第2章 2.2 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知实数x，y＞0，且＋y＝1，则2x＋的最小值是( )
A．6 B．3＋2
C．2＋3 D．1＋
【解析】 方法一：由＋y＝1得y＝1－＝.因为x＞0，y＞0，所以x－1＞0，所以2x＋＝2x＋＝2x＋＝2x＋1＋＝2(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2x＋的最小值是3＋2.
方法二：因为x＞0，y＞0，所以2x＋＝·＝2＋2xy＋＋1≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时，等号成立，所以2x＋的最小值是3＋2.故选B.
2．设a＞0，b＞0，a＋4b＝1，则使不等式t≤恒成立的实数t的取值范围是( )
A．t≤8 B．t≥8
C．t≤9 D．t≥9
【解析】 因为a＞0，b＞0，所以t≤等价于t≤＋，只需t≤min，而＋＝·(a＋4b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当即a＝2b＝时等号成立．所以t≤9.故选C.
3．(多选)有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是( )
A．若x<0，则x＋≤－2
B．若x∈R，则≥2
C．若x∈R且x≠0，则≥2
D．若a＞1，则(1＋a)≥4
【解析】 若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时取等号，A正确；若x∈R，则＝＝＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，B正确；当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，结合选项A，x∈R且x≠0时，则≥2，C正确；若a＞0，则(1＋a)＝2＋a＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号，但a>1，所以等号取不到，D错误．故选ABC.
4．已知x≥，则y＝的最小值是 1 .
【解析】 ∵x≥，∴2x－4≥1>0，y＝＝＋＝＋≥2＝1.当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．
5．已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值．
【解析】 因为x>0，y>0，x＋8y＝xy，
所以＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时等号成立．
所以x＋2y的最小值为18.
B组·综合运用
6．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计)，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 10 h.
【解析】 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了＝小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得＋≥2＝10，当且仅当＝，即v＝80 km/h时等号成立，故最少需要10小时．
7．某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】 (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为·(元)，
∴2023年该产品的利润
y＝x·－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，
即m＝3时，ymax＝21.
故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
C组·拓展提升
8．已知正实数x，y满足x＋y＝4.
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由；
(2)求证：＋≥，并说明等号成立的条件．
【解析】 (1)不存在．
因为正实数x，y满足x＋y＝4，
所以4＝x＋y≥2，所以xy≤4.
当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
故不存在正实数x，y，使得xy＝5.
(2)由x＋y＝4得(x＋1)＋(y＋2)＝7，
又因为x，y都是正实数，
所以＋
＝[(x＋1)＋(y＋2)]·
＝
≥＝，
当且仅当＝时，等号成立．
又因为x＋y＝4，所以x＝，y＝时等号成立．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
题型探究 提技能
角度1 构造法求最值
题型一
基本不等式的变形应用
１
[方法总结1]
构造法求最值就是将已知数学表达式变形，构造出和或积为定值的形式．
1
１
角度2 巧用“1”的代换求最值
2
[方法总结2]
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
2
若x>0，y>0，xy＝9x＋y，求x＋y的最小值．
即x＋y的最小值为16.
题型二
利用基本不等式求参数范围
3
[方法总结3]
恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
所以m的最大值为9.
3
4.如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
题型三
基本不等式的实际应用
(1)现有可围36 m长网的材料，问每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值
(2)要使每间虎笼面积为24 m2，问每间虎笼的长、宽各设计为多少
已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值
时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
4
[方法总结4]
应用基本不等式解决实际问题的思路
1．先认真审题，设出变量，将实际问题抽象成数学问题；
2．建立相应的关系式，利用基本不等式求解；
3．根据实际背景写出答案．
【解析】 (1)设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
(2)设每间虎笼长x m，宽y m，
由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
4
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．
5
8
随堂检测 重反馈
A．6 B．8
C．9 D．3
3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为_______元．
1 760
