第3章 3.1 3.1.2 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
【解析】 根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 因为f(1)＝2，所以由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2，所以a肯定小于0，则f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.故选A.
3．f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
【解析】 f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
4．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
【解析】 画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.
5．(多选)已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为[0,1]
B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)的图象经过点
【解析】 f(x)的值域为{0,1}，故A错误；f(x)的定义域为R，故B正确；当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确；因为f＝1，所以f(x)的图象经过点，故D错误．故选BC.
6．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝a，则实数a＝ .
【解析】 依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
7.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 f(x)＝ .
【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.综上，f(x)＝
8．函数y＝的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞) ，值域为 {－2}∪(0，＋∞) .
【解析】 由题目解析式中的信息可知，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；当x<0时，y＝－2，当x>0时，x2>0，y＝x2∈(0，＋∞)．∴函数的值域为{－2}∪(0，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝2＋(－2＜x≤3)．
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
【解析】 (1)当0＜x≤3时，
f(x)＝2＋＝2－，
当－2＜x≤0时，f(x)＝2＋＝x＋2，
综上，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)图象过点(－2,0)，(0,2)，(3,1)，
其中点(－2,0)是空点，(0,2)和(3,1)是实心点，函数f(x)的图象如图所示：
(3)由图得函数f(x)的值域为(0,2]．
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f的值；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
【解析】 (1)因为－3<－1，
所以f(－3)＝－3＋2＝－1.
因为－1<<2，所以f＝2×＝3.
又3>2，所以f＝f(3)＝.
(2)当a≤－1时，由f(a)＝2，
得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1
当a≥2时，由f(a)＝2，
得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．
综上所述，a的值为1或2.
B组·综合运用
11．设函数f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C． D．18
【解析】 ∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，∴f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，∴f＝f，
又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f＝1－2＝1－＝，故选A.
12．已知f(x)＝若f(a)＝10，则a＝( )
A．－3或3 B．3或5
C．－3或5 D．3
【解析】 由题意，当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>0，f(a)＝2a＝10，解得a＝5；综上，a＝－3或a＝5，故选C.
13．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)＜1的解集为(－1,1)
【解析】 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍)．当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍)，故C正确；当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选BC.
14．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是 {x|x≤1} .
【解析】 当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，∴0≤x≤1；当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
C组·拓展提升
15．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x(1≤x≤30，x∈N＋)天的销售价格(单位：元/件)为f(x)＝第x天的销售量(单位：件)为g(x)＝a－x(a为常数)，且在第10天该商品的销售收入为600元(销售收入＝销售价格×销售量)．
(1)求a的值，并求第15天该商品的销售收入；
(2)求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值．
【解析】 (1)当x＝10时，由f(10)·g(10)＝(20＋10)(a－10)＝600，解得a＝30.
从而可得f(15)g(15)＝25×15＝375(元)，
即第15天该商品的销售收入为375元．
(2)由题意可知
y＝
即y＝
当1≤x≤10时，y＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625，
故当x＝5时y取最大值，ymax＝625，
当10＜x≤30时，y＜102－70×10＋1 200＝600，
故当x＝5时，该商品日销售收入最大，最大值为625元．
16．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
【解析】 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图1.
由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图2，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图2知，φ(x)的定义域为R，因为φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
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第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
教材梳理 明要点
国家电网是按不同的时间段来定电价的；居民用水是按用水量的多少阶梯收费的．电价与时间的关系，水价与用水量的关系是函数关系吗？如何表示呢？
?情境导入
知识点 分段函数
?新知初探
分段函数是一个函数，而不是几个函数；定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
1．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )
?预习自测
【解析】 结合分段函数的定义可知A、D是分段函数，B、C中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选AD.
－3
题型探究 提技能
(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
题型一
分段函数的求值问题
１
[方法总结1]
求分段函数函数值的方法
1．先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
2．然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
【解析】 (1)f(－4)＝－4＋2＝－2，f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0.
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；综上可知，a＝5.
１
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，
根据绝对值的意义去掉绝对值符号，即可将函数转化为分段函数
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
题型二
分段函数的图象及应用
2
[方法总结2]
分段函数图象的画法
1．整段作图分段取：先不考虑定义域的限制，用虚线分别作出各段图象，再用实线保留定义域内的图象；
2．端点实虚要明确：一定要明确区间端点是否包含在内，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
【分析】 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
(2)函数f(x)的图象如右图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
2
(1)画出函数的图象；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
【解析】 (1)函数图象如右图所示．
(2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，
当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，
3.某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
题型三
分段函数的应用问题
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
3
[方法总结3]
利用分段函数求解实际应用题的策略
1．首要条件：把文字语言转换为数学语言；
2．解题关键：建立恰当的分段函数模型；
3．思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
【解析】 (1)当0≤x≤100时，设函数关系式为y＝kx.
将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x＞100时，设函数关系式为y＝ax＋b.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，因为0.65×100＝65＜105，故x＞100，所以105＝0.8x－15，x＝150.
即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．
3
(1)求出2023年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)
(2)2023年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】 (1)由题意可知，销售x(千部)手机获得的销售额为0.6× 1 000x＝600x(万元)，
当0(2)当0当x＝25时，W(x)max＝－6 250＋12 500－250＝6 000(万元)，
综上所述，当x＝100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是 6 800(万元)．
随堂检测 重反馈
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
【解析】 作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}，故选D.
4.某人根据经验绘制了2023年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月31日大约卖出了________千克西红柿．(结果保留整数)
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