综合测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·上海高考)已知集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )
A．{1} B．{2}
C．{1,2} D．{1,2,3}
【解析】 集合M由在P中且不在Q中的元素构成，则M＝{1}．故选A.
2．命题“ x>0，x2－2x＋1>0”的否定是( )
A． x>0，x2－2x＋1≤0
B． x>0，x2－2x＋1≤0
C． x≤0，x2－2x＋1≤0
D． x≤0，x2－2x＋1≤0
【解析】 含有量词的命题的否定，一改量词将“ ”改为“ ”，二否结论将“>”改为“≤”，条件不变，故选A.
3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有________个( )
A．3 B．4
C．7 D．8
【解析】 因为集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，所以A∩B＝{3,5}，图中阴影部分表示的集合为： U(A∩B)＝{1,2,4}，所以图中阴影部分表示的集合的真子集有：23－1＝8－1＝7.故选C.
4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B A，则实数a的值为( )
A.或－ B．－或
C.或－或0 D．－或或0
【解析】 A＝{－3,2}，∵B A，∴－3∈B或2∈B或B＝ ；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a＝0.∴a＝－或或0.故选D.
5．命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是( )
A．{m|m＜2} B．{m|m≤2}
C．{m|m＞2} D．{m|m≥2}
【解析】 若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是真命题，则m≥2.因为命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，所以m的取值范围是{m|m＜2}．故选A.
6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
【解析】 x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3.所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.
7．已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|x(x＋2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|－1
C．{x|－2【解析】 题图中阴影部分为N∩( UM)，因为M＝{x|x<－1}，所以 UM＝{x|x≥－1}，又N＝{x|x(x＋2)<0}＝{x|－28．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【解析】 设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )
A． A B．－2∈A
C．{0,2} A D．A {y|y<3}
【解析】 ∵A＝{0,2}，∴ A，－2 A，{0,2} A，A {y|y<3}．故选ACD.
10．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是( )
A． x∈Q，有x∈P
B． x∈P，使得x Q
C． x∈Q，使得x P
D． x Q，有x P
【解析】 因为P∩Q＝Q，且P≠Q，所以Q是P的真子集，所以 x∈Q，有x∈P， x∈P，使得x Q，A、B正确，C，D错误．故选CD.
11．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m＋1}，则A∩B＝ 的一个充分不必要条件是( )
A．m≤－2 B．m＜－2
C．m＜2 D．－4＜m＜－3
【解析】 设A∩B＝ 的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B＝ 时，m＋1≤－1，解得m≤－2，所以C?{m|m≤－2}．因此满足条件的选项为BD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，集合B＝{1,3,5,7,9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为 3 .
【解析】 由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 A(A∩B)．又A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，∴A∩B＝{1,3,5}，∴ A(A∩B)＝{0,2,4}，即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3，故答案为3.
13．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则实数a的值为 0或 ；若A的真子集个数是3，则实数a的范围是 .
【解析】 集合A中只含一个元素．∴a＝0或解得a＝0或a＝；∵A的真子集个数是3个，∴ax2－3x＋1＝0有两个不等的实根，∴解得a<0或014．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (1)(2)(3) (填序号)．
(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
【解析】 (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)在① RA RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】 (1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．
(2)三个条件 RA RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B A，
所以解得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
16．(本小题满分15分)设集合A＝{x|－1(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C≠ 且C (A∩B)，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为C＝{x|1－2a所以1－2a≥2a，所以a≤，
即实数a的取值范围是 .
(2)因为C＝{x|1－2a所以1－2a<2a，即a>.
因为A＝{x|－1所以A∩B＝，
因为C (A∩B)，所以
解得即实数a的取值范围是 .
17．(本小题满分15分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－【证明】 (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，设为x1，x2，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－18．(本小题满分17分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m【解析】 (1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0(2)因为p是q的充分条件，所以A B，
如图：
则解得m>3.
所以实数m的取值范围为{m|m>3}．
19．(本小题满分17分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)A＝{1,2}．∵A∩B＝{2}，
∴2∈B，代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，
所以a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上，a的值为－1或－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B A.
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B＝ 满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足要求；
③当Δ>0，即a>－3时，
B＝A＝{1,2}才能满足要求，经检验不可能成立．
综上可知a的取值范围是{a|a≤－3}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
1.(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{a|a＝x－y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)已知集合M＝{a,2a－1,2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为( )
A．3 B．1
C．－3 D．－1
考点一
集合的基本概念
１
[方法总结1]
求解与集合中元素有关问题的注意点
1．集合中元素的互异性对解题结果的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
【解析】 (1)①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.所以B＝{－2，－1,0,1,2}，故选C.
(2)若a＝1，则2a－1＝1，矛盾；若2a－1＝1，则a＝1，矛盾，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍)或a＝－1，故M＝{－1，－3,1}，M中所有元素之和为－3，故选C.
2.(1)已知集合A满足{1} A {1,2,3,4}，这样的集合A有________个( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B A，则实数a的取值范围为__________________________.
考点二
集合间的关系
2
{a|a<－8或a≥3}
[方法总结2]
破解集合间基本关系的方法
1．若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解．
【解析】 (1)由题意得集合A＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}．故选D.
(2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示，
要使B A，只需a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.所以实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}．
3.(1)已知集合U，A，B之间的关系如图所示，则( UB)∩A＝( )
考点三
集合的运算
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
3
[方法总结3]
在进行集合的交集、并集、补集运算时，借助数轴(或Venn图)分析，能将复杂问题直观化，从而使问题变得简单，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解．
【解析】 (1)由题图所示，U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以 UB＝{0,1,2,4,7,8}，( UB)∩A＝{1,2}．故选C.
4.(1)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1，a∈R}，Q＝{x|－2≤x≤5}．若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<5}，非空集合B＝{x|2≤x≤1＋2a}，其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
考点四
充分条件与必要条件
4
[方法总结4]
充分、必要、充要条件的常用判断方法
1．定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．
2．利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
【解析】 (1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足P?Q，即a＋1>2a＋1，解得a<0；
解得0≤a≤2，故a的取值范围是{a|a≤2}．
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B A，
5.(1)命题“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是( )
A． x≤2，x2＋2x－8≤0 B． x>2，x2＋2x－8>0
C． x≤2，x2＋2x－8>0 D． x>2，x2＋2x－8>0
(2)若命题“ x∈R，都有mx2＋4x－1≠0”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．{m|－40}
C．{m|m≥－4} D．{m|－4≤m≤0}
考点五
全称量词命题与存在量词命题
5
[方法总结5]
全称量词命题与存在量词命题问题的两种题型
1．对含有量词的命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论；
2．根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．
【解析】 (1)命题“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是： x≤2，x2＋2x－8≤0.故选A.