第3章 3.2 3.2.1 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
【解析】 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．f(x)＝10－2x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝－
【解析】 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝10－2x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
3．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)
C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
【解析】 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．故选C.
4．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)【解析】 A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．故选D.
5．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【解析】 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故选C.
6．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是 (－∞，1)和(1，＋∞) .
【解析】 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
7．函数f(x)＝|2x－1|的单调递减区间是 .
【解析】 函数f(x)的图象如图所示，由图象易知函数的单调递减区间为.
8．已知f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为 .
【解析】 由题意得解得1≤x≤2①，因为f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，所以x－2＜1－x，解得x＜ ②.由①②得1≤x＜.所以满足题设条件的x的取值范围为.
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
【解析】 y＝－x2＋2|x|＋3
＝
∴y＝
函数图象如图，
所以函数递增区间是(－∞，－1)和[0,1]；函数递减区间是[－1,0]和(1，＋∞)．
10．判断函数y＝x－，x∈(0，＋∞)的单调性并说明理由．
【解析】 函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
证明：f(x)＝x－，设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)，
又由0＜x1＜x2，∴x1－x2<0,1＋>0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)故函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
B组·综合运用
11．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D.＜0
【解析】 因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，所以C不正确，故选CD.
12．(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上单调递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得013．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递增区间是 (－∞，＋∞) .
【解析】 根据题意，函数f(x)＝则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1为增函数，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x2＋1为增函数，且f(x)＜1，故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，求实数a的取值范围．
【解析】 根据题意，函数
f(x)＝
是R上的减函数，必有≥1，
且a－4<0，且1－(a＋1)＋7≥(a－4)＋5，
解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1,3]．
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2,2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
【解析】 (1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，
所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)(2)由(1)可知，当x∈(－2,2)时，函数f(x)单调递减，
所以由f(－2m＋3)>f(m2)
得解得1所以m的取值范围为(1，)．
16．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
【解析】 (1)在f＝f(x)－f(y)中，
令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为{x|－321世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
新课程标准解读 学科核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 数学抽象
理解单调性的作用. 逻辑推理、数学运算
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的实际意义. 直观想象、数学运算
第1课时 函数的单调性
教材梳理 明要点
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似右图所示的记忆规律．
?情境导入
记忆保持量与时间间隔有什么样的关系呢？
[提示]
随着时间间隔的增大，记忆保持量逐渐减小．
知识点一 增函数与减函数的定义
?新知初探
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 _________________，x1都有f(x1)f(x2)
图示
x1，x2∈D
结论 f(x)在区间D上单调________ f(x)在区间D上单调________
定义 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__________ 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是__________
递增
递减
增函数
减函数
知识点二 函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在__________上单调递增或单调递减，则称函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
区间D
[知识点反思]
函数单调性的定义的等价形式
设 x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么有：
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是( )
?预习自测
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
【解析】 由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，故选C.
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有( )
A．f(x1)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
【解析】 因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.
题型探究 提技能
题型一
用定义法证明函数的单调性
１
[方法总结1]
利用定义证明函数单调性的步骤
1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12．作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；
3．定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
4．结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
【证明】 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1因为－10，x1＋1>0，x2＋1>0，
１
(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上单调递减；
∵x1∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－1]上单调递减．
(2)设x1>x2>－1，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
2.已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间．
题型二
函数的单调性与单调区间
2
[方法总结2]
1．求函数单调区间时，可以用定义法进行判断求解，也可以先画出函数图象，根据图象写出其单调区间；
2．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
如右图．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2)．
2
画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
函数的图象如图中实线部分所示．由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
角度1 解抽象函数不等式
3.(1)已知函数f(x)在区间[－2,2]上单调递增，若f(1－m)＜f(m)，则实
数m的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数
m的取值范围是_________.
题型三
函数单调性的简单应用
3
[方法总结3]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
3
(1)定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则有( )
A．f(－2)＜f(1)＜f(3) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(3)＜f(－2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
(2)函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5(k≠0)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是( )
【解析】 (1)由对任意x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0成立，所以f(x)是R上的增函数，因为－2＜1＜3，所以f(－2)＜f(1)＜f(3)．故选A.
角度2 与分段函数单调性有关的参数问题
4
[方法总结4]
关于分段函数的单调性
1．根据每一段上解析式的类型，分别求出符合单调性的参数的范围；
2．分界点处的函数值比较，如果函数单调递增，在分界点处左侧的函数值小于等于右侧的函数值；如果函数单调递减，在分界点处左侧的函数值大于等于右侧的函数值．
【解析】 根据题意，函数f(x)在x<1时单调递增，即a＋1>0，解得a>－1；
易知，二次函数y＝x2－2x＋4是开口向上且关于x＝1对称的抛物线，所以在x≥1时单调递增；
若满足函数f(x)在R上单调递增，则分段端点处的函数值需满足(a＋1)×1＋1≤12－2×1＋4，如右图所示，所以a＋2≤3，解得a≤1；综上可得a的取值范围是(－1,1]．
4
【解析】 要使f(x)在R上是减函数，
随堂检测 重反馈
1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( )
3．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调递减区间为______________.
【解析】 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为直线x＝1，所以其单调递减区间是[1，＋∞)．
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)【解析】 ∵f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)[1，＋∞)
(－2,1)