(共36张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
新课程标准解读 学科核心素养
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 数学抽象、逻辑推理
在具体情境中，了解空集的含义. 数学抽象
能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象
教材梳理 明要点
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5,5<7,5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？
?情境导入
[提示]
两个集合之间有包含关系、真包含关系、相等关系和不包含关系．
知识点一 子集
1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上____________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
?新知初探
封闭曲线
2．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的________
记法与读法 记作________(或B A)，读作“______________”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即________；
(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则__________
任意
子集
A B
A包含于B
A A
A C
3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作__________.
也就是说，若________，且________，则A＝B.
A＝B
A B
B A
知识点二 真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集
记法与读法 记作__________(或B?A)，读作“________________” (或“B真包含A”)
图示
x A
A真包含于B
知识点三 空集
不含任何元素
[知识点反思]
1．相等关系和真子集关系一定是子集关系．子集关系可能是相等关系，也可能是真子集关系；
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有( )
A．M＜N B．M∈N
?预习自测
2．用适当的符号填空：
(1)a______{a，b，c}; (2)0______{x|x2＝0}；
(3) ______{x∈R|x2＋1＝0}; (4){0,1}________N；
(5){0}______{x|x2＝x}; (6){2,1}______{x|x2－3x＋2＝0}．
∈
∈
＝
＝
题型探究 提技能
1.(1)(多选)下列写法中正确的是( )
A．0∈ B． {0}
C．{0,2} {2,0} D．{0}∈{0,1,2}
(2)在下列选项中，使M＝N的是( )
A．M＝{(1，－3)}，N＝{(－3,1)}
B．M＝ ，N＝{0}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}
D．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}
题型一
集合间关系的判断
(3)判断下列两个集合之间的关系：
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝4n，n∈Z}；
②P＝{x|x－3>0}，Q＝{x|2x－5≥0}；
１
[方法总结1]
判断集合间关系的三种常用方法
(2)在A中，M和N中的元素表示不同的点；在B中，M是空集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是点集；在D中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{t|t≥1}．因此，M＝N.故选D.
１
(1)若集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}，则集合A与B的关系是( )
A．A＝B B．A B
(2)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则它们的关系是( )
(2)集合A，B，C，D，E之间的关系可用Venn图表示，结合右图可知，应选A.
2.(1)已知集合A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
题型二
确定集合的子集、真子集
2
[方法总结2]
求集合子集的要点
1．要注意两个特殊的子集： 和自身；
2．按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏；
3．含n个元素的集合，所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
【解析】 (1)满足题意的集合A可以是{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共有5个．故选D.
(2)因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
2
A．2 B．6
C．7 D．8
【解析】 由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．故选C.
3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A B，求实数m的取值范围；
题型三
由集合间的关系求参数范围问题
3
[方法总结3]
利用集合间的关系求参数的方法
1．不连续数集的包含关系，转化为元素与集合的关系，建立方程求解；
2．连续数集的包含关系，通常将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，建立不等关系求解．要注意区间端点是实点还是虚点，以便确定不等式是否带等号；
3．要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．
【解析】 (1)当A B时，如图所示，此时B≠ .
∴m不存在，即不存在实数m使A B.
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
3
(1)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
(2)当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3，此时满足B A，适合题意；当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
随堂检测 重反馈
1．集合A＝{0,2,4,6}的子集的个数是( )
A．8 B．12
C．15 D．16
【答案】 D
2．(多选)以下四个选项中，正确的为( )
A．{1}∈{0,1,2} B．{1，－3}＝{－3,1}
C．{0,1,2} {1,0,2} D． ∈{0}
3．已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0
4．集合A＝{x|1{a|a≥6}第一章 1.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列各选项中，表示M N的是( )
【解析】 由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．故选C.
2．(多选)已知集合A＝{0,1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈A B．{1}∈A
C． A D．{0,1} A
【解析】 ∵{1} A，∴B项错误，其余均正确．故选ACD.
3．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是( )
A．M P B．P M
C．M＝P D．M，P互不包含
【解析】 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．故选D.
4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，若B A，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|0≤a≤1} D．{a|0【解析】 当B＝ ，即2a－15．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题意知，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A C B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．故选D.
6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．－2 D．4
【解析】 ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.故选AB.
7．若整数x，y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝ 10 .
【解析】 若解得因为x，y为整数，故舍去；若解得则xy＝10.
8．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是 {p|p≥4} .
【解析】 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}＝，若B A，则－≤－1，即p≥4，则实数p的取值范围是{p|p≥4}．
9．已知集合A＝{1,3，－x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
【解析】 存在，理由如下：由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实根，故不成立．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a组成的集合C.
【解析】 (1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，
当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素，
集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以B?A.
(2)当a＝0时，由题意得B＝ ，又A＝{3,5}，故B A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B A，
此时＝3或＝5，则有a＝或a＝.
所以C＝ .
B组·综合运用
11．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有1个子集，则a的值可以为( )
A．1 B．
C．－1 D．－
【解析】 由集合A有1个子集可知，该集合是 ，当a＝1时，A＝，不符合题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)<0可得a<－.故选C.
12．已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于( )
A．1 B．2
C．3 D．6
【解析】 集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3.故选C.
13．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B A，则a的取值范围为 {a|a<－8或a≥3} .
【解析】 利用数轴法表示B A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
14．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为 7 .
【解析】 由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．
C组·拓展提升
15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ 且B A，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
【解析】 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.故选D.
16．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)由于A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴Δ＝9＋16a>0，且a≠0，即a>－，且a≠0.
故实数a的取值范围是 .
(2)若集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素，
即方程ax2－3x－4＝0无解或只有一解，
当a＝0时，方程为－3x－4＝0，解得x＝－，集合A＝；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，此时a＝－；
若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，此时a<－.
综上可知，实数a的取值范围是 .
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