第2章 2.3 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4
C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4
【解析】 由Δ＝a2－4×4≤0可得－4≤a≤4.故选A.
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
【解析】 易求A＝{x|－1≤x≤1}，集合B＝{x|x(x－2)≤0且x≠0}＝{x|03．不等式≥1的解集是( )
A. B．
C. D．
【解析】 不等式≥1，移项得：－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x<2，则原不等式的解集为 .故选B.
4．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．－C．－2【解析】 令y＝x2＋(m－1)x＋m2－2，当x＝1时函数值为y1，当x＝－1时，函数值为y2，则解得05．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式变为－4<0，恒成立；当a－2≠0时，
解得－2∴－26．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝ 4 .
【解析】 不等式>0等价于(x－a)(x＋1)>0，因为不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，所以a＝4.
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0【解析】 依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．因为08．若不等式x2＋2x＋2>|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是 {a|1【解析】 ∵x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，∴当x＝－1时，x2＋2x＋2有最小值，最小值为1，由不等式x2＋2x＋2>|a－2|对于一切实数x均成立，得|a－2|<1，解得19．设函数y＝ax2＋(b－1)x＋2.
(1)若不等式y<0的解集为{x|1(2)若当x＝－1时y＝5，且存在x∈R，使y<1成立，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为y＝ax2＋(b－1)x＋2<0的解集为{x|1所以1,2是方程ax2＋(b－1)x＋2＝0的两根．
所以解得a＝1，b＝－2.
(2)因为当x＝－1时y＝5，所以a－b＝2，
因为存在x∈R，y＝ax2＋(b－1)x＋2<1成立，
即存在x∈R，ax2＋(a－3)x＋1<0成立，
当a＝0时，x>，成立；
当a<0时，函数y＝ax2＋(a－3)x＋1图象开口向下，成立；
当a>0时，Δ＝(a－3)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a>9或a<1，此时，a>9或0综上，实数a的取值范围为{a|a>9或a<1}．
10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象？
【解析】 由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，
这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意知刹车距离略超过12 m，
由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．
B组·综合运用
11．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C． D．{x|x<－2或x>2}
【解析】 ∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，∴x≠－2，∴不等式的解集为{x|x≠－2}．故选A.
12．(多选)下列结论错误的是( )
A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
B．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
C．若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－
D．不等式>1的解集为{x|x<1}
【解析】 当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为 ，故A错；当a＝0，b≠0时，不等式bx＋c≤0在R上不能恒成立，舍去．当a＝b＝0且c≤0时也恒成立，故B错；当a＝0时，不等式为x－1≤0，此时解集不是R，舍去；当a≠0时，要使解集为R，需解得a≤－，故C对；不等式可化为>0，即<0，即x(x－1)<0，解得{x|013．(多选)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜ D．a≥0
【解析】 关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，对x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.A选项“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充要条件；B选项“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的必要不充分条件；C选项“0＜a＜”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充分不必要条件；D选项“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”必要不充分条件．故选BD.
14．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是 {t|3≤t≤5} .
【解析】 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
C组·拓展提升
15．已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝，其中a≠1.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B A的实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝2时，A＝{x|2＜x＜7}，
B＝{x|4＜x＜5}，
所以A∩B＝{x|4＜x＜5}．
(2)因为B＝{x|2a＜x＜a2＋1}，
当a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
要使B A，必须此时a＝－1；
当a＝时，A＝ ，B＝，不满足B A，舍去．
当a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，要使B A，
则解得1＜a≤3.
综上可得：a的取值范围是{a|1＜a≤3或a＝－1}．
16．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，随着冬奥会的举办，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情高涨．盛会的举行，不仅带动冰雪活动，更推动了冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)，其中C(x)与x之间的关系为C(x)＝
通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．若将产品单价定为400元．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)当0＜x＜60且x∈N*时，
L＝40x－x2－20x－200＝－x2＋20x－200；
当x≥60且x∈N*时，
L＝40x－50x－＋1 980－200＝1 780－10x－.
故L＝
(2)当0＜x＜60且x∈N*时，L＝－(x－40)2＋200，
当x＝40时，Lmax＝200；
当x≥60且x∈N*时，
L＝1 760－10≤1 760－10×2＝360，
当且仅当x－2＝，即x＝72时，等号成立，Lmax＝360，
又因为360＞200.
故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
题型探究 提技能
1.解下列不等式：
题型一
解简单的分式不等式
１
[方法总结1]
分式不等式的解法
1．利用“两数相除同号得正异号得负”和“两数相乘同号得正异号得负”把比较简单的分式不等式，直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
１
解下列不等式：
解得x≤－1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－12.已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
题型二
一元二次方程根的分布
2
[方法总结2]
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题得解法
1．把问题转化为两根积与两根和的表达式，利用韦达定理得到系数的关系式，再进一步求解；
2．结合函数图象，利用根的判别式和特殊自变量函数值的正负构造不等式组来解决．
因为两根均大于1，所以x1－1>0，x2－1>0，
解得m≥25，∴实数m的取值范围是{m|m≥25}．
2
要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是________________________.
【解析】 方法一：设两根为x1>1，x2<1，则x1－1>0，x2－1<0，
方法二：由题意得12＋(a2－1)＋a－2<0，即a2＋a－2<0，解得－2{a|－23.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围． 讨论二次项系数a2－1是否为0
【解析】 当a2－1＝0时，a＝±1，
若a＝1，则原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
若a＝－1，则原不等式可化为2x－1<0不是恒成立，所以a＝－1舍去；
题型三
一元二次不等式恒成立问题
当a2－1≠0时，因为(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，
3
当x＞0时，不等式x2＋mx＋9＞0恒成立，求实数m的取值范围．
∴－m<6，解得m>－6，所以实数m的取值范围是{m|m>－6}．
4.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
题型四
一元二次不等式的实际应用
4
[方法总结3]
求解一元二次不等式应用问题的步骤
【解析】 设税率调低后“税收总收入”为y元．
依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0∴x的范围是{x|04
化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9，
又∵x≥0，∴x≥45.
∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.
随堂检测 重反馈
{x|23．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是______________________.
{k|－34．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为______元．
4