 kg的小滑块从A点由静止释放后沿斜面运动,斜面上AB间的距离为L=3 m,小滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,空气阻力不计,小滑块可视为质点,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,取重力加速度大小g=10 m/s2。求:
(1)小滑块第一次运动到C点时的速度大小;
(2)小滑块通过C点后,能到达的位置离C点的最大高度;
(3)小滑块在整个运动过程中通过斜面的路程。
专题提升九 动能定理在多过程
问题中的应用
题型1
【典例1】 答案 (1)6 N (2)0.4 J
解析 (1)从A点到B点过程,根据动能定理可得mgR=m,
解得vB==4 m/s,
在B点,根据牛顿第二定律可得
FN-mg=m,
解得圆弧轨道对小球的支持力大小为
FN=6 N。
(2)若恰能到达最高点D,从A点到D点过程,根据动能定理可得
mgR-Wf-mgh=0,
解得小球在水平面BC上克服摩擦力所做的功为Wf=mgR-mgh=0.4 J。
【典例2】 答案 (1) (2)0
(3)
解析 (1)由题知,小物块恰好能到达轨道的最高点D,则在D点应用牛顿第二定律得m=mg,
解得vD=。
(2)由题知,小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,则在C点有
cos 60°=,
小物块从C到D的过程中,根据动能定理有
-mg(R+Rcos 60°)=m-m,
则小物块从B到D的过程中,根据动能定理有
mgHBD=m-m,
联立解得vB=,HBD = 0。
(3)小物块从A到B的过程中,根据动能定理有-μmgs=m-m,
由几何关系得s=π·2R,
解得vA=。
题型2
【典例3】 D 解析 小物块从A点出发到最后停下来,设小物块在BC面上运动的总路程为s,整个过程由动能定理有mgh-μmgs=0,所以小物块在BC面上运动的总路程为s== m=3 m,而d=0.5 m,刚好3个来回,所以最终停在B点,即到B点的距离为0,D项正确。
【典例4】 答案 (1)2 m/s (2)1 m
(3)4.5 m
解析 (1)小滑块从A到C过程,根据动能定理可得mg(Lsin θ+R-Rcos θ)-μmgcos θ·L=m,
解得v0=2 m/s。
(2)设小滑块通过C点后,能到达的位置离C点的最大高度为h,则m=mgh,
解得h=1 m。
(3)最后小滑块在BCB'做往复运动(B'为CD弧上与B点等高的点),在B点速度为0,设小滑块在整个运动过程中通过斜面的路程为s,根据动能定理可得
mgLsin θ=μmgcos θ·s,
解得s=4.5 m。(共20张PPT)
专题提升九
第六章 机械能守恒定律
动能定理在多过程问题中的应用
题型1 动能定理在多过程问题中的应用
题型2 动能定理在往复运动问题中的应用
内容
索引
动能定理在多过程问题中的应用
题型1
应用动能定理解决多过程问题的两种思路。
(1)分段应用动能定理。
①将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
②对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
③根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
④分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。
⑤联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
(2)全过程应用动能定理。
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的细节，大大简化了运算。全过程列式时要注意两点：①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初末位置，与路径无关；②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
【典例1】 如图所示，AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，其半径为R=0.8 m。轨道的B点与水平地面相切，质量为m=0.2 kg的小球(可视为质点)从A点由静止释放，通过水平面BC滑上光滑固定曲面CD，取重力加速度g=10 m/s2。
(1)小球运动到最低点B时，求圆弧轨道对小球的支持力大小；
从A点到B点过程，根据动能定理可得mgR=m，
解得vB==4 m/s，
在B点，根据牛顿第二定律可得FN-mg=m，
解得圆弧轨道对小球的支持力大小为FN=6 N。
解析
(2)若恰能到达最高点D，且D到地面的高度为h=0.6 m，小球在水平面BC上克服摩擦力所做的功。
若恰能到达最高点D，从A点到D点过程，根据动能定理可得
mgR-Wf-mgh=0，
解得小球在水平面BC上克服摩擦力所做的功为
Wf=mgR-mgh=0.4 J。
解析
【典例2】 (2023·湖北卷)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的
夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为
g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
(1)小物块到达D点的速度大小；
由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点应用牛顿第二定律得m=mg，
解得vD=。
解析
(2)B和D两点的高度差；
由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有cos 60°=，
小物块从C到D的过程中，根据动能定理有
-mg(R+Rcos 60°)=m-m，
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有
mgHBD=m-m，
联立解得vB=，HBD =0。
解析
(3)小物块在A点的初速度大小。
小物块从A到B的过程中，根据动能定理有-μmgs=m-m，
由几何关系得s=π·2R，
解得vA=。
解析
动能定理在往复运动问题中
的应用
题型2
1.往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返
性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数有的是有限的，有的是最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。
2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点与路径有关，运用动力学观点非常繁琐，甚至无法解答。由于动能定理只涉及初末状态，所以用动能定理分析此类问题可使解题过程简化。
【典例3】 如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC水平，其长度d=0.50 m，盆边缘的高
度为h=0.30 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其由静止下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ=0.1，小物块可视为质点。小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止的位置到B的距离为( )
A.0.50 m B.0.25 m C.0.10 m D.0
小物块从A点出发到最后停下来，设小物块在BC面上运动的总路程为s，整个过程由动能定理有mgh-μmgs=0，所以小物块在BC面上运动的总路程为s== m=3 m，而d=0.5 m，刚好3个来回，所以最终停在B点，即到B点的距离为0，D项正确。
解析
【典例4】 (2025·淮安模拟)如图所示，在竖直平面内，有一倾角为θ=37°的斜面与半径为R=2 m的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，OB与OC的夹角为θ=
37°，D与圆心O等高。将一质量为m=1 kg的小滑块从A点由静止释放后沿斜面运动，斜面上AB间的距离为L=3 m，小滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，空气阻力不计，小滑块可视为质点，sin 37°=
0.6，cos 37°=0.8，取重力加速度大小g=10 m/s2。求：
(1)小滑块第一次运动到C点时的速度大小；
小滑块从A到C过程，根据动能定理可得
mg(Lsin θ+R-Rcos θ)-μmgcos θ·L=m，
解得v0=2 m/s。
解析
(2)小滑块通过C点后，能到达的位置离C点的最大高度；
设小滑块通过C点后，能到达的位置离C点的最大高度为h，则m=mgh，
解得h=1 m。
解析
(3)小滑块在整个运动过程中通过斜面的路程。
最后小滑块在BCB'做往复运动(B'为CD弧上与B点等高的点)，在B点速度为0，设小滑块在整个运动过程中通过斜面的路程为s，根据动能定理可得
mgLsin θ=μmgcos θ·s，
解得s=4.5 m。
解析专题提升练9 动能定理在多过程问题中的应用
梯级Ⅰ基础练
1.如图所示，固定斜面的倾角为θ，质量为m的滑块从距挡板P的距离为s0处以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，重力加速度为g，则滑块经过的总路程是( )
A.+s0tan θ
B.+s0tan θ
C.+s0tan θ
D.+
2.(2025·岳阳模拟)如图，光滑水平轨道AB与竖直面内的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直，半圆形的半径为R=0.90 m。质量为m=1.0 kg的小滑块在恒定外力F=20 N作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力F，已知AB间的距离为x=1.8 m，滑块经过D点从D点水平抛出，g取10 m/s2。求:
(1)小滑块在AB段运动时外力F做功的大小;
(2)小滑块在B点的速度大小;
(3)小滑块在D点时对圆弧面的压力大小。
3.(2025·咸宁模拟)如图所示，ABCD为竖直平面内固定轨道，其中AB光滑，BC为长度L=4 m的粗糙水平面，CD为光滑的四分之一圆弧，半径R=0.8 m。一个质量m=2.5 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，A点距离水平面BC的高度h=1.8 m，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ=0.2，轨道在B、C两点平滑连接。当物体到达D点时，继续竖直向上运动。不计空气阻力，g取10 m/s2。求:
(1)物体运动到B点时的速度大小vB;
(2)物体能到达D点上方，距离D点的最大高度差H;
(3)物体最终停止的位置到B点的距离x。
梯级Ⅱ能力练
4.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直圆轨道相切于B点，右端与一倾角为30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接(即物体经过C点时速度的大小不变)，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为2 kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点，已知光滑圆轨道的半径R=0.45 m，水平轨道BC长为0.4 m，滑块与其间的动摩擦因数μ=0.2，光滑斜面轨道上CD长为0.6 m，g取10 m/s2。求:
(1)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能;
(2)滑块最终停在距B点多远的位置
梯级Ⅲ创新练
5.滑板运动是一项极限运动。某滑板运动的轨道如图所示，AB和CD均是圆弧形轨道，BC是地面上一段长为L的水平轨道，AB、CD均与BC平滑连接。一运动员站在滑板(运动员和滑板视为一个整体，且视为质点)上从AB轨道上离地高度为h处以大小为v0的初速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到离地高度为2h时速度减为零。运动员(含滑板)的质量为m，在BC轨道上受到的摩擦力大小不变，重力加速度大小为g，不计圆弧轨道上的摩擦，求:
(1)运动员第一次经过B点时的速度大小vB;
(2)运动员在BC轨道上受到的摩擦力大小Ff;
(3)运动员最后停在BC轨道中点时累计通过该点的次数n(含最后停留的次数)。
专题提升练9 动能定理在多过程问题中的应用
1.A 解析 滑块最终要停在斜面底部,设滑块经过的总路程为s,对滑块运动的全程应用动能定理得mgs0sin θ-μmgscos θ=0-m,解得s=+s0tan θ,A项正确。
2.答案 (1)36 J (2)6 m/s (3)30 N
解析 (1)小滑块在AB段运动时外力F做功的大小W=Fx=36 J。
(2)由动能定理可得W=m,
解得vB=6 m/s。
(3)小滑块从A点运动到D点过程中,根据动能定理可得
Fx-mg·2R=m,
由牛顿第二定律可得FN+mg=m,
联立解得FN=30 N,
根据牛顿第三定律可得FN'=FN=30 N。
3.答案 (1)6 m/s (2)0.2 m (3)1 m
解析 (1)物体由A点运动到B点,根据动能定理得mgh=m,
代入数据解得vB=6 m/s。
(2)解法一:物体由A点运动到D上方最高点,根据动能定理得
mg(h-H-R)-μmgL=0,
代入数据解得H=0.2 m。
解法二:物体由B点运动到D上方最高点,根据动能定理得
-mg(H+R)-μmgL=0-m,
代入数据解得H=0.2 m。
(3)从物体开始下滑到最终停止,根据动能定理得mgh-μmgs=0,
代入数据,解得s=9 m,
由于s=2L+x (m),
所以物体最终停止的位置到B点的距离为x=1 m。
4.答案 (1)1.4 J (2)0.15 m
解析 (1)滑块第一次到D点具有的弹性势能最大,从A至D的过程,根据动能定理可得
mg(R-LCDsin 30°)-μmgsBC+W弹=0,
解得W弹=-1.4 J,
则Ep弹=-W弹=1.4 J。
(2)由于斜面光滑,滑块到达D点后又向下运动,经过多次在圆弧轨道与斜面之间来回运动,最终滑块停在水平轨道BC上,设整个过程滑块在BC上的路程为s,整个过程根据动能定理可得mgR-μmgs=0,
解得s=2.25 m,
由6×0.4 m-2.25 m=0.15 m,可知滑块最终停在距离B点0.15 m处。
5.答案 (1) (2)
(3)+
解析 (1)从A到B由动能定理
mgh=m-m,
解得vB=。
(2)从A到D由动能定理
mgh-2mgh-FfL=0-m,
解得Ff=。
(3)从A点到最后停在BC中点,则由动能定理m+mgh=Ffs,
由运动规律得n=+,
解得n=+。(共18张PPT)
专题提升练9
动能定理在多过程问题中的应用
1
5
2
3
4
1.如图所示，固定斜面的倾角为θ，质量为m的滑块从距挡板P的距离为s0处以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，重力加速度为g，则滑块经过的总路程是( )
A.(+s0tan θ) B.(+s0tan θ)
C.(+s0tan θ) D.(+)
梯级Ⅰ 基础练
滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为s，对滑块运动的全程应用动能定理得mgs0sin θ-μmgscos θ=0-m，解得s=(+s0tan θ)，A项正确。
解析
1
5
2
3
4
2.(2025·岳阳模拟)如图，光滑水平轨道AB与竖直面内的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直，半圆形的半径为R=0.90 m。质量为m=1.0 kg的小滑块在恒定外力F=20 N作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力F，已知AB间的距离为x=1.8 m，滑块经过D点从D点水平抛出，g取10 m/s2。求：
1
5
2
3
4
(1)小滑块在AB段运动时外力F做功的大小；
小滑块在AB段运动时外力F做功的大小W=Fx=36 J。
解析
1
5
2
3
4
(2)小滑块在B点的速度大小；
由动能定理可得W=m，
解得vB=6 m/s。
解析
1
5
2
3
4
(3)小滑块在D点时对圆弧面的压力大小。
小滑块从A点运动到D点过程中，根据动能定理可得
Fx-mg·2R=m，
由牛顿第二定律可得FN+mg=m，
联立解得FN=30 N，
根据牛顿第三定律可得FN'=FN=30 N。
解析
1
5
2
3
4
3.(2025·咸宁模拟)如图所示，ABCD为竖直平面内固定轨道，其中AB光滑，BC为长度L=4 m的粗糙水平面，CD为光滑的四分之一圆 弧，半径R=0.8 m。一个质量m=2.5 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，A点距离水平面BC的高度h=1.8 m，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ=0.2，轨道在B、C两点平滑连接。当物体到达D点时，继续竖直向上运动。不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
1
5
2
3
4
(1)物体运动到B点时的速度大小vB；
物体由A点运动到B点，根据动能定理得mgh=m，
代入数据解得vB=6 m/s。
解析
1
5
2
3
4
(2)物体能到达D点上方，距离D点的最大高度差H；
解法一：物体由A点运动到D上方最高点，根据动能定理得
mg(h-H-R)-μmgL=0，
代入数据解得H=0.2 m。
解法二：物体由B点运动到D上方最高点，根据动能定理得-mg(H+R)-μmgL=0-m，
代入数据解得H=0.2 m。
解析
1
5
2
3
4
(3)物体最终停止的位置到B点的距离x。
从物体开始下滑到最终停止，根据动能定理得
mgh-μmgs=0，
代入数据解得s=9 m，
由于s=2L+x (m)，
所以物体最终停止的位置到B点的距离为x=1 m。
解析
1
5
2
3
4
4.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直圆轨道相切于B点，右端与一倾角为30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接(即物体经过C点时速度的大小不变)，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为 2 kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点，已知光滑圆轨道的半径R=0.45 m，水平轨道BC长为0.4 m，滑块与其间的动摩擦因数μ=0.2，光滑斜面轨道上CD长为0.6 m，g取10 m/s2。求：
1
5
2
3
4
梯级Ⅱ 能力练
(1)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能；
滑块第一次到D点具有的弹性势能最大，从A至D的过程，根据动能定理可得mg(R-LCDsin 30°)-μmgsBC+W弹=0，
解得W弹=-1.4 J，
则Ep弹=-W弹=1.4 J。
解析
1
5
2
3
4
(2)滑块最终停在距B点多远的位置
由于斜面光滑，滑块到达D点后又向下运动，经过多次在圆弧轨道与斜面之间来回运动，最终滑块停在水平轨道BC上，设整个过程滑块在BC上的路程为s，整个过程根据动能定理可得mgR-μmgs=0，
解得s=2.25 m，
由6×0.4 m-2.25 m=0.15 m，可知滑块最终停在距离B点0.15 m处。
解析
1
5
2
3
4
5.滑板运动是一项极限运动。某滑板运动的轨道如图所示，AB和CD均是圆弧形轨道，BC是地面上一段长为L的水平轨道，AB、CD均与BC平滑连接。一运动员站在滑板(运动员和滑板视为一个整体，且视为质点)上从AB轨道上离地高度为h处以大小为v0的初速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到离地高度为2h时速度减为零。运动员(含滑板)的质量为m，在BC轨道上受到的摩擦力大小不变，重力加速度大小为g，不计圆弧轨道上的摩擦，求：
1
5
2
3
4
梯级Ⅲ 创新练
(1)运动员第一次经过B点时的速度大小vB；
从A到B由动能定理
mgh=m-m，
解得vB=。
解析
1
5
2
3
4
(2)运动员在BC轨道上受到的摩擦力大小Ff；
从A到D由动能定理
mgh-2mgh-FfL=0-m，
解得Ff=。
解析
1
5
2
3
4
(3)运动员最后停在BC轨道中点时累计通过该点的次数n(含最后停留的次数)。
从A点到最后停在BC中点，则由动能定理
m+mgh=Ffs，
由运动规律得n=+，
解得n=+。
解析
1
5
2
3
4
