(共22张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
考点一
比较大小
１
[方法总结1]
比较大小的常用方法
1．作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差；
2．作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论；
3．特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分子与分母的正负，否则极易得出相反的结论．
2.解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0(a<0)．
求出方程(ax＋1)(x－1)＝0的根，分类讨论比较大小，然后结合二次函数图象可得结论
考点二
解不等式
2
[方法总结2]
一元二次不等式可结合二次函数图象求解，一是注意开口方向，二是分清含参数两根的大小．
当a＝－1时，不等式的解集为空集．
3.已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
“已知”没有说明是一元二次不等式，故需讨论二次项系数是否为零
(2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围． 令u＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1可看作是关于m的一次函数
考点三
不等式恒成立问题
3
[方法总结3]
不等式恒成立求参数范围的方法
1．数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化；
2．分离参数法；
3．变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量看作主元．
【解析】 (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
综上可知，实数m的取值范围是{m|－4
(2)令y＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈{x|1≤x≤3}不等式恒成立，
只需当x＝1时y<0且x＝3时y<0即可，
若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，
结合函数图象(图略)知只需当x＝1时y<0即可，解得m∈R，
所以m<0，符合题意．
(3)令u＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需
当m＝－2时u<0且当m＝2时，u<0，
4.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，问该商品每件的售价最高为多少元？
考点四
不等式的实际应用
4
[方法总结4]
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为40元．
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件售价为30元．综合测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．若a>b，则<
B．若a>b>0，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若ac2>bc2，则a>b
【解析】 由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．根据不等式的性质，若ac2>bc2时，必有c2>0，则a>b是成立的，所以D是正确的．故选D.
2．不等式<的解集是( )
A．{x|x<2} B．{x|x>2}
C．{x|02}
【解析】 由<，得－＝<0即2x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A【解析】 因为a，b都是正实数，且a≠b，所以A＝＋>2＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，所以A>B.故选B.
4．已知t＞0，则函数y＝的最小值为( )
A．－2 B．
C．3 D．2
【解析】 因为t＞0，则函数y＝＝2t＋－1≥2－1＝3，当且仅当t＝1时取等号．所以函数y＝的最小值为3.故选C.
5．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根与系数的关系得 ∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.解得－1＜x＜.故选A.
6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为( )
A．4 B．4
C．8 D．8
【解析】 由题意，p＝10，
S＝
＝≤·＝8，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8.故选C.
7．设实数1A．{x|3aC．{x|3【解析】 原不等式可化为(x－3a)(x－a2－2)<0.∵1a2＋2，所以不等式的解集为{x|a2＋28．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为( )
A. B．
C． D．
【解析】 ＝＝＝＝≤＝，当且仅当＝时，等号成立，此时∴x＝y＝.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知6＜a＜60,15＜b＜18，则下列选项中正确的是( )
A.∈
B．a＋2b∈{x|21＜x＜78}
C．a－b∈{x|－12＜x＜45}
D.∈
【解析】 因为15＜b＜18，所以＜＜.因为6＜a＜60，所以＜＜4，所以A正确；因为6＜a＜60,15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15.因为6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确；由A知<<4，所以<＋1<5，即<<5，所以D错误．故选AC.
10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
【解析】 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确，故选BCD.
11．下列叙述中错误的是( )
A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
【解析】 当a＝－1，b＝0，c＝0时，b2－4ac≤0，但ax2＋bx＋c≤0，故A中叙述错误；当a＝1，b＝0，c＝0时，a＞b，但ac2＝bc2，故B中叙述错误；方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等价于解得a＜0，所以“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故C中叙述错误；因为a＞1 ＜1，所以充分性成立，因为＜1 a＜0或a＞1，所以必要性不成立，故D中叙述正确．故选ABC.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．不等式>2的解集是 {x|－4【解析】 原不等式可化为－2>0，整理得>0，即<0，所以(x＋4)(x＋1)<0，故－413．已知命题p： x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是 {a|0≤a<4} .
【解析】 ①当a＝0时，1>0对 x∈R恒成立；②当a≠0时，则解得014.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 4 时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为 48 .
【解析】 设BM＝x，则由△NDC∽△CBM得＝，又因为DC＝AB＝4，CB＝AD＝3，所以ND＝.所以矩形花坛AMPN的面积S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．当BM＝4时矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)当x>3时，求的最小值．
【解析】 ∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴的最小值为24.
16．(本小题满分15分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中：
已知p：＜0，q：________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】 由p：＜0中不等式解得－3＜x＜4.
选①，x2－(2a－1)x＋a2－a＜0 a－1＜x＜a，
因为p是q的必要不充分条件，
所以a－1≥－3与a≤4中的等号不同时成立，解得－2≤a≤4.所以实数a的取值范围为{a|－2≤a≤4}．
选②，x2－2ax＋a2－1＜0 a－1＜x＜a＋1，
因为p是q的必要不充分条件，所以
(a－1≥－3与a＋1≤4中等号不同时成立)
解得－2≤a≤3.所以实数a的取值范围为{a|－2≤a≤3}．
选③，x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1) 1＜x＜a，
因为p是q的必要不充分条件，
所以a≤4，因为a＞1，所以1＜a≤4.所以实数a的取值范围为{a|117．(本小题满分15分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0.
(1)若不等式的解集为，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【解析】 (1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，
所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，
由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝.
(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0，
所以解得－3故k的取值范围为{k|－318．(本小题满分17分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【解析】 (1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)
＝x－(160x＋400)
＝74 000－－160x－400
＝73 600－－160x(x≥40)．
(2)由(1)可得W＝73 600－－160x
≤73 600－2
＝73 600－16 000＝57 600，
当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得最大利润为57 600万元．
19．(本小题满分17分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.
(1)求证：y1＝－a或y2＝－a；
(2)求证：函数的图象必与x轴有两个交点；
(3)若y>0的解集为{x|x>m或x0.
【解析】 (1)证明：∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，
∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.
(2)证明：当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，
∴图象与x轴有两个交点；
当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，
∴图象与x轴有两个交点．
∴二次函数的图象必与x轴有两个交点．
(3)∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x>m或x∴a>0且ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，
∴＝－且c>0，
∴cx2－bx＋a>0即x2－x＋>0，
即x2＋x＋>0，
∴>0.
∵n∴不等式cx2－bx＋a>0的解集为
.
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