第二章 2.1 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列运用等式的性质，变形不正确的是( )
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b
D．若x＝y，则＝
【解析】 对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故此选项错误．故选D.
2．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab＞bc B．ac＞bc
C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c
【解析】 方法一：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac.
方法二：令a＝1，b＝0，c＝－1，则ab＝bc，ac＜bc，a|b|＝|b|c，故排除A、B、D，故选C.
3．下列命题为真命题的是( )
A．若<，则a
B．若aC．若aD．若a－c【解析】 当c＝－1时，若<，则a>b，与a4．若1A．－3C．－3【解析】 ∵－45．(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．ac(a－c)＜0 D．cb2＜ab2
【解析】 实数a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，b不确定．①因为a＞0，b－c＞0，所以ab＞ac，故选项A正确．②因为c＜0，b－a＜0，所以c(b－a)＞0，故选项B正确．③因为ac＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故选项C正确．④当b＝0时，cb2＝ab2，故选项D错误．故选ABC.
6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为 1，－2(答案不唯一，满足a>0，b<0即可) .
7．已知2b【解析】 ∵2b8．给出以下四个命题：
①a＞b an＞bn(n∈N*)；②a＞|b| an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0 ＞；④a＜b＜0 ＞.其中真命题的序号是 ②③ .
【解析】 ①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得＞成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．
9．已知a>b>0，c【解析】 ∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴>>0，又a>b>0，
∴>.
10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3).
【解析】 (1)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，
∵3＜a＋b＜4，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.
(3)∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.
B组·综合运用
11．若a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2
C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a
【解析】 ∵a<0，－10，ab2<0，又－1a，∴ab>0>ab2>a，故选D.
12．(多选)若正实数x，y满足x>y，则有下列结论，其中正确的是( )
A．xyy2
C.<(m>0) D．<
【解析】 由于x，y为正实数，且x>y，两边乘以y得xy>y2，故A选项错误；由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B选项正确；由于x，y为正实数，且x>y，m>0，所以y(x＋m)－x(y＋m)＝m(y－x)<0，则y(x＋m)y，所以x>x－y>0，取倒数得0<<，故D选项正确．故选BCD.
13．(多选)下列命题中为真命题的是( )
A．若a>b，则>1
B．若a>0，则>
C．若<，则aD．若c>a>b>0，则<
【解析】 当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但<1，故A错误；若a>0，则－＝>0，故B正确；因为－＝<0，所以c2>0，a－b<0，则a，故D错误．故选BC.
14．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，求z＝2x－3y的取值范围．
【解析】 ∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴3≤z≤8.
C组·拓展提升
15．设a，b为正实数，则下列命题中正确的是 ① .(填序号)
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1.
【解析】 对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1 a－b＝ a－b>0 a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1 a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
16．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，能组成哪几个正确的命题？
【解析】 由②可知－＞0，∴＞0，若③式成立，即bc＞ad，则bc－ad＞0，∴ab＞0，故由②③ ①正确；由①ab＞0得＞0，不等式bc＞ad两边同乘，得＞，∴＞，故由①③ ②正确；由②得－＞0，∴＞0，若①成立，则bc＞ad，故由①② ③正确．综上可知，①③ ②，①② ③，②③ ①.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 等式性质与不等式性质
教材梳理 明要点
在我们喝的糖水中加些糖后会变得更甜；炒菜中加些盐后会变得更咸，……，此类生活现象如何用数学式子来表示呢？
?情境导入
[提示]
知识点一 等式的性质
性质1 如果a＝b，那么__________；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么__________；
性质3 如果a＝b，那么__________________；
性质4 如果a＝b，那么______________；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么____________.
?新知初探
b＝a
a＝c
a±c＝b±c
ac＝bc
知识点二 不等式的性质
性质1 a>b __________；(对称性)
性质2 a>b，b>c __________；(传递性)
性质3 a>b __________________；(可加性)
性质4 a>b，c>0 ______________，a>b，c<0 ac性质5 a>b，c>d __________________；(同向可加性)
性质6 a>b>0，c>d>0 ______________；(同向同正可乘性)
性质7 a>b>0 _____________(n∈N，n≥2)．(可乘方性)
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
a＋c>b＋d
ac>bd
an>bn
[知识点反思]
两个不等式只有同向加法和同向同正乘法运算，没有减法和除法运算．
1．已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
【解析】 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式的性质5知，D一定成立．故选D.
?预习自测
2．用“＜”或“＞”填空：
(2)如果a＞b，那么－2a______－2b.
(3)如果a＞b＞0，那么a10______b10.
(4)如果a＞－b，那么c－a______c＋b.
(2)如果a＞b，那么－2a＜－2b.
(3)如果a＞b＞0，那么a10＞b10.
(4)如果a＞－b，那么－a＜b，所以c－a＜c＋b.
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>
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题型探究 提技能
1.(1)对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是( )
题型一
不等式性质的应用
(2)(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是( )
A．若a＜b，c＜d，则ac＜bd
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
１
[方法总结1]
判断关于不等式的命题真假的两种方法
1．直接法：直接运用不等式的性质进行推理判断；
2．特殊值验证法：给不等式中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
１
A．① B．②
C．③ D．④
题型二
利用不等式的性质证明不等式
2
[方法总结2]
应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【证明】 因为a>b>c，所以－c>－b.
2
3.(1)已知1≤a≤2，且2≤b≤4，求4a－2b的取值范围．
(2)已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．
此处a＋b与a－b分别看作一个整体，将4a－2b用这两个整体式子表示出来
题型三
利用不等式的性质求范围
3
[方法总结3]
利用不等式的性质求取值范围的策略
1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
2．求解这种代数式范围问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围，要把已知条件中的代数式看作整体来处理．
【解析】 (1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8. ①
因为2≤b≤4，所以－8≤－2b≤－4. ②
由①＋②，得－4≤4a－2b≤4.
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
方法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴－2≤4a－2b≤10.
3
(1)已知－5(2)已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，则4a－2b的取值范围是________________________.
【解析】 (1)因为2{x－2y|－11{4a－2b|5≤4a－2b≤10}
随堂检测 重反馈
1．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
【解析】 ∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
3．给定下列命题：
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
{x－y|27