专题提升练11 功能关系 能量守恒定律
梯级Ⅰ基础练
1.质量为2 kg的物体在竖直向上的拉力作用下以一定的初速度竖直向上匀减速运动，物体的加速度大小为4 m/s2，不计一切阻力，g取10 m/s2，在向上运动2 m过程中，下列说法正确的是( )
A.合外力对物体做功24 J
B.合外力对物体做功16 J
C.物体机械能增加了24 J
D.物体重力势能减少了40 J
2.某地由于连日强降雨，水库泄洪闸孔全开泄洪。如图所示，已知泄洪流量为240 m3/s，水位落差100 m，水的密度为1.0×103 kg/m3。泄洪时，水流的重力势能有25%转化为电能，取g=10 m/s2，按照以上数据估算发电站的发电功率是( )
A.6.0×107 W B.6.0×108 W
C.2.4×107 W D.2.4×108 W
3.如图，一质量为m=60 kg的人站在观光电梯内，电梯从静止开始以1 m/s2的加速度匀加速上升2 m的高度，重力加速度大小取g=10 m/s2。在此过程中( )
A.人的重力势能增加了1 200 J
B.人的动能增加了240 J
C.人的机械能增加了1 200 J
D.电梯对人做的功为1 440 J
4.(多选)(2025·驻马店模拟)如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小物体上，使小物体从静止开始做匀加速直线运动。已知小物体和木板之间的摩擦力为f，当小物体滑到木板的最右端时，木板相对地面运动的距离为x，则在此过程中( )
A.水平恒力F对小物体所做的功为小物体和木板机械能的增加量
B.摩擦力f对小物体所做的功为-fx
C.摩擦力f对木板所做的功为fx即为木板动能的增加量
D.小物体到达木板最右端时具有的动能为(F-f)(x+L)
5.(多选)(2025·贵阳模拟)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。质量为50 kg的人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大小为20 m/s。已知沙坡斜面的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法正确的是( )
A.人的重力势能减少5.0×104 J
B.合力对人做的功为1.0×104 J
C.人的机械能减少1.5×104 J
D.阻力对人做的功为-4.0×104 J
6.(多选)一质量均匀不可伸长的铁链，质量为m，A、B两端固定在天花板上，初始状态如曲线ACB所示。若在铁链最低点C施加一竖直向下的拉力F，将最低点缓慢拉动至D点。下列说法正确的是( )
A.铁链的重力势能逐渐增大
B.铁链的重力势能不变
C.拉力F对铁链做正功
D.拉力F对铁链不做功
7.如图所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的拉力F将小木块拉至右端，则拉力F做功至少为( )
A.μmgL B.μmgL
C.μ(m+M)gL D.μ(m+M)gL
梯级Ⅱ能力练
8.(多选)如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1匀速向右运动，一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2 (v2 >v1)滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端。则在此过程中( )
A.滑块对传送带做功为m-m
B.传送带对滑块做功为m-m
C.电动机对传送带多做的功为mv2(v1+v2)
D.电动机对传送带多做的功为mv1(v1+v2)
9.(2025·厦门模拟)如图所示，在光滑的水平面上有一长L=4 m、质量为M=4 kg的木板，在长木板右端有一质量为m=1 kg的小物块，长木板与小物块间动摩擦因数为μ=0.2，长木板与小物块均静止。现用F=18 N的水平恒力作用在木板上，g取10 m/s2。求:
(1)木板加速度a1和小物块加速度a2的大小;
(2)0~3 s的过程中，板块间产生的热量为多少
10.(2025·重庆模拟)如图所示，足够长的水平传送带以速率v0=2 m/s逆时针传动，左端与倾角为θ=37°、长L=2 m的斜面CD平滑相接，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ<1之间调节。现有质量为m=2 kg的小滑块(视为质点)在传送带右端由静止释放，与传送带共速后进入斜面(小滑块进入斜面后传送带立即停止转动)斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。滑块在经过C、D两处时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力。
(1)求小滑块与传送带之间因摩擦产生的热量;
(2)若设置μ=0，求滑块在运动过程中弹簧的最大弹性势能;
(3)若最终滑块停在D点，求μ的取值范围。
梯级Ⅲ创新练
11.在体能训练中，A同学站在沙地上竖直向上抛出沙袋，取抛出点为重力势能零点，B同学画出了该沙袋在上升的过程中，机械能E总、动能Ek和重力势能Ep随上升的高度h变化的E-h图像。其中一定有错误的是( )
专题提升练11 功能关系能量守恒定律
1.C 解析 物体受到的合外力为F合=ma=8 N,则合外力做功为W合=-F合h=-16 J,A、B两项错误;物体的重力做功为WG=-mgh=-40 J,即物体克服重力做功40 J,重力势能增加了40 J,D项错误;根据动能定理可得ΔEk=W合=-16 J,则物体的机械能变化量为ΔE=ΔEk+ΔEp=-16 J+40 J=24 J,物体机械能增加了24 J,C项正确。
2.A 解析 由题意可知t时间内流水的体积V=Qt,发电功率为P====25%ρQgh,代入数据解得P=25%×1.0×103×240×10×100 W=6.0×107 W,A项正确。
3.A 解析 此过程中,重力做负功,重力势能增加,增加量为Ep=mgh=1 200 J,A项正确;由运动规律知v2=2ah,解得v=2 m/s,动能增加量为Ek=mv2=120 J,B项错误;机械能增加量为E=Ek+Ep=1 320 J,根据功能关系知,电梯对人做的功也为1 320 J,C项错误,D项错误。
4.CD 解析 根据题意可知,小物体与木板间有相对位移,小物体与木板间摩擦产生热,由功能关系可知,水平恒力F对小物体所做的功为小物体和木板机械能的增加量和摩擦产生的热量之和,A项错误;小物体发生的对地位移为x物=x+L,摩擦力f对小物体所做的功为Wf=-f(x+L),B项错误;根据题意,对小物体,由动能定理可得W合=F(x+L)-f(x+L)=Ek-0,小物体到达木板最右端时具有的动能为Ek=(F-f)(x+L),对木板,由动能定理有Ek板=fx,C、D两项正确。
5.BC 解析 根据运动学公式可得斜面的长度为L=t=100 m,则重力做功为WG=mgh=mgLsin 30°=2.5×104 J,人的重力势能减少2.5×104 J,A项错误;根据动能定理可得合力对人做的功为W合=mv2=1.0×104 J,B项正确;根据动能定理可得mgLsin 30°+Wf=mv2,解得阻力对人做的功为Wf=-1.5×104 J,根据功能关系可知,人的机械能减少ΔE=|Wf|=1.5×104 J,C项正确,D项错误。
6.AC 解析 由题图可知,拉力F的作用点发生了竖直向下的位移,可知拉力F对铁链做正功,由于是缓慢拉动,可认为铁链的动能不变,根据功能关系可知,铁链的重力势能逐渐增大,A、C两项正确。
7.B 解析 缓慢拉动时,小木块做匀速运动,此过程拉力F做功最少,根据功能关系,拉力做的功等于系统产生的内能,所以W=μmgL,B项正确。
8.BD 解析 由于传送带足够长,滑块先向左做匀减速运动,速度减为零后,在滑动摩擦力作用下向右加速,由于v2>v1,滑块会先在滑动摩擦力作用下向右加速,当速度增大到等于传送带速度时开始向右做匀速运动,之后不受摩擦力,故滑块返回传送带右端的速率为v2'=v1,此过程中只有传送带对滑块做功,根据动能定理得传送带对滑块做功为W=m-m,因为滑块对传动带的摩擦力与传送带对滑块摩擦力大小相同,但是共速前,滑块相对传送带向左运动,两者位移不同,所以滑块对传送带做功不等于m-m,A项错误,B项正确;滑块相对于传送带运动时滑块的加速度大小为a==μg,滑块向左运动的时间为t1=,位移为x1=v2t1=,此过程中传送带的位移为x传1=v1t1,向右匀加速运动的时间为t2=,匀加速过程的位移为x2=,传送带的位移为x传2=v1t2,此过程中电动机对传送带多做的功为W=μmg(x传1+x传2)=mv1(v1+v2),C项错误,D项正确。
9.答案 (1)4 m/s2 2 m/s2 (2)8 J
解析 (1)当小物块相对木板恰好滑动时,小物块受到的摩擦力恰好等于滑动摩擦力,由牛顿第二定律有μmg=ma0,
此时二者的加速度大小相等,把小物块与木板看作一个整体,由牛顿第二定律有
F0=(m+M)a0,
可得小物块相对长木板恰好滑动时的拉力大小为F0=10 N,因F=18 N>F0,可知两物体相对滑动,对木板由牛顿第二定律可得其加速度大小为a1==4 m/s2,
对小物块由牛顿第二定律可得其加速度大小为a2==2 m/s2。
(2)设物块脱离木板所需时间为t ,根据
L=a1t2-a2t2,
解得t=2 s,
即3 s时物体已经脱离木板,所以
Q=μmgL=8 J。
10.答案 (1)4 J (2)28 J
(3)或≤μ<
解析 (1)设小滑块与传送带的滑动摩擦力为f,共速时间为t,小滑块的位移
x1=v0t,
小滑块和传送带之间的相对位移
x2=v0t-v0t=v0t,
摩擦力对小滑块做功fx1=m,
整个过程因摩擦产生的热量
Q=fx2=m=4 J。
(2)滑块从C点到弹簧弹性势能最大时,由能量守恒得
Ep=m+mgLsin θ=28 J。
(3)最终滑块停在D点有两种可能
滑块恰好能从C下滑到D,由动能定理有
mgLsin θ-μmgLcos θ=0-m,
解得μ1=,
若滑块在斜面CD间多次反复运动,最终静止于D点,
当滑块恰好能返回C时,有
-2μ2mgLcos θ=0-m,
解得μ2=,
当滑块恰好静止在斜面上,则有
mgsin θ=μ3mgcos θ,
解得μ3=,
综上所述,μ的取值范围是
μ=或≤μ<。
11.C 解析 若存在空气阻力,当沙袋的动能减小到0时,其重力势能最大,且小于最大动能,题图A可能正确;沙袋在上升的过程中,沙袋的动能逐渐减小,重力势能逐渐增大,若存在空气阻力,沙袋的动能减少时,机械能也会相应减少,题图B、D可能正确;沙袋的动能减小到0后,重力势能还在增大,沙袋还在上升,这种情况不可能发生,故题图C一定错误。本题选错误的,故选C。(共30张PPT)
专题提升练11
功能关系 能量守恒定律
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1.质量为2 kg的物体在竖直向上的拉力作用下以一定的初速度竖直向上匀减速运动，物体的加速度大小为4 m/s2，不计一切阻力，g取 10 m/s2，在向上运动2 m过程中，下列说法正确的是( )
A.合外力对物体做功24 J
B.合外力对物体做功16 J
C.物体机械能增加了24 J
D.物体重力势能减少了40 J
梯级Ⅰ 基础练
物体受到的合外力为F合=ma=8 N，则合外力做功为W合=-F合h= -16 J，A、B两项错误；物体的重力做功为WG=-mgh=-40 J，即物体克服重力做功40 J，重力势能增加了40 J，D项错误；根据动能定理可得ΔEk=W合=-16 J，则物体的机械能变化量为ΔE=ΔEk+Δep =-16 J+40 J=24 J，物体机械能增加了24 J，C项正确。
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2.某地由于连日强降雨，水库泄洪闸孔全开泄洪。如图所示，已知泄洪流量为240 m3/s，水位落差100 m，水的密度为1.0×103 kg/m3。泄洪时，水流的重力势能有25%转化为电能，取g=10 m/s2，按照以上数据估算发电站的发电功率是( )
A.6.0×107 W B.6.0×108 W
C.2.4×107 W D.2.4×108 W
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由题意可知t时间内流水的体积V=Qt，发电功率为P==
==25%ρQgh，代入数据解得P=25%×1.0×103×
240×10×100 W=6.0×107 W，A项正确。
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3.如图，一质量为m=60 kg的人站在观光电梯内，电梯从静止开始以 1 m/s2的加速度匀加速上升2 m的高度，重力加速度大小取g= 10 m/s2。在此过程中( )
A.人的重力势能增加了1 200 J
B.人的动能增加了240 J
C.人的机械能增加了1 200 J
D.电梯对人做的功为1 440 J
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此过程中，重力做负功，重力势能增加，增加量为Ep=mgh= 1 200 J，A项正确；由运动规律知v2=2ah，解得v=2 m/s，动能增加量为Ek=mv2=120 J，B项错误；机械能增加量为E=Ek+Ep= 1 320 J，根据功能关系知，电梯对人做的功也为1 320 J，C项错误，D项错误。
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4.(多选)(2025·驻马店模拟)如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小物体上，使小物体从静止开始做匀加速直线运动。已知小物体和木板之间的摩擦力为f，当小物体滑到木板的最右端时，木板相对地面运动的距离为x，则在此过程中 ( )
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A.水平恒力F对小物体所做的功为小物体和木板机械能的增加量
B.摩擦力f对小物体所做的功为-fx
C.摩擦力f对木板所做的功为fx即为木板动能的增加量
D.小物体到达木板最右端时具有的动能为(F-f)(x+L)
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根据题意可知，小物体与木板间有相对位移，小物体与木板间摩擦产生热，由功能关系可知，水平恒力F对小物体所做的功为小物体和木板机械能的增加量和摩擦产生的热量之和，A项错误；小物体发生的对地位移为x物=x+L，摩擦力f对小物体所做的功为Wf= -f(x+L)，B项错误；根据题意，对小物体，由动能定理可得W合=F(x+L)-f(x+L)=Ek-0，小物体到达木板最右端时具有的动能为Ek=(F-f)(x+L)，对木板，由动能定理有Ek板=fx，C、D两项正确。
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5.(多选)(2025·贵阳模拟)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。质量为50 kg的人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大小为20 m/s。已知沙坡斜面的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法正确的是( )
A.人的重力势能减少5.0×104 J B.合力对人做的功为1.0×104 J
C.人的机械能减少1.5×104 J D.阻力对人做的功为-4.0×104 J
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根据运动学公式可得斜面的长度为L=t=100 m，则重力做功为WG=mgh=mgLsin 30°=2.5×104 J，人的重力势能减少2.5× 104 J，A项错误；根据动能定理可得合力对人做的功为W合=mv2=
1.0×104 J，B项正确；根据动能定理可得mgLsin 30°+Wf= mv2，解得阻力对人做的功为Wf=-1.5×104 J，根据功能关系可 知，人的机械能减少ΔE=|Wf|=1.5×104 J，C项正确，D项错误。
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6.(多选)一质量均匀不可伸长的铁链，质量为m，A、B两端固定在天花板上，初始状态如曲线ACB所示。若在铁链最低点C施加一竖直向下的拉力F，将最低点缓慢拉动至D点。下列说法正确的是( )
A.铁链的重力势能逐渐增大
B.铁链的重力势能不变
C.拉力F对铁链做正功
D.拉力F对铁链不做功
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由题图可知，拉力F的作用点发生了竖直向下的位移，可知拉力F对铁链做正功，由于是缓慢拉动，可认为铁链的动能不变，根据功能关系可知，铁链的重力势能逐渐增大，A、C两项正确。
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7.如图所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的拉力F将小木块拉至右端，则拉力F做功至少为( )
A.μmgL B.μmgL
C.μ(m+M)gL D.μ(m+M)gL
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缓慢拉动时，小木块做匀速运动，此过程拉力F做功最少，根据功能关系，拉力做的功等于系统产生的内能，所以W=μmgL，B项正确。
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8.(多选)如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1匀速向右运动，一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2 (v2 >v1)滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端。则在此过程中( )
A.滑块对传送带做功为m-m
B.传送带对滑块做功为m-m
C.电动机对传送带多做的功为mv2(v1+v2)
D.电动机对传送带多做的功为mv1(v1+v2)
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由于传送带足够长，滑块先向左做匀减速运动，速度减为零后，在滑动摩擦力作用下向右加速，由于v2>v1，滑块会先在滑动摩擦力作用下向右加速，当速度增大到等于传送带速度时开始向右做匀速运动，之后不受摩擦力，故滑块返回传送带右端的速率为v2'=v1，此过程中只有传送带对滑块做功，根据动能定理得传送带对滑块做功为W=m-m，因为滑块对传动带的摩擦力与传送带对滑块摩擦力大小相同，但是共速前，滑块相对传送带向左
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运动，两者位移不同，所以滑块对传送带做功不等于m-m，A项错误，B项正确；滑块相对于传送带运动时滑块的加速度大小为a==μg，滑块向左运动的时间为t1=，位移为x1=v2t1=，此过程中传送带的位移为x传1=v1t1，向右匀加速运动的时间为t2=，匀加速过程的位移为x2=，传送带的位移为 x传2=v1t2，此过程中电动机对传送带多做的功为W=μmg(x传1+ x传2)=mv1(v1+v2)，C项错误，D项正确。
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9.(2025·厦门模拟)如图所示，在光滑的水平面上有一长L=4 m、质量为M=4 kg的木板，在长木板右端有一质量为m=1 kg的小物块，长木板与小物块间动摩擦因数为μ=0.2，长木板与小物块均静止。现用F=18 N的水平恒力作用在木板上，g取10 m/s2。求：
(1)木板加速度a1和小物块加速度a2的大小；
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当小物块相对木板恰好滑动时，小物块受到的摩擦力恰好等于滑动摩擦力，由牛顿第二定律有μmg=ma0，
此时二者的加速度大小相等，把小物块与木板看作一个整体，由牛顿第二定律有F0=(m+M)a0，
可得小物块相对长木板恰好滑动时的拉力大小为F0=10 N，因F=18 N>F0，可知两物体相对滑动，对木板由牛顿第二定律可得其加速度大小为a1==4 m/s2，
对小物块由牛顿第二定律可得其加速度大小为a2==2 m/s2。
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(2)0~3 s的过程中，板块间产生的热量为多少
设物块脱离木板所需时间为t ，根据
L=a1t2-a2t2，
解得t=2 s，
即3 s时物体已经脱离木板，所以
Q=μmgL=8 J。
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10.(2025·重庆模拟)如图所示，足够长的水平传送带以速率v0=2 m/s逆时针传动，左端与倾角为θ=37°、长L=2 m的斜面CD平滑相接，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ<1之间调节。现有质量为m=2 kg的小滑块(视为质点)在传送带右端由静止释放，与传送带共速后进入斜面(小滑块进入斜面后传送带立即停止转动)斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。滑块在经过 C、D两处时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力。
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(1)求小滑块与传送带之间因摩擦产生的热量；
设小滑块与传送带的滑动摩擦力为f，共速时间为t，小滑块的位移
x1=v0t，
小滑块和传送带之间的相对位移x2=v0t-v0t=v0t，
摩擦力对小滑块做功fx1=m，
整个过程因摩擦产生的热量Q=fx2=m=4 J。
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(2)若设置μ=0，求滑块在运动过程中弹簧的最大弹性势能；
滑块从C点到弹簧弹性势能最大时，由能量守恒得
Ep=m+mgLsin θ=28 J。
解析
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5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
(3)若最终滑块停在D点，求μ的取值范围。
最终滑块停在D点有两种可能
滑块恰好能从C下滑到D，由动能定理有
mgLsin θ-μmgLcos θ=0-m，
解得μ1=，
若滑块在斜面CD间多次反复运动，最终静止于D点，
当滑块恰好能返回C时，有-2μ2mgLcos θ=0-m，
解得μ2=，
解析
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4
当滑块恰好静止在斜面上，则有mgsin θ=μ3mgcos θ，
解得μ3=，
综上所述，μ的取值范围是μ=≤μ<。
解析
11.在体能训练中，A同学站在沙地上竖直向上抛出沙袋，取抛出点为重力势能零点，B同学画出了该沙袋在上升的过程中，机械能 E总、动能Ek和重力势能Ep随上升的高度h变化的E-h图像。其中一定有错误的是( )
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梯级Ⅲ 创新练
若存在空气阻力，当沙袋的动能减小到0时，其重力势能最大，且小于最大动能，题图A可能正确；沙袋在上升的过程中，沙袋的动能逐渐减小，重力势能逐渐增大，若存在空气阻力，沙袋的动能减少时，机械能也会相应减少，题图B、D可能正确；沙袋的动能减小到0后，重力势能还在增大，沙袋还在上升，这种情况不可能发生，故题图C一定错误。本题选错误的，故选C。
解析
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4专题提升十一 功能关系 能量守恒定律
题型1 功能关系的理解和应用
1.对功能关系的理解。
(1)做功的过程就是能量转化的过程,不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度,功和能的关系,一是体现在不同的力做功,对应不同形式的能量转化,具有一一对应关系;二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.力学中常见的功能关系。
考向1 功能关系的理解
【典例1】
如图所示,某段滑雪雪道倾角为30°,总质量为m的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑,加速度为g,g为重力加速度。运动员从上向下滑到底端的过程中( )
A.减少的机械能为mgh
B.增加的动能为mgh
C.克服摩擦力做功为mgh
D.合外力做功为mgh
考向2 功能关系与图像的综合应用
【典例2】 (多选)如图甲所示,质量为m=1 kg的小物块自倾角为37°固定粗糙斜面底端以E0=200 J的初动能沿斜面向上滑动(斜面足够长)。规定斜面底端为零势能面,物体向上滑动的过程中动能和机械能与上升高度h的关系分别如图乙所示。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小为g=10 m/s2。则( )
甲 乙
A.物体向上滑动的最大距离为6 m
B.物体与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物体到达斜面底端时的动能为40 J
D.物体在斜面运动的全过程中因摩擦产生的热量为80 J
题型2 摩擦力做功与能量变化
1.两种摩擦力的做功情况比较。
类别 比较
静摩擦力 滑动摩擦力
不 同 点 能量的转化方面 只有能量的转移,而没有能量的转化 既有能量的转移,又有能量的转化
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零,总功W=-Ffl相对,即相对滑动时产生的热量
相 同 点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功、负功,还可以不做功
2.相对滑动物体的能量问题的解题流程。
【典例3】 (2025·佛山模拟)如图所示,一辆货车在水平公路上做匀速直线运动,车厢内放置一质量为m的箱子,与车厢保持相对静止。货车突然遇到紧急情况刹车,当货车和箱子均停止时,箱子相对车厢向前滑行的距离为x。已知箱子与车厢间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.货车对箱子做的功为-μmgx
B.箱子对货车做的功为-μmgx
C.合外力对箱子做的功为-μmgx
D.箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为μmgx
【典例4】 如图甲,倾角为37°的传送带顺时针匀速运行,在传送带上某位置轻放一质量为m=1 kg的小木块,木块的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)木块与传送带间的动摩擦因数μ;
(2)0~2.0 s时间内,传送带对木块做的功;
(3)传送木块过程中摩擦产生的热量Q。
甲
乙
摩擦生热公式Q=F·x相对中x相对的理解
(1)没有往复滑动的物体间,x相对等于相对位移大小。
(2)有往复滑动的物体间,x相对等于相对路程。
题型3 能量守恒定律的理解和应用
1.能量守恒定律。
能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。
2.表达式。
(1)E初=E末,初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)ΔE增=ΔE减,增加的能量总和等于减少的能量总和。
3.对能量守恒定律的两点理解。
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
考向1 能量守恒定律的理解和应用
【典例5】 如图所示,轻弹簧放置在倾角为30°的斜面上,弹簧下端与斜面底端的挡板相连,可看作质点的小物块A、B叠放在一起,在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时,将物块A从B上轻轻取走(对B的速度不产生影响),此后弹簧将物块B弹出,B刚好又能滑到斜面顶端,已知重力加速度为g,B物块与斜面间动摩擦因数为,则关于A、B的质量m和M之间的关系,下列说法正确的是( )
A.M=2m B.M=m
C.M=2m D.M=3m
考向2 能量守恒定律在生活、生产中的应用
【典例6】 (2022·浙江卷)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示,风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9 m/s时,输出电功率为405 kW,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A,空气密度为ρ,风场风速为v,并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是( )
A.该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B.单位时间流过面积A的流动空气动能为ρAv2
C.若每天平均有1.0×108 kW的风能资源,则每天发电量为2.4×109 kW·h
D.若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s范围内,则该发电机年发电量至少为6.0×105 kW·h
命题特点:试题来源于教材,与人教版必修第二册第八章复习与提高B组3题所给条件类似,求解问题类似,均考查能量守恒观点,同时还考查了“柱体模型”和转化效率问题。
复习建议:在全球提倡节能减排的大背景下,新型能源的开发和利用成为高考命题的热点,重视有关能源、低碳等信息题的训练。
专题提升十一 功能关系 能量守恒定律
题型1
【典例1】 A 解析 合外力做功为W总=ma·=m·g·=mgh,D项错误;对滑雪运动员由动能定理可知,增加的动能为ΔEk=W总=mgh,B项错误;对滑雪运动员由牛顿第二定律得mgsin 30°-Ff=ma,解得运动员受到的摩擦力Ff=mg,所以运动员克服摩擦力做的功为W克=Ff=mgh,运动员减少的机械能为mgh,A项正确,C项错误。
【典例2】 BC 解析 设物体上升的最大高度为h0,则根据图像可得mgh0=E0,解得h0=12 m,物体向上滑动的最大距离为s m=,解得s m=20 m,A项错误;设物体与斜面间的动摩擦因数为μ,则由动能定理有-mgh0-μmgs mcos 37°=0-E0,解得μ=0.5,B项正确;设物体上滑过程中克服摩擦力所做的功为W克,根据题图,结合能量守恒定律可得E0=mgh0+W克,解得W克=80 J,物体到达斜面底端时,根据动能定理有mgh0-W克=Ek,解得物体到达斜面底端时的动能为Ek=40 J,C项正确;根据以上分析可知,物体在斜面运动的全过程中克服摩擦力做功为Wf=2W克=160 J,D项错误。
题型2
【典例3】 D 解析 设货车的位移为s,则箱子的位移为s+x,货车对箱子做的功为W车箱=-μmg(s+x),A项错误;箱子对货车做的功为W箱车=μmgs,B项错误;合外力对箱子的功为W合力箱=-μmg(s+x),C项错误;箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为Q=μmgx ,D项正确。
【典例4】 答案 (1)0.875 (2)9.5 J
(3)3.5 J
解析 (1)由题图乙知,0~1 s内物块做匀加速直线运动,
加速度为a==1 m/s2,
由牛顿第二定律得
μmgcos 37°-mgsin 37°=ma,
解得μ=0.875。
(2)由题图乙知,0~1 s内物块与传送带有相对运动,
摩擦力为Ff1=μmgcos 37°=7 N,
1~2 s内,物块与传送带相对静止,
则摩擦力为Ff2=mgsin 37°=6 N,
则0~2 s时间内,传送带对木块做的功为
W=Ff1x1+Ff2x2,
由题图乙可得x1=0.5 m,x2=1 m,
解得W=9.5 J。
(3)由题意可知,0~1 s过程中,物块与传送带之间有相对运动,产生热量为Q=Ff1Δx,
其中Δx=x带-x1=0.5 m,
解得Q=3.5 J。
题型3
【典例5】 A 解析 弹簧被压缩到最短时,小物块A、B的速度刚好为0,从开始运动到弹簧压缩到最短的过程中,设运动距离为L,根据能量守恒定律得(m+M)gLsin 30°-μ(m+M)gcos 30°·L=Ep;弹簧将物块B弹出,B刚好又能滑到斜面顶端的过程中,由能量守恒定律得Ep=MgLsin 30°+μMgcos 30°·L,两式联立解得M=2m,A项正确。
【典例6】 D 解析 单位时间流过面积A的流动空气体积为V0=Av,单位时间流过面积A的流动空气质量为m0=ρV0=ρAv,单位时间流过面积A的流动空气动能为m0v2=ρAv3,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为不变,可知该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比,A、B两项错误;由于风力发电存在转化效率,若每天平均有1.0×108 kW的风能资源,则每天发电量应满足E<1.0×108×24 kW·h=2.4×109 kW·h,C项错误;若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s的风能资源,当风速取最小值6 m/s时,该发电机年发电量具有最小值,根据题意,风速为9 m/s时,输出电功率为405 kW,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为不变,可知风速为6 m/s时,输出电功率为P=63× kW=120 kW,则该发电机年发电量至少为E=Pt=120×5 000 kW·h=6.0×105 kW·h,D项正确。(共30张PPT)
专题提升十一
第六章 机械能守恒定律
功能关系 能量守恒定律
题型1 功能关系的理解和应用
题型2 摩擦力做功与能量变化
内容
索引
题型3 能量守恒定律的理解和应用
功能关系的理解和应用
题型1
1.对功能关系的理解。
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做
功，对应不同形式的能量转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.力学中常见的功能关系。
考向1
功能关系的理解
【典例1】 如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g，g为重力加速度。运动员从上向下滑到底端的过程中( )
A.减少的机械能为mgh
B.增加的动能为mgh
C.克服摩擦力做功为mgh
D.合外力做功为mgh
合外力做功为W总=ma·=m·g·=mgh，D项错误；对滑雪运动员由动能定理可知，增加的动能为ΔEk=W总=mgh，B项错误；对滑雪运动员由牛顿第二定律得mgsin 30°-Ff=ma，解得运动员受到的摩擦力Ff=mg，所以运动员克服摩擦力做的功为W克=Ff=mgh，运动员减少的机械能为mgh，A项正确，C项错误。
解析
考向2
功能关系与图像的综合应用
【典例2】 (多选)如图甲所示，质量为m=1 kg的小物块自倾角为37°固定粗糙斜面底端以E0=200 J的初动能沿斜面向上滑动(斜面足够长)。规定斜面底端为零势能面，物体向上滑动的过程中动能和机械能与上升高度h的关系分别如图乙所示。已知sin 37°=0.6，
cos 37°=0.8，重力加速度大小为g=10 m/s2。则( )
A.物体向上滑动的最大距离为6 m
B.物体与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物体到达斜面底端时的动能为40 J
D.物体在斜面运动的全过程中因摩擦产生的热量为80 J
设物体上升的最大高度为h0，则根据图像可得mgh0=E0，解得h0=12 m，物体向上滑动的最大距离为s m=，解得s m=20 m，A项错误；设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，则由动能定理有-mgh0-μmgs mcos 37°=0-E0，解得μ=0.5，B项正确；设物体上滑过程中克服摩擦力所做的功为W克，根据题图，结合能量守恒定律可得E0=mgh0+W克，解得W克=80 J，物体到达斜面底端时，根据动能定理有mgh0-W克=Ek，解得物体到达斜面底端时的动能为Ek=40 J，C项正确；根据以上分析可知，物体在斜面运动的全过程中克服摩擦力做功为Wf=2W克=160 J，D项错误。
解析
摩擦力做功与能量变化
题型2
1.两种摩擦力的做功情况比较。
类别 比较 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 能量的转化方面 只有能量的转移，而没有能量的转化 既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W=-Ffl相对，即相对滑动时产生的热量
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功 2.相对滑动物体的能量问题的解题流程。
【典例3】 (2025·佛山模拟)如图所示，一辆货车在水平公路上做匀速直线运动，车厢内放置一质量为m的箱子，与车厢保持相对静
止。货车突然遇到紧急情况刹车，当货车和箱子均停止时，箱子相对车厢向前滑行的距离为x。已知箱子与车厢间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.货车对箱子做的功为-μmgx
B.箱子对货车做的功为-μmgx
C.合外力对箱子做的功为-μmgx
D.箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为μmgx
设货车的位移为s，则箱子的位移为s+x，货车对箱子做的功为
W车箱=-μmg(s+x)，A项错误；箱子对货车做的功为W箱车=μmgs，B项错误；合外力对箱子的功为W合力箱=-μmg(s+x)，C项错误；箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为Q=μmgx ，D项正确。
解析
【典例4】 如图甲，倾角为37°的传送带顺时针匀速运行，在传送带上某位置轻放一质量为m=1 kg的小木块，木块的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)木块与传送带间的动摩擦因数μ；
由题图乙知，0~1 s内物块做匀加速直线运动，
加速度为a==1 m/s2，
由牛顿第二定律得μmgcos 37°-mgsin 37°=ma，
解得μ=0.875。
解析
(2)0~2.0 s时间内，传送带对木块做的功；
由题图乙知，0~1 s内物块与传送带有相对运动，
摩擦力为Ff1=μmgcos 37°=7 N，
1~2 s内，物块与传送带相对静止，
则摩擦力为Ff2=mgsin 37°=6 N，
则0~2 s时间内，传送带对木块做的功为W=Ff1x1+Ff2x2，
由题图乙可得x1=0.5 m，x2=1 m，
解得W=9.5 J。
解析
(3)传送木块过程中摩擦产生的热量Q。
由题意可知，0~1 s过程中，物块与传送带之间有相对运动，产生热量为Q=Ff1Δx，
其中Δx=x带-x1=0.5 m，
解得Q=3.5 J。
解析
摩擦生热公式Q=F·x相对中x相对的理解
(1)没有往复滑动的物体间，x相对等于相对位移大小。
(2)有往复滑动的物体间，x相对等于相对路程。
能量守恒定律的理解和应用
题型3
1.能量守恒定律。
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2.表达式。
(1)E初=E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)ΔE增=ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
3.对能量守恒定律的两点理解。
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
考向1
能量守恒定律的理解和应用
【典例5】 如图所示，轻弹簧放置在倾角为30°的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时，将物块A从B上轻轻取走(对B的速度不产生影响)，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为，则关于A、B的质量m和M之间的关系，下列说法正确的是( )
A.M=2m B.M=m
C.M=2m D.M=3m
弹簧被压缩到最短时，小物块A、B的速度刚好为0，从开始运动到弹簧压缩到最短的过程中，设运动距离为L，根据能量守恒定律得(m+M)gLsin 30°-μ(m+M)gcos 30°·L=Ep；弹簧将物块B弹
出，B刚好又能滑到斜面顶端的过程中，由能量守恒定律得Ep=
MgLsin 30°+μMgcos 30°·L，两式联立解得M=2m，A项正确。
解析
考向2
能量守恒定律在生活、生产中的应用
【典例6】 (2022·浙江卷)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9 m/s时，输出电功率为405 kW，风速在5~10 m/s范围内，转
化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，空气密度为ρ，风场风速为v，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是
( )
A.该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B.单位时间流过面积A的流动空气动能为ρAv2
C.若每天平均有1.0×108 kW的风能资源，则每天发电量为2.4×
109 kW·h
D.若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s范围内，则该发电机年发电量至少为6.0×105 kW·h
单位时间流过面积A的流动空气体积为V0=Av，单位时间流过面积A的流动空气质量为m0=ρV0=ρAv，单位时间流过面积A的流动空气动能为m0v2=ρAv3，风速在5~10 m/s范围内，转化效率可视为不变，可知该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比，
A、B两项错误；由于风力发电存在转化效率，若每天平均有1.0×108 kW的风能资源，则每天发电量应满足E<1.0×108×
24 kW·h=2.4×109 kW·h，C项错误；若风场每年有5 000 h风速
解析
在6~10 m/s的风能资源，当风速取最小值6 m/s时，该发电机年发电量具有最小值，根据题意，风速为9 m/s时，输出电功率为
405 kW，风速在5~10 m/s范围内，转化效率可视为不变，可知风速为6 m/s时，输出电功率为P=63× kW=120 kW，则该发电机年发电量至少为E=Pt=120×5 000 kW·h=6.0×105 kW·h，D项正确。
解析
命题特点：试题来源于教材，与人教版必修第二册第八章复习与提高B组3题所给条件类似，求解问题类似，均考查能量守恒观点，同时还考查了“柱体模型”和转化效率问题。
复习建议：在全球提倡节能减排的大背景下，新型能源的开发和利用成为高考命题的热点，重视有关能源、低碳等信息题的训练。
