第一章 1.5 1.5.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列存在量词的命题中，是假命题的是( )
A． x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D． x∈R，＝x
【解析】 任意三角形都存在外接圆．故选C.
2．下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．
其中，真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 对于③，梯形的对角线不一定相等．如直角梯形的对角线显然不相等，故为假命题，其余均为真命题．故选C.
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．直角三角形的内角有一个是90°
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数，使>2
【解析】 A是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B.
4．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是( )
A． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B． a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C． a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
【解析】 全称量词命题含有量词“ ”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．故选D.
5．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的整数是偶数
D．有的有理数没有倒数
【解析】 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，所以存在x∈R，使x2＋x＋1＝0是假命题．故选B.
6．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为 .(答案不唯一)
【解析】 当a＝，b＝时，存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题，故所求有序数对(a，b)为.又如等，答案不唯一．
7．给出下列四个命题：① x∈R，x2＋3>0；② x∈N，x3≥1；③ x∈Z，x3<1；④ x∈Q，x2＝3.
其中是真命题的是 ①③ (把所有真命题的序号都填上)．
【解析】 ①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3>0，即x2＋3>0，所以命题“ x∈R，x2＋3>0”是真命题；②由于0∈N，当x＝0时，x3≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．
8．下列存在量词命题是真命题的是 ①③④ .(填序号)
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
【解析】 ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中，对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中，如1的倒数是它本身，为真命题，故填①③④.
9．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)存在两个正实数x，y，使x2＋y2＝0.
(2)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．
(3)能被5整除的整数末位数是0.
【解析】 (1)是存在量词命题，因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故此命题是假命题．
(2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真命题．
(3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
10．已知命题“ －3≤x≤2,3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
【解析】 由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，
∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤，
故实数a的取值范围是.
B组·综合运用
11．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是( )
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
【解析】 因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对 a∈M，都有a A，所以a<－3.故选D.
12．(多选)给出下列命题，其中真命题有( )
A．存在x<0，使|x|>x
B．对于一切x∈Z，都有|x|∈N
C．存在x<0，使|x|≤x
D．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b
【解析】 易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，|x|>x，所以C为假命题；D中，由于a－b＝2n－3n＝－n，∵n∈N*时，－n<0，∴a－b＝－n<0，所以对于任意的n∈N*，都有a13．(多选)若集合A，B满足： x∈B，x A，则下列关系可能成立的是( )
A．A?B B．A∩B≠
C．B?A D．A∩B＝
【解析】 当A＝{1,2}，B＝{1,2,3}时，满足条件“ x∈B，x A”，且有A?B，A∩B＝{1,2}≠ ，则A、B正确；若B?A，则 x∈B，都有x∈A，与“ x∈B，x A”矛盾，那么B不可能是A的真子集，则C错误；当A＝{1,2}，B＝{3,4}时满足条件“ x∈B，x A”且有A∩B＝ ，则D正确．故选ABD.
14．已知命题p： x∈，－2x＋a≥0，命题q：x2＋x＋2a－1＝0有实数根，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围是 a≥1 .
【解析】 若p是真命题，则－2×＋a≥0，即a≥1.若q为假命题，即Δ＝1－4(2a－1)<0，则a>，故a≥1.
C组·拓展提升
15．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 n∈N*且n≥2,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 .
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
…
【解析】 根据已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，所以得到如下全称量词命题： n∈N*且n≥2,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
16．若 x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
新课程标准解读 学科核心素养
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 数学抽象、逻辑推理
能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 数学抽象
能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 数学抽象
1.5.1 全称量词与存在量词
教材梳理 明要点
“我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都信心十足．”
问题：
上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
?情境导入
[提示]
“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为量词，含有这些短语的命题称作全称量词命题或存在量词命题．
知识点一 全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．
2．全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．
3．全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
?新知初探
全称
全称量词
x∈M，p(x)
4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
注意：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
知识点二 存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“_______”表示．
2．存在量词命题：含有____________的命题，叫做存在量词命题．
3．存在量词命题的表述形式：“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．
存在
存在量词
x∈M，p(x)
[知识点反思]
全称量词命题与存在量词命题的区别
1．全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”；
2．存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
1．下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数 ②有的矩形是正方形 ③三角形的内角和是180°
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①③是全称量词命题．故选C.
?预习自测
2.下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是_______________.
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
【解析】 ①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．
①②③
④
题型探究 提技能
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次方程都存在实数根；
(4)过平面内两点有且只有一条直线．
题型一
全称量词命题与存在量词命题的判断
１
[方法总结1]
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
【解析】 (1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．
(2)命题为存在量词命题．
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．
(4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，故为全称量词命题．
１
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
【解析】 (1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(4)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．
2.判断下列命题的真假．
题型二
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(2) α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
2
[方法总结2]
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
1．要判断一个全称量词命题为真，必须满足集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假；
2．要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
2
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何数的0次方都等于1.
【解析】 (1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题．
(4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题．
3.(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，求实数m的取值范围．
等价于函数y＝x＋m的最小值大于0
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围． 即关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根
题型三
全称量词命题与存在量词命题的应用
3
[方法总结3]
解决含有量词的命题求参数范围问题的思路
1．全称量词命题求参数范围的问题，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
2．存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时，应尽量分离参数．
【解析】 (1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}．
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，
当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
3
A．m<3 B．m>3
C．m≤3 D．m≥3
(2)已知命题p：“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是__________.
(2)当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
m≥0
随堂检测 重反馈
1．下列命题是全称量词命题的是( )
A．有的三角形是等边三角形
B．所有2的倍数都是偶数
C．有一个实数，使|x|≤0
D．至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
【答案】 B
2．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x3＝3 B． x∈R,3x＋1是整数
C． x∈R，|x|＞3 D． x∈Q，x2∈Z
3．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是______命题(填“真”或“假”)．
【解析】 命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．
存在量词命题
假
4．已知下列命题：① x∈R，x2＋2＞0；② x∈N，x4≥1；③对任意实数x，y，都有x2＋y2≠0.其中真命题的个数为______.
【解析】 ①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“ x∈R，x2＋2＞0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题．③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以③是假命题．
1
