(共18张PPT)
第三章 函数的概念与性质
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
考点一
函数的定义域和值域
１
[－1，0]
[方法总结1]
求函数定义域的类型与方法
1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．实际问题：求函数定义域既要考虑使解析式有意义，还要考虑实际问题有意义．
3．复合函数问题
(1)若f(x)的定义域为[a,b]，f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b得到；
(2)若f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为[2,8]，
所以函数g(x)的值域为[－1,0]．
2.直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是_________.
考点二
函数图象的应用
2
[方法总结2]
已知函数交点个数求参数取值范围一般借助函数图象，通过图象可以很直观找到变量关系．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
考点三
函数的奇偶性和单调性
3
[方法总结3]
已知函数的奇偶性求参数值，可利用定义域或特殊值来求解，本题也可用f(－1)＝－f(1)求出m的值，再进行检验．另外，分段函数各段的单调性可分别判断，但对于跨段的单调性问题要注意在分段端点处的衔接．
【解析】 (1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
故实数a的取值范围是(1,3]．
4.国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于旅游团人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
考点四
函数模型的应用
4
[方法总结4]
利用函数模型解决实际问题的步骤
1．阅读、理解题意，认真审题；
2．引进数学符号，建立数学模型；
3．利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果；
4．转译成具体问题作出解答．
【解析】 (1)由题意，
因为S(x)＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
所以当x＝30时，S(x)取最大值12 000.
又S(x)＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30,75]，
所以当x＝60时，S(x)取得最大值21 000.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．第三章 综合测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞)
D．R
【解析】 要使函数有意义，则解得x≥－1且x≠0，故选C．
2．下列各组中的函数f(x)与g(x)是同一个关于x的函数的是( )
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝2x－1，g(x)＝2x＋1
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝1，g(x)＝x0
【解析】 A中的f(x)＝x－1与g(x)＝－1定义域不同；B中的f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1对应关系不同；C中的f(x)＝x2与g(x)＝定义域相同，且＝x2，故是同一个函数；D中的f(x)＝1与g(x)＝x0定义域不同．故选C．
3．有关函数单调性的叙述中，正确的是( )
A．y＝－在定义域上为增函数
B．y＝在[0，＋∞)上单调递增
C．y＝－3x2－6x的减区间为[－1，＋∞)
D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数
【解析】 对于A，其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，在[0，＋∞)上单调递减；对于C，因为y＝－3x2－6x＝－3(x＋1)2＋3，可求得减区间为[－1，＋∞)；对于D，增减性与a的取值有关．故选C．
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
【解析】 由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3，故选C．
5．已知函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，则不等式f(2x＋1)<2的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)
【解析】 因为函数f(x)为偶函数且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝2，且f(2x＋1)＝f(|2x＋1|)，所以f(|2x＋1|)
1，解得x<－1或x>0，即x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选A．
6．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题意可得：f＝f＝f＝－f，而f＝f＝f＝－f，故f＝.故选C．
7．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f(x)在(0，＋∞)上为减函数，由f(1－2x)>f可得－<1－2x<，解得8．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A．－3≤a＜0 B．－3≤a≤－2
C．a≤－2 D．a＜0
【解析】 由条件可知解得－3≤a≤－2.故选B.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
【解析】 因为f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，B正确．故选BD.
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
【解析】 奇函数在对称的区间上单调性相同，故C错误，其余都正确．故选ABD.
11．德国数学家狄利克雷(1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有( )
A．D()＝0 B．D(x)的值域为{0,1}
C．D(x)为奇函数 D．D(x－1)＝D(x)
【解析】 由题得D(x)＝则D()＝0，所以A正确；容易得D(x)的值域为{0,1}，所以B正确；因为D(－x)＝所以D(－x)＝D(x)，D(x)为偶函数，所以C不正确；因为D(x－1)＝所以D(x－1)＝D(x)，所以D正确．故选ABD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是 (－∞，0)∪(0,1] .
【解析】 因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
13．已知f(x)＝则f＋f等于 4 .
【解析】 ∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
14．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f＝ ，函数f的定义域为 (0,1] .
【解析】 幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝，所以幂函数f(x)＝，故f＝，故－1≥0，解得0四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
【解析】 (1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得a＋b＝2,2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，
故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)f(x)在R上是减函数．
证明：任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因为x1所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
16．(本小题满分15分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．
【解析】 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得
故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，
综上，ymax＝
17．(本小题满分15分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元)．(注：总利润＝销售获利－加工费)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．
【解析】 (1)由题意，知当0≤x≤8时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，
当8＜x≤14时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2，
即y＝
(2)由(1)知当0≤x≤8时，
y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，
所以当x＝4时，y取得最大值，为3.6.
当8＜x≤14时，y＝x＋2，
所以当x＝14时，y取得最大值，为3.4.
因为3.6＞3.4，所以当x＝4时，y取得最大值，为3.6.
故当精加工蔬菜4 t时，总利润最大，为3.6万元．
18．(本小题满分17分)已知函数g(x)＝，x∈(－1,1)．
(1)证明：函数g(x)在(－1,1)上单调递增；
(2)若g(t－1)＋g(2t)<0，求实数t的取值范围．
【解析】 (1)证明：设 x1，x2∈(－1,1)，且x1则g(x1)－g(x2)＝－
＝＝，
∵x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0,1－x1x2>0，
∴<0，
即g(x1)－g(x2)<0，∴g(x1)∴函数g(x)在(－1,1)上单调递增．
(2)因为g(－x)＝＝－g(x)，
则g(x)为奇函数．
由g(t－1)＋g(2t)<0，得g(2t)又因为g(x)在(－1,1)上单调递增，
则解得0故实数t的取值范围为.
19．(本小题满分17分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：
①f(x)在D上是单调函数；
②存在闭区间[a，b] D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]．那么就称函数y＝f(x)为闭函数．
试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．
【解析】 设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1)
＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵－1≤x10，x1＋x2＋2>0.
∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．
假设存在符合条件的区间[a，b]，则有
即
解得或或或
又∵－1≤a∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．
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