平遥县 2025 年五月学业水平质量监测九年级数学试题
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 3分，共 30分）
1.如图，平遥县某天的气温是 5℃~11℃，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ）
A．6℃ B． 16℃
C．16℃ D． 6℃
2．如右图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中心是一个圆，那么它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
2x x 1,
3．不等式组 x 1 2x的解集在数轴上表示为（ ）
2 3
A． B．
C． D．
4．肺炎支原体是一种大小介于细菌和病毒之间的微生物，肺炎支原体直径约为 0.00000005 米，约为一根
头发的五万分之一，却有着不可小视的威力．其中数据 0.00000005 用科学记数法表示为（ ）
A．0.5 10 7 B．5 10 7 C．5 10 8 D．5 10 9
5．如图所示是一副三角板， ACB DFE 90 ， CAB 45 ， DEF 30 ，将这副三角板按如图所
示的位置摆放，点D在边 AC上，点 E在边CB的延长线上，且 AB∥EF，则 CDE （ ）
A．60 B．70
C．75 D．80
6.小明在整理一组数据： 2， 4， 4， 4，6 若不小心丢掉一个数据 4，得到了一组新的数据，则在分析
这组数据时，下列统计量中会与原数据发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7. 数学家阿尔·花拉子米的《代数学》，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还
原》。其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算
术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，其体现的数学思想是（ ）
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A．分类思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
8. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐
标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点 O位
似．若点 A 6,8 ，点 B 3,4 ，点C 10,4 ，则点 D的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（5，3）
C．（5，2） D．（6，2）
9. 如图，先将抛物线 y = x2向右平移 1 个单位长度，再将平移后的图象位于直线 y 4上方的部分沿该直
线向下翻折，得到如图所示的图象G．当直线 y x m与图象G有四个交点时，m的取值范围是（ ）
A． 1 m
3
B．1 m
5
4 4
3 5
C． m 3 D． m 4
4 4
10.如图，扇形 AOB纸片， AOB 90 ，OA 10，P是半径OB上的一动点，连接 AP，把 AOP沿 AP
翻折，点 O的对称点为 Q，当点 Q恰好落在 AB上时，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 100 3 50 3． 25 B． 25
3 3
C．100 3 25 D．50 3 20
二、选择题：（本大题 5个小题，每小题 3分，共 15分）
11.请你写出一个比-3 小且比-4 大的无理数 ．
12.2025 年元旦期间，小王和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2 艘大船与 3
艘小船一次共可以满载游客 60 人，1 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 26 人．则 1 艘大船可以满载
游客的人数为 ．
13. 刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，
如图，点 A、B、C在量角器的内弧上，点 A、C对应的刻度分
别为 20 、120 ，则 ABC的度数为 ．
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14. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了 A 书法，B 绘画，C 舞蹈，D 乐器，E 武
术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们
中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是 ．
15. 如图，△ABC中，BC=6，∠ABC=120°，D为 AC的中点，
点 F是边 BC上一点，且 CF∶BF=2∶1，连结 DF并延长，
交 AB延长线于点 E，若 EF=3，则 AB的长为 ．
三、解答题：（本大题 8个小题，共 75分）
16. (本题 10 分，每小题 5 分 )
2 2
（1） 2 tan 60 27 1 1 3
x 1
(2)化简： 1
2 x2 1 x 1
17.（本题 6分）如图，在 ABC中，已知 B 30 ，请你用尺规作图法，求作一个等边三角形 CDE，
使得 D，E两点在 AB边上．（保留作图痕迹，不写作法）
18.（本题 8 分）“立德树人”是教育的根本任务，某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生
明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措。为了了解全校 2000 名学生一周的课外经典阅读时间，从
本校学生中随机抽取 100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间 x h 分为 5组：①1 x 2；
②2 x 3；③3 x 4；
④ 4 x 5；⑤5 x 6，
并将调查结果绘制成如图所示的统计图。
请你分析以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第______组（填序号）；一周课外经典阅
读的平均时间达到 4 小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平
均时间达到 4 小时的学生约有______人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间（如1 x 2取 1.5），估计
这 100 名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到 4小时的人数百分比超过30%，作为衡量此次德育活动的达
标标准，请你评价此次阅读活动，并提出合理化的建议．
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19.（本题 8 分）在 2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”
特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文
中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头
起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年 2月份吉祥物一月的销售量
是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天
能销售量 20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出 2件，为了进一步推广宣传，商家决
定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
20.（本题 8 分）新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图 1 是我县某校跨学科项
目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量， AOB 90 ，OA 5m，
OB 10m．如图 2，李老师以O为原点，OB所在直线为 x轴，OA所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，
取OB的中点C，连接 AC，过点C作OB的垂线交抛物线于点D，将基地划分为三个区域用于种植不同
的蔬菜，测得CD 7.5m．
（1）请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式．
（2）为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点 E，安装一个遮阳网 ABE，请你利用
所学知识确定点 E的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点 E的横坐标.
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21.(本题 10 分)阅读与思考
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务
如图 1，圆内接四边形的对角线 AC BD，垂足为G，过点G作 AD的垂线，垂足为 E，
延长 EG交 BC于点 F ，求证： F 为BC的中点．
下面是部分证明过程：
AC BD，EF AD，
EGD FGC 90 ， EGD EDG 90 ，
EDG FGC．
ADB ACB，（ ）。
．．．．．．
任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是 ；
任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整．
任务三：如图 2，在 ABC中，把边 AC绕点C顺时针旋转90 得到DC，把边 BC绕点C逆时针旋转90
得到 EC．连接DE，取 AB的中点M ，连接MC并延长交DE于点 N，延长CM至点 F ，使MF CM ，
连接 BF，AF．若 AC 4，AB 6 3， CAB 30 ，则DE的长为___________。
22.(本题 12 分)项目学习实践
项目主题：如何合理设计简易遮阳棚
项目背景：军属李大爷的家在我县某小区，他的卧室的窗户朝南，夏天的时候，阳光通过窗户全部照
到了房间里，感觉比较晒，在一次“拥军优属”活动后，
九（一）班智慧小组决定为李大爷设计安装一个简易遮阳棚。
任务一：测量收集数据
查阅资料可知，我省位于北半球北回归线以北地区，夏至日太阳直射北回归线，此时该地区正午太
阳高度角达到一年中的最大值，即太阳光线与水平面夹角最大约 73°26′，冬至则太阳光线与水平
面夹角最小约 26°34′。（sin26°34′≈0.447，cos26°34′≈0.894，tan26°34′≈0.500，sin73°
26′≈0.958，cos73°26′≈0.286，tan73°26′≈3.350），李大爷卧室窗户高 1.9 米。
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任务二：模型初步设计
小明设计了如图 1的遮阳棚，它的伸出距离是 70厘米，为了在夏
至的时候能挡住所有的阳关，遮阳棚应安装在窗户上面多高的墙上？
请你结合模型探究，如图 2：已知窗户 AB=1.9m，遮阳棚 CD=70cm，
求 BC。
（图 2）
（图 1）
任务三：模型优化设计
小花进一步思考：遮阳棚的作用是夏天最大限度遮挡太阳光，冬天能最大限度使阳光照射进来。通过上
述的思考，请你结合图 3探究，选择伸出长度为多少厘米？安装在
什么位置才能让遮阳棚发挥最大的作用？如图 3：求 BC 和 CD 的长。
任务四：项目反思
请你通过本题的解决，为遮阳棚的供应商提一个合理化建议。
（图 3）
23．(本题 13 分)综合与实践
【问题情境】：在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．
智慧小组准备了两张矩形纸片 ABCD和DEFG，其中 AB 6,BC 8,DE 3,EF 4，将它们按如图1所示
的方式放置，点 E落在 AD上，点G落在CD的延长线上，连接 AG和 BF．
BD FD AG【观察发现】：（1）如图 2连接 , ，则 BD和FD的位置关系是__________， ___________．
BF
【操作探究】：（2）如图3，将矩形DEFG绕点D按顺时针方向旋转 （0 ＜ ＜360 ），试探究（1）
中 AG和 BF 的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】：
（3）在矩形DEFG旋转的过程中，当 B、G、F三点共线时，直接写出线段 AG的长．
试卷第 6页，共 6 页平遥县 2025 年四月学业水平质量监测九年级数学试题 （答案）
一、选择题： CBBCC DCCCA
7
二、填空题： 11. 等， 12. 18 人， 13.130 14. 15. 1 6
10
三、解答题： 16.（1）解：原式 2 3 3 3 4 3 1 3
x2 1
（2）解： 2 1 x 1 x 1
x2 x
x 1 x 1 x 1
x2 x 1
x 1 x 1 x
x
x ． 1
17.解：如图， CDE即为所作等边三角形．
18.（1）解：∵第 50、51 名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
20 8
由题意得： 100% 28%，
100
即一周课外经典阅读的平均时间达到 4 小时的学生人数占被调查人数的百分比为 28%；
2000 28% 560（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到 4 小时的学生约有 560 人，
故答案为：③，28%，560；
（2）解：由题意得，每组的平均阅读时间分别为 1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，
1.5 10 2.5 26 3.5 36 4.5 20 5.5 8
∴估计这 100 名学生一周课外经典阅读的平均时间为： 3.4小
100
时；
（3）解：此次调查结果为：一周课外经典阅读的平均时间达到 4 小时的人数百分比为 28%，
∴本次课外经典阅读活动不达标，
建议：①学校多举办经典阅读活动，提高学生思想认识；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣
等（答案不唯一）．
19 . （1）解：设月平均增长率为 x，
由题意得，5 1 x 2 7.2，
解得： x1 0.2 20%， x2 2.2（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为 20%；
（2）解：设售价应降低 y元，
由题意得， 100 y 60 20 2y 1200，
整理得： y2 30 y 200 0，
解得： y1 10， y2 20，
∵尽量减少库存， ∴ y 20，
答：售价应降低 20元．
20.（1）解：根据题意， A 0,5 ,B 10,0 ，
∵点C是OB中点，
∴OC
1
OB 5，且CD 7.5m，
2
∴C 5,0 ,D 5,7.5 ，
2
设二次函数解析式为 y ax bx 5 a 0 ，把点 B,D代入得，
100a 10b 5 0
，
25a 5b 5 7.5
a 1
5
解得， ，
b 3
2
y 1 x2 3∴抛物线的解析式为 x 5 0 x 10 ；
5 2
（2）解：在抛物线上选取一点 E，
E e, 1 2 3 如图所示，当点 E在点D右边时，设 e e 5 ，过点 E作EF x轴交 AB 于点 F ，
5 2
由A
1
0,5 ,B 10,0 1 得：直线 AB 表达式 y x 5，则 F e, e 5
2 2
1
∴OA 5 ,OB 10 , EF e2
3 1 1
e 5 e 5 e2 2e
5 2 2 5
∴
S ABE S
1
AEF S BEF EF OB e
2 10e
2
∴当 e 5时， ABE的面积最大， 则 E点横坐标为 5；
21. （1）任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）任务二：解： AC BD，EF AD，
EGD FGC 90 ， EGD EDG 90 ，
EDG FGC，
ADB ACB，
ACB FGC，
CF FG，
同理 BF FG，
BF CF，
F为BC的中点．
（3）任务三： 2 7
22. 任务二：
解：根据题意得：∠DAE=73°26′，CD∥AE，
∴∠CDA=∠DAE=73°26′
在 Rt△ADC 中，
∵tan∠CDA=AC
CD
∴AC=tan73°26′×0.7≈2.345
∴BC=AC-AB=2.234-1.9=0.445m
答：遮阳棚应安装在窗户上面 0.445m 的墙上。
任务三：
解：根据题意得：∠CDA=73°26′，∠CDB=26°34′
设：CD=x
在 Rt△ADC 中，
∵tan CDA=AC∠
CD
∴AC=tan73°26′ x≈3.350x
在 Rt△BDC 中，
∵tan∠CDB=BC
CD
∴BC=tan26°34′ x≈0.5x
∵AC=AB+BC
∴3.350x=1.9+0.5x
x≈0.667
∴BC=0.5×0.667≈0.3335
答：BC 的长为 0.3335m，CD 的长为 0.667m。
任务四：
建议：争对不同省份生产不同长度的遮阳棚。
建议在安装说明书中增加不同省份的安装高度的建议。（建议合理即可）
22. 解：如下图，连接 BD,FD，延长GF、BA相交于H，
∵四边形 ABCD和四边形DEFG都是矩形，
∴ BH CG,GH BC, H 90 , AH EF 4,GH BC 8， BH AB AH 10,FH HG GF 5，
∴在Rt△BHF中， BH BH 2 FH 2 102 52 5 5，
同理： BD BC 2 CD 2 82 62 10，
DF DG2 FG2 42 32 5，
AG DG2 AD2 42 82 4 5
AG 4
∴
BF 5
∵ BH 2 DF 2 BH ，
∴ BDF 是直角三角形，
∴BD FD，．
4
故答案为：垂直， ；
5
（2）成立
理由：如下图，连接 BD和DF．
四边形 ABCD是矩形， AB 6,BC 8，
∴ AD BC 8， DAB 90 ，
∴ BD AB 2 AD 2 10
四边形DEFG是矩形，DE 3,EF 4，
∴GF DE 3,DG EF 4, DGF 90 ，
∴DF DG2 GF 2 5
在△ABD和 GFD中，
AB 6 AD 8
2， 2，
GF 3 DG 4
AB AD
∴ ．
GF DG
BAD DGF 90 ，
∴ ABD∽ GFD，
∴ BDA GDF ，
∴ BDA BDG GDF BDG，
∴ ADG BDF
AD 8 4 DG 4
∵ ， ，
BD 10 5 DF 5
AD DG
∴ ，
BD DF
∴△ADG∽△BDF ，
AG AD 4
∴
BF BD 5
3 AG 8 21 12 8 21 12（ ） 的长为 或
5 5
