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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
新课程标准解读 学科核心素养
通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 数学抽象，逻辑推理
通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 数学抽象，逻辑推理
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 数学抽象，逻辑推理
1.4.1 充分条件与必要条件
教材梳理 明要点
在右图所示电路图中，闭合开关K1与灯泡L亮是有关系的．甲图中K1闭合时，灯泡L一定亮，但灯泡L亮时K1不一定闭合；乙图中K1闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡亮时K1一定闭合．
?情境导入
问题：
1．把K1闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出来呢？
2．在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？
[提示1]
若开关K1闭合，则灯泡L亮．
[提示2]
数学中常用充分条件、必要条件和充要条件来刻画条件与结论的不同关系．
知识点一 命题
1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的陈述句叫做________.
2．分类：判断为真的语句是__________，判断为假的语句是__________.
3．表达形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的________，q称为命题的________.
?新知初探
真假
命题
真命题
假命题
条件
结论
知识点二 充分条件、必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 ________ __________
条件关系 p是q的________条件
q是p的________条件 p不是q的________条件
q不是p的________条件
[知识点反思]
在命题“若p，则q”中，若p q，则p是q的充分条件；若q p，则p是q的必要条件．
p q
充分
充分
必要
必要
1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件是( )
A．若xy＝1，则x，y互为倒数
B．若a∈Q，则a∈R
C．若x≠－1，则x2－1≠0
D．若ab＝0，则a＝0
【解析】 当“若p，则q”形式的命题为真命题时，q是p的必要条件．因为选项A，B中的命题是真命题，选项C，D中的命题是假命题．故选AB.
?预习自测
2．已知实数x，“x≥2”是“x≥1”的________条件(填“充分”或“必要”)．
【解析】 由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2”是“x≥1”的充分条件．
充分
题型探究 提技能
1.判断下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x∈{1,2,3,4}，则x∈{x∈Q|0＜x＜5}；
(2)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
(3)若|x|＝|y|，则x＝y；
(4)若∠A1＝∠A2＝30°，B1C1＝B2C2＝2，A1B1＝A2B2＝2，则△A1B1C1和△A2B2C2全等．
题型一
充分条件的判断
１
[方法总结1]
充分条件的两种判断方法
【解析】 (1)集合{x∈Q|0＜x＜5}是由大于0且小于5的有理数构成的集合，
所以p q，所以p是q的充分条件．
(2)p q，所以p是q的充分条件．
(4)由∠A1＝∠A2＝30°，B1C1＝B2C2＝2，A1B1＝A2B2＝2知∠B1＝∠B2＝120°，
所以△A1B1C1和△A2B2C2全等，所以p q，所以p是q的充分条件．
１
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x＞1，则x＞2；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
方法二：设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞2}，
所以B A，所以p不是q的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
所以p q，所以p是q的充分条件．
2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若|x|＞2，则x＞2；
(2)若∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B；
(3)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四条边相等．
题型二
必要条件的判断
2
[方法总结2]
必要条件的两种判断方法
1．定义法：若p q，则q是p的必要条件，即
第一步确定“条件”与“结论”；
第二步尝试由“结论”推“条件”；
第三步若由“结论”能推出“条件”，则“条件”是“结论”的必要条件．
2．集合关系法
已知条件p：“x∈A”，结论q：“x∈B”，若A B，则p是q的必要条件．
(2)因为对顶角相等，所以p q，所以q是p的必要条件．
(4)因为正方形的四条边相等，所以p q，所以q是p的必要条件．
2
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限小数；
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，所以p q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，
所以p q，所以q是p的必要条件．
3.(1)(多选)设x∈R，则使x>π成立的一个充分条件是( )
A．x>3 B．x<3
C．x>4 D．x>5
(2)写出“四边形ABCD是矩形”的一个必要条件：_______________ ___________________________________.
题型三
充分、必要条件的探求
3
[方法总结3]
若p是q的充分(必要)条件，这样的条件p是不唯一的．
四边形ABCD的
两组对边分别平行(答案不唯一)
【解析】 (1)因为4>π，所以x>4能推出x>π，故x>4是x>π的一个充分条件，同理，x>5也是x>π的一个充分条件．故选CD.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件．
3
(1)(多选)使|x|＝x成立的一个必要条件是( )
A．x<0 B．x≥0或x≤－1
C．x>0 D．x≥－1
(2)“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为_________________；一个必要条件可以为___________________.
a>3(答案不唯一)
a>－1(答案不唯一)
【解析】 (1)|x|＝x的解为x≥0，设A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥0或x≤－1}，A B，所以x≥0或x≤－1是使|x|＝x成立的一个必要条件，同理x≥－1也是使|x|＝x成立的一个必要条件．故选BD.
4.(1)已知p：实数x满足3a
转化为集合间的包含关系{x|3a(2)已知P＝{x|a－4题型四
根据充分(必要)条件求参数的范围
4
[方法总结4]
根据充分(必要)条件求参数的范围的步骤
1．根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系；
2．建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【解析】(1)p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p q，所以A B，
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
即a的取值范围为{a|－1≤a≤5}．
4
(1)若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分条件，求m的取值范围．
(2)若“x＜－3或x＞1”是“x＞a”的必要条件，求a的取值范围．
【解析】 (1)由已知条件知{x|x＜m} {x|x＞2或x＜1}，所以m≤1.
所以m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)由已知条件得{x|x＞a} {x|x＜－3，或x＞1}，所以a≥1.
所以a的取值范围是{a|a≥1}．
随堂检测 重反馈
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
2．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
【解析】 因为p是q的充分条件，所以p q，所以q是p的必要条件．故选B.
(1)x2＝1______x＝1；
(2)a，b都是偶数_______a＋b是偶数．
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．
4．已知M＝{x|a－1＜x＜a＋1}，N＝{x|－3＜x＜8}，若N是M的必要条件，则实数a的取值范围为____________________.
{a|－2≤a≤7}第一章 1.4 1.4.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．(多选)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是( )
A．P∩Q＝P B．P∩Q＝
C．P∪Q＝Q D．P∪Q＝P
【解析】 由“集合P是集合Q的子集”可推出P∩Q＝P，P∪Q＝Q，推不出P∩Q＝ ，P∪Q＝P.故选AC.
2．条件p：(a＋b)·(a－b)＝0，条件q：a＝b，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【解析】 由(a＋b)·(a－b)＝0知，a＝b或a＝－b，所以pq，q p，所以p是q的必要条件．故选B.
3．使不等式0＜x＜2成立的一个充分条件是( )
A．0＜x＜1 B．－＜x＜1
C．－1＜x＜2 D．0＜x＜3
【解析】 设p所对应的集合为A，q所对应的集合为B，则p成立的充分条件是q，转化为B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的子集，根据选项，只有A符合要求．故选A.
4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由题意可知，好货 不便宜，故选A.
5．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 两个有理数的乘积仍为有理数，故“x，y∈Q” “xy∈Q”，反之，当x＝y＝，xy＝2∈Q，但x Q，y Q.故“xy∈Q”“x，y∈Q”．所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分条件．故选A.
6．已知命题p：整数a的末位是0，q：a能被5整除，则p是q的 充分 条件；q是p的 必要 条件．(用“充分”“必要”填空)
【解析】 因为p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
7．下列说法正确的是 ①③ .(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2【解析】 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．
8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2} .
【解析】 “B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A B，即A B，得a>2.
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
【解析】 (1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．
即p q，qp，
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(2)因为x2>1 x>1或x<－1，
所以p q，且qp.
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q p，
所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件．
(4)画出Venn图(如图)可得．
结合图形可知，A∩B＝A A B UB UA，
反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
【解析】 (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<－1，或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3} ，这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
B组·综合运用
11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
【解析】 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．故选B.
12．已知集合A＝{x∈R|－1A．{m|m≥2} B．{m|m≤2}
C．{m|m>2} D．{m|－2【解析】 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A B，所以3≤m＋1，即m≥2.故选A.
13．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中 ①③④ 是a＋b>0的充分条件．(填序号)
14．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 {a|a≤1} .
【解析】 由1－x<0得x>1，设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，∵p是q的充分条件，∴A B，∴a≤1.
C组·拓展提升
15．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
【解析】 令A＝{x|x>2或x<－1}．
由4x＋p<0，得B＝ .
当B A时，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1 x>2或x<－1，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件．
16．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)由题意得到A＝{x|1≤x≤5}，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A B，
则解得a≥2，
故实数a的取值范围是{a|a≥2}．
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B A，
当B＝ 时，2－a＞1＋2a，即a＜时，满足题意，
当B≠ 时，即a≥时，则
解得≤a≤1.综上a≤1，
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
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