第3讲 电场能的性质的应用
■目标要求
1.掌握电场线、等势面和运动轨迹问题的分析思路和方法。2.掌握匀强电场中电势差和电场强度的关系,并会用等分法分析问题。3.熟练应用功能关系分析和计算电场中有关能量问题。
考点1 电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
必|备|知|识
1.等势面。
(1)定义:电场中 的各点组成的面。
(2)四个特点。
①等势面一定与 垂直。
②在 移动电荷时静电力不做功。
③电场线方向总是由 的等势面指向 的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度 ,反之 。
2.几种常见的典型电场的等势面比较。
电场 等势面 (实线)图样 重要描述
匀强电场 等势面为垂直于电场线的一簇 面
点电荷 的电场 等势面为以点电荷为球心的一簇 面
等量异种点 电荷的电场 两电荷连线的中垂面上的电势
等量同种 正点电荷 的电场 两电荷连线上,中点电势最低,而在中垂线上,中点电势最
(1)等差等势面越密的地方,电场线越密,电场强度越大()
(2)沿着电场线方向是电势降低最快的方向()
(3)无论正粒子还是负粒子,在电场中某点所受电场力的方向与该点的电场线相切,且指向粒子运动轨迹的弯曲方向()
关|键|能|力
带电粒子运动轨迹问题的解题技巧。
(1)判断速度方向:带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向:仅受电场力作用时,带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧,再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减:若电场力与速度方向成锐角,则电场力做正功,电势能减少;若电场力与速度方向成钝角,则电场力做负功,电势能增加。
考向1 对等势面的理解
【典例1】 (2024·全国甲卷)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中,将无限远处的电势规定为零时,距离该点电荷r处的电势为k,其中k为静电力常量,多个点电荷产生的电场中某点的电势,等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特),则( )
A.Q1<0,=-2 B.Q1>0,=-2
C.Q1<0,=-3 D.Q1>0,=-3
考向2 电场线、等势面与运动轨迹
【典例2】
(多选)(2024·甘肃卷)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示,虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹,M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点,下列说法正确的是( )
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
审题指导
序号 信息读取 信息加工
1 带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示 带电体带正电
2 虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹 带电粒子受斥力作用,带电粒子带正电
3 M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点 等差等势面越密集的地方,电场强度越大
失分 剖析 不能把物体做曲线运动的条件灵活运用到带电粒子的曲线运动中来
考点2 匀强电场中电势差与电场强度的关系
必|备|知|识
1.(1)定义:在电场中,两点之间电势的 叫作电势差。
(2)定义式:UAB= ,单位:伏(V)。
2.电势差与电势的关系:UAB=φA-φB,电势差是 ,可以是正值,也可以是负值,而且有UAB=-UBA。
3.电势差UAB由电场中A、B两点的 决定,与移动的电荷q、电场力做的功WAB无关,与
的选取也无关。
4.匀强电场中电势差与电场强度的关系。
(1)UAB=Ed,d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场方向电势降低得 。
(1)电势差由电场本身的性质决定,与零电势点的选取无关()
(2)由UAB=知,电势差UAB与WAB成正比,与q成反比()
(3)A、B两点的电势差与试探电荷无关,所以UAB=UBA()
关|键|能|力
1.由E=可推出的两个重要推论。
(1)如图甲所示,C点为线段AB的中点,则有φC=。
(2)如图乙所示,AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD。
甲 乙
2.E=在非匀强电场中的三点妙用。
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时,电场强度E越大,则沿电场强度方向的距离d越小,即电场强度越大,等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差,E越大,U越大;E越小,U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k===Ex,斜率的大小表示电场强度的大小,正负表示电场强度的方向。
考向1 匀强电场中电场强度和电势差的关系
【典例3】
如图所示,在匀强电场中有一平行四边形ABCD,已知A、B、C三点的电势分别为φA=12 V,φB=8 V,φC=2 V,则D点的电势为( )
A.8 V B.6 V
C.4 V D.1 V
考向2 等分法确定电场线及电势高低
【典例4】 (多选)
一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c三点的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV
等分法确定电场线及电势高低的解题思路
已知匀强电场中某些点的电势→利用等分法确定等势点→
考向3 公式U=Ed的拓展应用
【典例5】 如图所示,实线为电场线,虚线为等势面,φa=-10 V,φc=10 V,则a、c连线中点b的电势φb为( )
A.小于0 B.等于0
C.大于0 D.等于20 V
考点3 电场中的功能关系
关|键|能|力
电场中常见的功能关系。
(1)若只有静电力做功,电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功,电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
【典例6】
(多选)如图所示,在P点固定一个带电荷量为Q的点电荷,P点下方有一足够大的金属板与水平面成一定倾角,金属板处于静电平衡状态,且上表面光滑。金属板上表面的A点与P点连线水平。一带电荷量为q的绝缘小物块(可视为点电荷且0A.物块的加速度恒定不变
B.物块的动能一直增大
C.物块的机械能保持不变
D.物块的电势能先增大后减小
【典例7】
(多选)(2024·江西卷)如图所示,垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆,质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆,两小球均可视为点电荷,带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中,小球乙静止在坐标原点,初始时刻小球甲从x=x0处由静止释放,开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep=k(r为两点电荷之间的距离,k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f,重力加速度为g。关于小球甲,下列说法正确的是( )
A.最低点的位置x=
B.速率达到最大值时的位置x=
C.最后停留位置x的区间是≤x≤
D.若在最低点能返回,则初始电势能Ep0<(mg-f)
命题特点:试题以带电小球在静电斥力作用下竖直下降为背景,考查动力学和功能关系问题,对推理能力也进行了考查。
复习建议:电场中的功能问题解题思路与力学中的功能问题解题思路相同,只是受力多了电场力,分析功能关系时多了电场力做功和电势能的变化。
第3讲 电场能的性质的应用
考点1
必备知识
1.(1)电势相等 (2)①电场线 ②同一等势面上 ③电势高 电势低 ④越大 越小
2.平 球 相等 高
微点辨析 (1)√ (2)√ (3)√
关键能力
【典例1】 B 解析 根据两点电荷周围的电势分布可知Q1带正电,Q2带负电;由题图中电势为0的等势线可知k+k=0,由题图中距离关系可知=,联立解得=-2,B项正确。
【典例2】 BCD 解析 根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知,带电粒子带正电,A项错误;等差等势面越密集的地方场强越大,故M点的电场强度比N点的小,B项正确;粒子带正电,因为M点的电势大于在N点的电势,故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能;由于带电粒子仅在电场作用下运动,电势能与动能总和不变,故可知当电势能最大时动能最小,故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小,C、D两项正确。
考点2
必备知识
1.(1)差值 (2) 2.标量 3.位置 零电势点 4.(2)最快
微点辨析 (1)√ (2)× (3)×
关键能力
【典例3】 B 解析 由于是匀强电场,所以UAB=UDC,即φA-φB=φD-φC得φD=6 V,B项正确。
【典例4】 ABD 解析 如图所示,设a、c之间的d点电势与b点相同,则==,d点坐标为(3.5 cm,6 cm),过c点作cf⊥bd于f,由几何关系可得cf=3.6 cm,则电场强度E== V/cm=2.5 V/cm,A项正确;因为四边形Oacb是矩形,所以有Uac=UOb,解得坐标原点O处的电势为1 V,B项正确;a点电势比b点电势低7 V,电子带负电,所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV,C项错误;b点电势比c点电势低9 V,电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV,D项正确。
【典例5】 C 解析 由题图看出,ab段电场线比bc段电场线密,故ab段场强较大,且沿电场线电势降低,所以电场方向为由c指向a,根据公式U=Ed可知, b、a间电势差Uba大于c、b间电势差Ucb,即φb-φa>φc-φb,可得φb>=0,即φb>0,C项正确。
考点3
关键能力
【典例6】 ABC 解析 金属板处于静电平衡状态,金属板上表面处的电场垂直于金属板表面,则电场力始终垂直于金属板,金属板上表面光滑小物块所受摩擦力为零,则在物块下滑的过程中,合外力保持不变加速度不变,A项正确;物块下滑的过程中电场力始终垂直于金属板,则支持力和电场力不做功,电势能和机械能不变,C项正确,D项错误;物块下滑的过程中合外力对物块做正功,物块动能增加,B项正确。
【典例7】 BD 解析 全过程,根据动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0,解得x=,A项错误;当小球甲的加速度为零时,速率最大,则有mg=f+k,解得x=,B项正确;小球甲最后停留时,满足mg-f≤k≤mg+f,解得位置x的区间≤x≤,C项错误;若在最低点能返回,即在最低点满足k>mg+f,解得x<结合A选项的分析知x=,有<,解得初始电势能Ep0<(mg-f),D项正确。(共37张PPT)
第3讲
电场能的性质的应用
第九章 静电场
目
标
要
求
1.掌握电场线、等势面和运动轨迹问题的分析思路和方法。2.掌握匀强电场中电势差和电场强度的关系，并会用等分法分析问题。3.熟练应用功能关系分析和计算电场中有关能量问题。
考点1 电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
考点2 匀强电场中电势差与电场强度的关系
内容
索引
考点3 电场中的功能关系
电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
考点1
必|备|知|识
1.等势面。
(1)定义：电场中 的各点组成的面。
(2)四个特点。
①等势面一定与 垂直。
②在 移动电荷时静电力不做功。
③电场线方向总是由 的等势面指向 的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度 ，反之 。
电势相等
电场线
同一等势面上
电势高
电势低
越大
越小
2.几种常见的典型电场的等势面比较。
电场 等势面(实线)图样 重要描述
匀强电场 等势面为垂直于电场线的一簇 面
点电荷 的电场 等势面为以点电荷为球心的一簇 面
平
球
等量异种点 电荷的电场 两电荷连线的中垂面上的电势
等量同种 正点电荷 的电场 两电荷连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最
相等
高
(1)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大( )
(2)沿着电场线方向是电势降低最快的方向( )
(3)无论正粒子还是负粒子，在电场中某点所受电场力的方向与该点的电场线相切，且指向粒子运动轨迹的弯曲方向( )
关|键|能|力
带电粒子运动轨迹问题的解题技巧。
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角,则电场力做负功，电势能增加。
考向1
对等势面的理解
【典例1】 (2024·全国甲卷)在电荷量为Q
的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势
规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，
其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场
中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时
该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则( )
A.Q1<0，=-2 B.Q1>0，=-2
C.Q1<0，=-3 D.Q1>0，=-3
根据两点电荷周围的电势分布可知Q1带正电，Q2带负电；由题图中电势为0的等势线可知k+k=0，由题图中距离关系可知=，联立解得=-2，B项正确。
解析
考向2
电场线、等势面与运动轨迹
【典例2】 (多选)(2024·甘肃卷)某带电体产生电场的等势面分布如
图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、
N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，下列说法正确的是( )
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
审题指导
序号 信息读取 信息加工
1 带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示 带电体带正电
2 虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹 带电粒子受斥力作用，带电粒子带正电
3 M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点 等差等势面越密集的地方，电场强度越大
失分 剖析 不能把物体做曲线运动的条件灵活运用到带电粒子的曲线运动中来
根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知，带电粒子带正电,
A项错误；等差等势面越密集的地方场强越大，故M点的电场强度比N点的小，B项正确；粒子带正电，因为M点的电势大于在N点的电势，故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能；由于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小，C、D两项正确。
解析
匀强电场中电势差与电场强度的关系
考点2
必|备|知|识
1.(1)定义：在电场中，两点之间电势的 叫作电势差。
(2)定义式：UAB= ，单位：伏(V)。
2.电势差与电势的关系：UAB=φA-φB，电势差是 ，可以是正值，也可以是负值，而且有UAB=-UBA。
差值
标量
3.电势差UAB由电场中A、B两点的 决定，与移动的电荷q、电场力做的功WAB无关，与 的选取也无关。
4.匀强电场中电势差与电场强度的关系。
(1)UAB=Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场方向电势降低得 。
位置
零电势点
最快
(1)电势差由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关( )
(2)由UAB=知，电势差UAB与WAB成正比，与q成反比( )
(3)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB=UBA( )
关|键|能|力
1.由E=可推出的两个重要推论。
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC=。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB=CD，则UAB=UCD。
2.E=在非匀强电场中的三点妙用。
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k===Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
考向1
匀强电场中电场强度和电势差的关系
【典例3】 如图所示，在匀强电场中有一平行四边形ABCD，已知
A、B、C三点的电势分别为φA=12 V，φB=8 V，φC=2 V，则D点的电势为( )
A.8 V B.6 V
C.4 V D.1 V
由于是匀强电场，所以UAB=UDC，即φA-φB=φD-φC得φD=6 V，B项正确。
解析
考向2
等分法确定电场线及电势高低
【典例4】 (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
如图所示，设a、c之间的d点电势与b点相同，
则==，d点坐标为(3.5 cm，6 cm)，过
c点作cf⊥bd于f，由几何关系可得cf=3.6 cm，
则电场强度E== V/cm=2.5 V/cm，A项正确；因为四边形Oacb是矩形，所以有Uac=UOb，解得坐标原点O处的电势为1 V，B项正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，D项正确。
解析
等分法确定电场线及电势高低的解题思路
考向3
公式U=Ed的拓展应用
【典例5】 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa=-10 V，φc=10 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
A.小于0 B.等于0
C.大于0 D.等于20 V
由题图看出，ab段电场线比bc段电场线密，故ab段场强较大，且沿电场线电势降低，所以电场方向为由c指向a，根据公式U=Ed可知， b、a间电势差Uba大于c、b间电势差Ucb，即φb-φa>φc-φb，可得φb>=0，即φb>0，C项正确。
解析
电场中的功能关系
考点3
关|键|能|力
电场中常见的功能关系。
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
【典例6】 (多选)如图所示，在P点固定一个带电
荷量为Q的点电荷，P点下方有一足够大的金属板
与水平面成一定倾角，金属板处于静电平衡状态，
且上表面光滑。金属板上表面的A点与P点连线水平。
一带电荷量为q的绝缘小物块(可视为点电荷且0A.物块的加速度恒定不变 B.物块的动能一直增大
C.物块的机械能保持不变 D.物块的电势能先增大后减小
金属板处于静电平衡状态，金属板上表面处的电场垂直于金属板表面，则电场力始终垂直于金属板，金属板上表面光滑小物块所受摩擦力为零，则在物块下滑的过程中，合外力保持不变加速度不变，A项正确；物块下滑的过程中电场力始终垂直于金属板，则支持力和电场力不做功，电势能和机械能不变，C项正确，D项错误；物块下滑的过程中合外力对物块做正功，物块动能增加，B项正确。
解析
【典例7】 (多选)(2024·江西卷)如图所示，垂直于水平桌
面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝
缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量
分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，
初始时刻小球甲从x=x0处由静止释放，开始向下运动。甲和
乙两点电荷的电势能Ep=k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲,下列说法正确的是( )
A.最低点的位置x=
B.速率达到最大值时的位置x=
C.最后停留位置x的区间是≤x≤
D.若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg-f)
全过程，根据动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0，解得x=，A项错误；当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有mg=f+k,解得x=，B项正确；小球甲最后停留时，满足mg-f≤k≤
mg+f，解得位置x的区间≤x≤，C项错误；若在最低
解析
点能返回，即在最低点满足k>mg+f，解得x<结合A选项的分析知x=，有<，解得初始电势能Ep0<(mg-f)，D项正确。
解析
命题特点：试题以带电小球在静电斥力作用下竖直下降为背景，考查动力学和功能关系问题，对推理能力也进行了考查。
复习建议：电场中的功能问题解题思路与力学中的功能问题解题思路相同，只是受力多了电场力，分析功能关系时多了电场力做功和电势能的变化。微练31 电场能的性质的应用
梯级Ⅰ基础练
1.(2025·六安模拟)如图所示，两平行金属板A、B间有一匀强电场，C、D为电场中的两点(其中C点在金属板上)，且C、D间距L=4 cm，C、D连线和场强方向成60°角。已知电子从D点移到C点电场力做功为3.2×10-17 J，电子电荷量大小为1.6×10-19 C，C、D间的电势差UCD和匀强电场的场强大小分别为( )
A.200 V，50 V/cm B.200 V，100 V/cm
C.-200 V，50 V/cm D.-200 V，100 V/cm
2.如图所示，A、B、C、D是边长为L的正方形的四个顶点，四点在同一竖直面内，A、C连线水平。在A、C放有电荷量都为+q(q>0)的点电荷，A、C连线中点放一电荷量大小为q'(q'未知)的小球时，D点电场强度恰好为0，保持小球的电荷量大小q'不变，把小球移至D点由静止释放。已知静电力常量为k，小球可视为点电荷，下列说法正确的是( )
A.小球电荷量的大小为q
B.小球在D点受到的静电力大小为
C.小球从D运动到B的过程中机械能先增大后减小
D.小球从D运动到B的过程中动能和电势能之和先减小后增大
3.电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示(截取其中一部分)，虚线为电场线，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，电子依次经过a、b、c三点，下列说法正确的是( )
A.电场线的方向大致指向上侧
B.电子在a点的加速度大小大于在c点的加速度大小
C.电子在a点的速度大小小于在c点的速度大小
D.电子在a点的电势能小于在c点的电势能
4.(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
5.图中的平行直线表示一簇垂直于纸面的等势面。一个电量为-6.0×10-8 C的点电荷，沿图中曲线从A点移到B点，电场力做的功为( )
A.-6.0×10-7 J B.6.0×10-7 J
C.-4.2×10-6 J D.4.2×10-6 J
6.(多选)(2025·成都模拟)如图，A、B、C为圆周上三点，O为圆心，半径为 m，∠AOB=∠BOC=60°，空间中存在与纸面平行的匀强电场，A、B、C三点的电势分别为5 V、4 V、3 V，下列说法正确的是( )
A.电场强度沿OB方向
B.电场强度沿AC方向
C.电场强度的大小为 V/m
D.电场强度的大小为 V/m
7.(2025·哈尔滨模拟)如图所示，竖直平面内固定一光滑圆形绝缘轨道，A、B分别为轨道上的最高点和最低点，圆心O处固定一负点电荷，带正电的小球沿轨道外做完整的圆周运动，则( )
A.球在A点时受到的弹力方向指向圆心
B.球在B点时受到的弹力大于库仑力
C.球从A运动到B过程动能不变
D.球从A运动到B过程机械能守恒
8.如图边长为L=1.0 m的等边三角形处于匀强电场中，电场方向与三角形所在平面平行。将电荷量q=1.0×10-2 C的粒子从A点移动到B点，电场力做功为W=1.0 J;若将该粒子从C点移动到B点，粒子电势能减小2 J。则匀强电场的电场强度大小为( )
A.200 V/m B.100 V/m
C. V/m D. V/m
梯级Ⅱ能力练
9.(2025·杭州模拟)如图所示，在真空中光滑的水平绝缘桌面上，有带异种电荷的点电荷P1和P2。现固定P1，用绝缘锤将P2沿桌面击出。关于此后P2在桌面上的运动，下列说法正确的是( )
A.一定是曲线运动
B.速度可能不变
C.加速度一定变小
D.动能和电势能之和一定不变
10.(多选)(2025·福州模拟)如图所示，圆的圆心为O、半径R=2 cm，直径AB与直径CD间的夹角为60°，匀强电场与圆所在的平面平行(图中未画出)，A、B、C三点的电势分别为2 V、8 V、2 V，下列说法正确的是( )
A.O点的电势为3 V
B.圆周上AC弧的中点电势最低
C.匀强电场的电场强度的大小为100 V/m
D.将一电子从O点移动到D点，电子克服电场力做的功为3 eV
11.(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-
12.如图所示，匀强电场中有一直角三角形ABC，AB长度为4 cm，θ=30°，一个带电荷量q=-4×10-6 C的点电荷由A移到B的过程中，电势能增加1.6×10-5 J，由B移到C的过程中电场力做功8×10-6 J，已知电场线平行于△ABC所在的平面，求:
(1)A、B两点的电势差UAB及C、B两点的电势差UCB分别是多少;
(2)该匀强电场的电场强度的大小是多少。
梯级Ⅲ创新练
13.如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，一点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点O转动，在位置MN和位置EF时两小球的电势能总量刚好相等。则( )
A.a、b两球带异种电荷
B.a球的带电量比b球少
C.a球由E转动到M，电场力对其一定做正功
D.b球在N点的电势能一定小于在F点的电势能
微练31 电场能的性质的应用
1.B 解析 根据电场力做功与电势差关系可得WDC=-eUDC,可得D、C间的电势差UDC=-=- V=-200 V,则C、D间的电势差为UCD=-UDC=200 V,匀强电场的场强大小为E== V/cm=100 V/cm,B项正确。
2.C 解析 A、C两处电荷在D点产生的合场强为E=,方向由中心指向D,根据题意,中心放置的电荷在D点产生的场强与E等大反向,则放置的小球带负电荷,且E=,解得小球的电荷量为q'=q,A项错误;小球在D点受到的静电力大小为F=q'E=,B项错误;根据等量正电荷电势分布规律,从D到B的,两正电荷产生的电势先增大再减小,则小球从D运动到B的过程中电势能先减小后增大,根据能量守恒可知,机械能先增大后减小,由于重力势能一直减小,根据能量守恒可知,动能和电势能之和一直增大,C项正确,D项错误。
3.C 解析 电子仅受电场力作用,则电场力为电子的合力,根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧,电子受到的电场力方向大致指向上侧,负电荷所受电场力方向与电场强度方向相反,故电场线的方向大致指向下侧,A项错误;电场线越密,电场强度越大,故电子在a点的加速度大小小于在c点的加速度大小,B项错误;曲线运动轨迹的切线方向为瞬时速度方向,电子依次经过a、b、c三点,电场力方向与速度方向的夹角小于90°,电场力做正功,电子的动能增大,电势能减小,故电子在a点的速度大小小于在c点的速度大小,电子在a点的电势能大于在c点的电势能,C项正确,D项错误。
4.C 解析 在静电场中,等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集,故该点的电场强度最大,C项正确。
5.B 解析 电场力做功与路径无关,只与始末位置有关,则可得该点电荷沿题图中曲线从A点移到B点,电场力做的功为W=UABq,其中UAB=φA-φB=-20 V-(-10 V)=-10 V,代入数据解得W=6.0×10-7 J,B项正确。
6.BD 解析 A、C中点在OB上,A、C中点的电势φ==4 V,则OB所在直线是等势线,场强方向垂直于等势线且由高电势指向低电势,所以电场强度沿AC方向,A项错误,B项正确;根据几何关系,A、C距离d=r=3 m,电场强度的大小为E== V/m,C项错误,D项正确。
7.D 解析 根据弹力的方向特点可知球在A点时受到的弹力方向背离圆心,A项错误;球在B点时,由牛顿第二定律可得F库-F弹-mg=Fn,知受到的弹力小于库仑力,B项错误;球从A运动到B过程,库仑力不做功,重力做正功,由动能定理可知动能增加,C项错误;球从A运动到B过程只有重力做功,机械能守恒,D项正确。
8.A 解析 粒子从A点移动到B点,电场力做功为1.0 J,可知UAB==100 V,正电荷自C到B电势能减少,电场力做正功,所以UCB==200 V,因此A和BC中点等势,电场线沿CB方向,电场强度E==200 V/m,A项正确。
9.D 解析 若P2初速度方向在P1P2连线上,则小球做直线运动,A项错误;P2受到电场力作用,速度一定发生变化,B项错误;当小球靠近P1时,根据库仑定律可知所受库仑力变大,结合牛顿第二定律可知P2所受加速度变大,C项错误;根据题意可知P2只受电场力做功,动能和电势能之和一定不变,D项正确。
10.BC 解析 O点为直径AB的中点,则有UAO=UOB,即φA-φO=φO-φB,解得φO=5 V,A项错误;A、C两点电势相等,则AC是一条等势线,等势线与电场线垂直,可知,过圆心与AC垂直的电场线与圆的交点为圆上电势最高的点和电势最低的点,根据沿着电场线方向电势降低可知,圆周上AC弧的中点电势最低,B项正确;根据UCO=UOD=-3 V,将一电子从O点移动到D点,电场力做的功为W=-eUOD=3 eV,D项错误;根据匀强电场中电场强度与电势差的关系U=Ed,解得匀强电场的电场强度的大小E== V/m=100 V/m,C项正确。
11.AD 解析 由题意知小滑块在B点处的加速度为零,则根据受力分析有沿斜面方向mgsin 30°=cos 30°,解得l=,A项正确,B项错误;因为滑到C点时速度为零,小滑块从A到C的过程,静电力对小滑块做的功为W,根据动能定理有W+mgssin 30°=0,解得W=-,C项错误;AC之间的电势差UAC==-,D项正确。
12.答案 (1)4 V 2 V (2) V/m
解析 (1)由电势差与电场力做功的关系可知
UAB== V=4 V,
UBC== V=-2 V,
则有UCB=-UBC=2 V。
(2)由(1)可知,C点与AB中点电势相等,C点与AB的中点连线是一条等势线,设AB的中点为D,连接CD,即为等势线,过A点作CD的垂线,如图所示,
由几何关系得
AF=ADcos 30°= cm,
UAD=UAB=2 V,
该匀强电场的电场强度的大小为
E== V/m。
13.B 解析 根据题意,a、b两球电势能总量刚好相等,说明点电荷对a、b两球所做的总功为零,a、b两球电性一定相同,A项错误;画出点电荷周围的电场线如图所示,电势差|UEM|>|UNF|,由题意知|WEM|=|WFN|,结合公式W=qU可判断qa微练31
电场能的性质的应用
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
1.(2025·六安模拟)如图所示，两平行金属板A、B间有一匀强电 场，C、D为电场中的两点(其中C点在金属板上)，且C、D间距L= 4 cm，C、D连线和场强方向成60°角。已知电子从D点移到C点电场力做功为3.2×10-17 J，电子电荷量大小为1.6×10-19 C，C、D间的电势差UCD和匀强电场的场强大小分别为( )
A.200 V，50 V/cm B.200 V，100 V/cm
C.-200 V，50 V/cm D.-200 V，100 V/cm
梯级Ⅰ 基础练
根据电场力做功与电势差关系可得WDC=-eUDC，可得D、C间的电势差UDC=-=- V=-200 V，则C、D间的电势差为UCD=
-UDC=200 V，匀强电场的场强大小为E== V/cm= 100 V/cm，B项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.如图所示，A、B、C、D是边长为L的正方形的四个顶点，四点在同一竖直面内，A、C连线水平。在A、C放有电荷量都为+q(q>0)的点电荷，A、C连线中点放一电荷量大小为q'(q'未知)的小球时，D点电场强度恰好为0，保持小球的电荷量大小q'不变，把小球移至D点由静止释放。已知静电力常量为k，小球可视为点电荷，下列说法正确的是( )
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
A.小球电荷量的大小为q
B.小球在D点受到的静电力大小为
C.小球从D运动到B的过程中机械能先增大后减小
D.小球从D运动到B的过程中动能和电势能之和先减小后增大
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
A、C两处电荷在D点产生的合场强为E=，方向由中心指向 D，根据题意，中心放置的电荷在D点产生的场强与E等大反向，则放置的小球带负电荷，且E=，解得小球的电荷量为q'= q，A项错误；小球在D点受到的静电力大小为F=q'E=，B项错误；根据等量正电荷电势分布规律，从D到B的，两正电荷产生
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
的电势先增大再减小，则小球从D运动到B的过程中电势能先减小后增大，根据能量守恒可知，机械能先增大后减小，由于重力势能一直减小，根据能量守恒可知，动能和电势能之和一直增大，C项正确，D项错误。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
3.电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成 像。一种电子透镜的电场分布如图所示(截取其中一部分)，虚线为电场线，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，电子依次经过a、b、c三点，下列说法正确的是( )
A.电场线的方向大致指向上侧
B.电子在a点的加速度大小大于在c点的加速度大小
C.电子在a点的速度大小小于在c点的速度大小
D.电子在a点的电势能小于在c点的电势能
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
电子仅受电场力作用，则电场力为电子的合力，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，电子受到的电场力方向大致指向上侧，负电荷所受电场力方向与电场强度方向相反，故电场线的方向大致指向下侧，A项错误；电场线越密，电场强度越大，故电子在a点的加速度大小小于在c点的加速度大小，B项错误；曲线运动轨迹的切线方向为瞬时速度方向，电子依次经过a、b、c三点，电场力方向与速度方向的夹角小于90°，电场力做正功，电子的动能增大，电势能减小，故电子在a点的速度大小小于在c点的速度大小，电子在a点的电势能大于在c点的电势能，C项正确，D项错误。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
4.(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古 塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大，C项正 确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
5.图中的平行直线表示一簇垂直于纸面的等势面。一个电量为 -6.0×10-8 C的点电荷，沿图中曲线从A点移到B点，电场力做的功为 ( )
A.-6.0×10-7 J B.6.0×10-7 J
C.-4.2×10-6 J D.4.2×10-6 J
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
电场力做功与路径无关，只与始末位置有关，则可得该点电荷沿题图中曲线从A点移到B点，电场力做的功为W=UABq，其中UAB=φA-φB=-20 V-(-10 V)=-10 V，代入数据解得W=6.0×10-7 J，B项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
6.(多选)(2025·成都模拟)如图，A、B、C为圆周上三点，O为圆 心，半径为 m，∠AOB=∠BOC=60°，空间中存在与纸面平行的匀强电场，A、B、C三点的电势分别为5 V、4 V、3 V，下列说法正确的是( )
A.电场强度沿OB方向
B.电场强度沿AC方向
C.电场强度的大小为 V/m
D.电场强度的大小为 V/m
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
A、C中点在OB上，A、C中点的电势φ==4 V，则OB所在直线是等势线，场强方向垂直于等势线且由高电势指向低电势，所以电场强度沿AC方向，A项错误，B项正确；根据几何关系，A、C距离d=r=3 m，电场强度的大小为E== V/m，C项错误，D项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
7.(2025·哈尔滨模拟)如图所示，竖直平面内固定一光滑圆形绝缘轨道，A、B分别为轨道上的最高点和最低点，圆心O处固定一负点电荷，带正电的小球沿轨道外做完整的圆周运动，则( )
A.球在A点时受到的弹力方向指向圆心
B.球在B点时受到的弹力大于库仑力
C.球从A运动到B过程动能不变
D.球从A运动到B过程机械能守恒
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
根据弹力的方向特点可知球在A点时受到的弹力方向背离圆心，A项错误；球在B点时，由牛顿第二定律可得F库-F弹-mg=Fn，知受到的弹力小于库仑力，B项错误；球从A运动到B过程，库仑力不做功，重力做正功，由动能定理可知动能增加，C项错误；球从A运动到B过程只有重力做功，机械能守恒，D项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
8.如图边长为L=1.0 m的等边三角形处于匀强电场中，电场方向与三角形所在平面平行。将电荷量q=1.0×10-2 C的粒子从A点移动到B 点，电场力做功为W=1.0 J；若将该粒子从C点移动到B点，粒子电势能减小2 J。则匀强电场的电场强度大小为( )
A.200 V/m B.100 V/m
C. V/m D. V/m
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
粒子从A点移动到B点，电场力做功为1.0 J，可知UAB== 100 V，正电荷自C到B电势能减少，电场力做正功，所以UCB==200 V，因此A和BC中点等势，电场线沿CB方向，电场强度E==200 V/m，A项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
9.(2025·杭州模拟)如图所示，在真空中光滑的水平绝缘桌面上，有带异种电荷的点电荷P1和P2。现固定P1，用绝缘锤将P2沿桌面击出。关于此后P2在桌面上的运动，下列说法正确的是( )
A.一定是曲线运动
B.速度可能不变
C.加速度一定变小
D.动能和电势能之和一定不变
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
梯级Ⅱ 能力练
若P2初速度方向在P1P2连线上，则小球做直线运动，A项错误；P2受到电场力作用，速度一定发生变化，B项错误；当小球靠近P1 时，根据库仑定律可知所受库仑力变大，结合牛顿第二定律可知P2所受加速度变大，C项错误；根据题意可知P2只受电场力做功，动能和电势能之和一定不变，D项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
10.(多选)(2025·福州模拟)如图所示，圆的圆心为O、半径R= 2 cm，直径AB与直径CD间的夹角为60°，匀强电场与圆所在的平面平行(图中未画出)，A、B、C三点的电势分别为2 V、8 V、2 V，下列说法正确的是( )
A.O点的电势为3 V
B.圆周上AC弧的中点电势最低
C.匀强电场的电场强度的大小为100 V/m
D.将一电子从O点移动到D点，电子克服电场力做的功为3 eV
O点为直径AB的中点，则有UAO=UOB，即φA-φO=φO-φB，解得φO=5 V，A项错误；A、C两点电势相等，则AC是一条等势线，等势线与电场线垂直，可知，过圆心与AC垂直的电场线与圆的交点为圆上电势最高的点和电势最低的点，根据沿着电场线方向电势降低可知，圆周上AC弧的中点电势最低，B项正确；根据UCO=UOD=-3 V，将一电子从O点移动到D点，电场力做的功为W=-eUOD=3 eV，D项错误；根据匀强电场中电场强度与电势差的关系U=Ed，解得匀强电场的电场强度的大小E== V/m=100 V/m，C项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
11.(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析有沿斜面方向mgsin 30°=cos 30°，解得l=，A项正确，B项错误；因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有W+mgssin 30°=0，解得W= -，C项错误；AC之间的电势差UAC==-，D项正确。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
12.如图所示，匀强电场中有一直角三角形ABC，AB长度为4 cm，θ=30°，一个带电荷量q=-4×10-6 C的点电荷由A移到B的过程中，电势能增加1.6×10-5 J，由B移到C的过程中电场力做功8×10-6 J，已知电场线平行于△ABC所在的平面，求：
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
(1)A、B两点的电势差UAB及C、B两点的电势差UCB分别是多少；
由电势差与电场力做功的关系可知
UAB== V=4 V，
UBC== V=-2 V，
则有UCB=-UBC=2 V。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
(2)该匀强电场的电场强度的大小是多少。
由(1)可知，C点与AB中点电势相等，C点与AB的中点连线是一条等势线，设AB的中点为D，连接CD，即为等势线，过A点作CD的垂线，如图所示，
由几何关系得AF=ADcos 30°= cm，
UAD=UAB=2 V，
该匀强电场的电场强度的大小为E== V/m。
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
13.如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，一点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点O转动，在位置MN和位置EF时两小球的电势能总量刚好相等。则( )
A.a、b两球带异种电荷
B.a球的带电量比b球少
C.a球由E转动到M，电场力对其一定做正功
D.b球在N点的电势能一定小于在F点的电势能
梯级Ⅲ 创新练
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
根据题意，a、b两球电势能总量刚好相等，说明点电荷对a、b两球所做的总功为零，a、b两球电性一定相同，A项错误；画出点电荷周围的电场线如图所示，电势差|UEM|>|UNF|，由题意知|WEM|=|WFN|，结合公式W=qU可判断qa解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
电场力对其一定做正功，小球的电势能减小，所以b球在N点的电势能不一定小于在F点的电势能，D项错误。
解析
