第四章 综合测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<，则化简的结果是( )
A． B．－
C． D．－
【解析】 ∵a<，∴2a－1<0.于是，原式＝＝.故选C．
2．函数y＝·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
【解析】 要使函数有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．故选B.
3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【解析】 ∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，∴不等式f(a＋1)<2等价于0
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则( )
A．bC．b【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)5．函数y＝logax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一坐标系中的图象可能是( )
【解析】 当a>1时，y＝logax单调递增，y＝(a－1)x2－2x－1开口向上，不过原点，且对称轴x＝>0，可排除A、B选项；当06．函数f(x)与g(x)＝ax互为反函数，且g(x)过点(－2,4)，则f(1)＋f(2)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．
【解析】 由题意指数函数g(x)＝ax的图象过点(－2,4)，故可得4＝a－2，解得a＝，故函数g(x)＝x，故其反函数f(x)＝logx，故f(1)＋f(2)＝log1＋log2＝0－1＝－1.故选A．
7．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
【解析】 方法一：要使函数f(x)有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f(x)是偶函数，所以对任意x∈∪，都有f(－x)＝f(x)，即(－x＋a)·ln ＝(x＋a)ln ，则(x－a)ln ＝(x＋a)ln 对任意x∈∪恒成立，所以a＝0.故选B.
方法二：因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
8．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(lg 3≈0.477)( )
A．10－26 B．10－35
C．10－36 D．10－25
【解析】 所求数字过大，再根据题中lg 3的提示联想到先取对数，对于有lg ＝361lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，分析选项中10－36与其最接近，选C．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝5x4＋2 021x2
C．f(x)＝ex－e－x D．f(x)＝ln(|x|＋1)
【解析】 函数f(x)＝是奇函数，故A不符合题意；f(x)＝5x4＋2 021x2是偶函数，且易判断f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)＝ex－e－x为奇函数；对于D，f(x)＝ln(|x|＋1)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，故D符合题意．故选BD.
10．若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
【解析】 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确；同时画出函数的图象，如图所示：所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故A、B、C正确．故选ABC．
11．已知正实数x，y满足log2x＋logyA．< B．x3C．ln(y－x＋1)>0 D．2x－y<
【解析】 ∵正实数x，y满足log2x＋logy，x30，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．函数y＝－|x|的单调递增区间是 (－∞，0) .
【解析】 函数y＝－|x|的定义域为(－∞，＋∞)，且y＝－|x|＝|x|，因为y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，而y＝|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故y＝－|x|的单调递增区间是(－∞，0)．
13．已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)内，则整数m的值为 －2 .
【解析】 因为f(x)＝e－x－2x－5为减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(x)＝e－x－2x－5存在唯一的零点x0，且x0∈(－2，－1)，所以m＝－2.
14.某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有 ①②③ (请把正确说法的序号都填在横线上)．
【解析】 ∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，S＝32>30，故②正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)计算：
(1)＋4×2－5log53；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23.
【解析】 (1)＋4×2－5log53
＝＋(22)×2－3
＝＋2－3
＝－1＋2－3＝－1＝－.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 4－×
＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．
(1)求a的值及y＝f(x)的零点；
(2)求不等式f(x)≥－2的解集．
【解析】 (1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，
又由a>0，且a≠1，则a＝5，
f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，
则x＝2，即函数f(x)的零点为2.
(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，
解得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．
17．(本小题满分15分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为.
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
【解析】 (1)∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，
∴－2≤t≤2.
∴t的取值范围是[－2,2]．
(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，
由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝2－.
当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，
当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12.
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．
【解析】 (1)函数f(x)是奇函数，证明如下：
因为对任意x∈R,2x>0恒成立，
且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)令2x＝t，则f(x)可化为g(t)＝＝－1＋，
因为x∈(1，＋∞)，所以t>2，所以t＋1>3.
所以0<<，所以－1所以f(x)的值域是.
19. (本小题满分17分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如右图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
【解析】 (1)由题意知，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12,82)，且曲线过点(14,81)，
则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0,14]．
又当t∈[14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14,81)，
则易得a＝，则f(t)＝log(t－5)＋83，t∈[14,45]．
则p＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,4) t－12 2＋82，t∈ 0，14]，,log t－5 ＋83，t∈ 14，45].))
(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当t∈(0,14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，解得12－2当t∈(14,45]时，令f(t)＝log(t－5)＋83>80，
解得14综上可得，12－2故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
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第四章 指数函数与对数函数
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
1.计算求值：
(2)log29×log34＋2log510＋log50.25.
考点一
指数、对数的运算
１
[方法总结1]
指数、对数的运算应遵循的原则
1．指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．
2．对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．
＝4＋2＋2log52－2log52＝6.
2.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
考点二
指数函数、对数函数的图象及应用
2
[方法总结2]
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象．
【解析】 方法一：当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数．
方法二：函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝2log4x关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象．故选C．
3.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
考点三
指数函数、对数函数的性质及应用
3
[方法总结3]
指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数的性质进行逻辑推理求解．
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
因为－3因为04.(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点四
函数零点与方程的根
4
(1，＋∞)
[方法总结4]
1．函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
【解析】 (1)因为函数f(x)＝log2x＋2x－3在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的零点至多有一个，又因为f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，f(2)＝log22＋22－3＝2>0，所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．故选B.
(2)f(x)＋x－a＝0，即f(x)＝－x＋a，画出函数f(x)和y＝－x＋a的图象，如下图所示：根据图象知：a>1.
5.习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山．绿水青山就是金山银山．”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润f(x)(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系为：
考点五
函数模型的应用
(1)求该工厂利润最大时的年产量x(吨)的值，并求出最大利润；
分别在两个区间(0,60]和(60，＋∞)求函数的最大值，两个最大值之中的较大者为分段函数f(x)的最大值
把指数不等式转化成对数不等式,再转化成整式不等式即可得解
参考：e＝2.718 28…，e2≈7.39，e3≈20.09，e4≈54.60，ppm是百万分比浓度．
5
[方法总结5]
用函数模型解决实际问题的思路
1．明确题意，梳理关系，建立函数关系式；
2．通过函数求解相应问题；
3．将结论还原到实际问题中．
【解析】 (1)当0当x>60时，f(x)＝－0.1x2＋20x－700＝－0.1(x－100)2＋300≤300，
综上可知f(x)max＝f(100)＝300(万元)；
即年产量100(吨)时，有最大利润300万元．
整理得ln(t＋1)≥4＝ln e4，则t≥e4－1≈53.60，
即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求．