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第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第2课时 函数的概念(二)
教材梳理 明要点
生活中人们通过化妆使自己看起来更漂亮，也更自信．犯罪分子也利用化妆躲避警察和人民的追捕．但是一个人的样貌无论如何改变，他的DNA是改变不了的．于是在特殊情况下，通过检测DNA来确定是否是同一个人．在数学中，如何判断两个函数是否是同一个函数呢？
?情境导入
[提示]
定义域相同，对应关系也相同的函数就是同一函数．
知识点一 区间及有关概念
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a
?新知初探
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ______________
{x|a＜x＜b} 开区间 ______________
{x|a≤x＜b} 半闭半开区间 ______________
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ______________
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 ___________ ____________ ____________ ___________ ___________
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
知识点二 同一函数
前提条件 __________相同
____________完全一致
结论 这两个函数是同一函数
定义域
对应关系
[知识点反思]
1．区间只能表示连续的数集，“开”不包含端点，“闭”包含端点；用数轴表示区间时，要特别注意实心点包含端点与空心点不包含端点的区别；区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；
2．函数有定义域、对应关系和值域三要素，由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系．即使定义域和值域相同的函数，也不一定是同一函数．
知识点三 常见函数的定义域和值域
a>0
a<0
1．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( )
A．{－2,0,4} B．{－2,0,2,4}
?预习自测
【答案】 A
2．函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．[0,1] D．[1,5)
【解析】 由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，y＝－4＋1＝－3；当x＝0时，ymax＝1，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．故选B.
题型探究 提技能
1.(1)下列各组函数：
题型一
同一函数的判断
③f(x)＝(x－1)2，g(t)＝t2－2t＋1；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一函数的是___________(填序号)．
③⑤
１
[方法总结1]
判断两个函数为同一函数应注意的三点
1．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数；
2．函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的；
3．在化简解析式时，必须是等价变形．
【解析】 (1)①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③虽然表示自变量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数．
１
f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
2.(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为
________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为________________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为______________.
题型二
复合函数、抽象函数的定义域
2
(－1,5)
(0,6)
[方法总结2]
函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
1．若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出；
2．若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
【分析】 (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
(2)∵－1(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，由－12
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
【解析】 (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
3.求下列函数的值域：
题型三
求函数的值域
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
3
[方法总结3]
求函数值域常用的5种方法
1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
2．配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
3．图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域；
4．换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域；
5．分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域．
(2)(配方法、图象法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，
如图所示，∵x∈[1,5)，∴函数y的值域为[2,11)．
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．
3
求下列函数的值域：
【解析】 (1)由y＝－x2－2x＋3得y＝－(x＋1)2＋4，
∵－3≤x≤0，
∴当x＝－1时，ymax＝4，当x＝－3时，ymin＝0，
∴y＝－x2－2x＋3，－3≤x≤0的值域为[0,4]．
随堂检测 重反馈
1．区间[5,8)表示的集合是( )
A．{x|x≤5或x>8} B．{x|5C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}
【答案】 C
2．函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为( )
A．(5,9) B．[5,9]
C．{5,7,9} D．{5,6,7,8,9}
【解析】 当2≤x≤4且x∈N*时，x＝2,3,4.所以函数值域为{5,7,9}．故选C.
3．(多选)下列式子表示同一个函数的是( )
4．已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为________________.
【解析】 由题意得－2≤x＋1≤3，∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
[－3,2]第3章 3.1 3.1.1 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(0,1] D．(1，＋∞)
【解析】 要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－22．已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是( )
A. B．
C. D．(0，＋∞)
【解析】 ∵x2＋2≥2，∴0<≤，∴f(x)的值域为.故选C.
3．(多选)下列函数中，值域为[0,4]的是( )
A．f(x)＝x－1，x∈[1,5]
B．f(x)＝－x2＋4
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋－2(x＞0)
【解析】 x∈[1,5]时，x－1∈[0,4]，所以函数f(x)＝x－1，x∈[1,5]的值域是[0,4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是(－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0,4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞)，故D错误．故选AC.
4．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝x＋，g(x)＝
【解析】 对于A选项，函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于B选项，函数f(x)＝x－1的定义域为R，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于C选项，函数f(x)＝与函数g(x)＝的定义域均为R，且f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于D选项，函数f(x)＝x＋与函数g(x)＝的定义域均为{x|x≠0}，且g(x)＝＝x＋，则f(x)与g(x)是同一函数．故选D.
5．(多选)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1,2]，则其定义域可能是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C. D．[－1,1]
【解析】 由x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1.由x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，则A正确；若b＝2，则0≤a≤1，则B、C正确．故选ABC.
6．函数y＝的定义域用区间表示为 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] .
【解析】 要使函数有意义，需满足即∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
7．下列各对函数中是同一函数的是 ②④ .
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
【解析】 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．
8．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为 [0,1) .
【解析】 由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则－1≤2x－1＜1，解得0≤x＜1，所以f(2x－1)的定义域为[0,1)．
9．求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；
(2)y＝－1；
(3)y＝.
【解析】 (1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10，
∴3≤2x＋1≤11，
所以函数的值域为{y|3≤y≤11}．
(2)∵≥0，∴－1≥－1.
∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(3)y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠.
∴函数y＝的值域为 .
10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2]；
(4)x∈[1,2]．
【解析】 (1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，
∴值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，
当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]．
B组·综合运用
11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个 B．9个
C．8个 D．4个
【解析】 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．故选B.
12．若函数y＝f(x)的定义域是(0,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(x2)的定义域是( )
A．(0,2] B．(0,4]
C．(0,16] D．[－16,0)∪(0,16]
【解析】 要使g(x)有定义，则需满足解得013．(多选)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A．f(x)＝，g(x)＝x－5(x≠－3)
B．f(x)＝x，g(t)＝
C．f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1)
D．f(x)＝与g(x)＝
【解析】 选项A，因为函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}，函数g(x)的定义域为{x|x≠－3}，且f(x)＝＝x－5，所以函数f(x)和函数g(x)是同一函数；选项B，因为g(t)＝＝t(t∈R)，它与函数f(x)＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数f(x)和函数g(t)是同一函数；选项C，f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1)＝x2－1，两个函数的定义域为R，对应关系也一样，所以函数f(x)和函数g(x)是同一函数；选项D，f(x)＝的定义域为{x|x>1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1}，则这两个函数不是同一个函数，则D不选．故选ABC.
14．函数y＝的值域为 .
【解析】 ∵x2＋x＋1＝2＋≥，∴0<≤.∴值域为.
C组·拓展提升
15．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f[g(3)]的值及f[g(x)]．
【解析】 (1)因为f(x)＝，
所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f[g(3)]＝f(8)＝＝－，
f[g(x)]＝＝＝(x≠0)．
16．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，
即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．
故存在实数m＝3满足条件．
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