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第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
新课程标准解读 学科核心素养
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 数学抽象、直观想象
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 数学抽象、数学运算
第1课时 函数的表示法
教材梳理 明要点
下图中使用数据、条状图、曲线的形式，具体、形象、直观的向群众表达了我国国内生产总值增长情况．我们从生活实际中总结抽象出的函数如何表示呢？
?情境导入
[提示]
函数有三种表示方法：解析法、图象法、列表法．
知识点一 函数的表示法
?新知初探
[知识点反思]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
?预习自测
A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
【解析】 由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选C.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为______；当g[f(x)]＝2时，x＝______.
【解析】 由g(x)对应表，知g(1)＝3，所以f[g(1)]＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，所以f[g(1)]＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，所以f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.所以x＝1.??
1
1
题型探究 提技能
1.某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系y＝f(x)．
题型一
函数的表示法
１
[方法总结1]
用三种表示法表示函数时的注意点
1．解析法必须注明函数的定义域；
2．列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；
3．图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
【解析】 (1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图；
(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．
１
已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用列表法和图象法表示函数y＝f(x)．
【解析】 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
用图象法表示函数y＝f(x)，如右图所示．
2.作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
题型二
与函数图象有关的问题
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
2
[方法总结2]
描点法作函数图象的三个关注点
1．画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
2．图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
3．要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
【解析】 (1)列表
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象(图1)可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
(3)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图3可得函数的值域是[－1,8]．
2
作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
【解析】 (1)用描点法可以作出函数的图象如图①.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②.
角度1 待定系数法求解析式
3.(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的解析式为
设出函数解析式，求出参数即可
____________________________________________.
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为____________________.
题型三
求函数解析式
f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6
f(x)＝x2＋1
角度2 换元法(或配凑法)求解析式
已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝x2＋x(x≠0) D．f(x)＝x2＋1(x≠0)
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为__________________.
f(x)＝x2－4x＋3
(2)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二(配凑法)：因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
角度3 方程组法求函数解析式
3
[方法总结3]
函数解析式的求法
1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
2．换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
4．配凑法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，将g(x)视为一个整体，在函数解析式右端含x部分凑成含g(x)代数式形式，用x分别代替g(x)，从而得到f(x)解析式，此时注意g(x)范围即f(x)的定义域，此法多用于较简单解析式，这类问题用换元法也可．
3
(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式；
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
随堂检测 重反馈
1．下表给出函数y＝f(x)，则f[f(1)]等于( )
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
【解析】 由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f[f(1)]＝f(4)＝2.故选B.
2.如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝( )
A．0 B．2
C．4 D．6
【解析】 由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.故选C.
3．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝____________.
【解析】 方法一(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
方法二(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1.
4．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为__________________.
3x－1第3章 3.1 3.1.2 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1
【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1.故选D.
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
A.1 B．2
C．3 D．不存在
【解析】 ∵2<3<4，∴由题中表格可知f(3)＝3.故选C.
3.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]＝( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 利用图象可知g(2)＝1，所以f[g(2)]＝f(1)＝2.故选B.
4．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
【解析】 ∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，令x＋2＝t，∴x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，∴g(x)＝2x－1.故选B.
5．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
【解析】 因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.故选A.
6.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝ ，f[f(2)]＝ 4 .
【解析】 由题图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4.故f[f(2)]＝4.
7．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝ 3x－2 .
【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题设有解得故f(x)＝3x－2.
8．已知f＝2x＋3，则f(6)的值为 31 .
【解析】 方法一：令－1＝6，解得x＝14，
∴f(6)＝f＝2×14＋3＝31.
方法二：令－1＝t，x＝2t＋2，∴f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.∴f(6)＝4×6＋7＝31.
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
【解析】 (1)函数y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由，(2,2)，，(4,3)，五个孤立的点构成，如图1.
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图2所示．
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)在[－1,1]上的最大值．
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
即解得a＝1，b＝－1，
又由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)知，函数f(x)＝x2－x＋1的图象开口方向朝上，以x＝为对称轴的抛物线，故在区间[－1,1]上，当x＝－1时，函数取最大值f(－1)＝3.
B组·综合运用
11．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
【解析】 由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.
12．若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝( )
A. B．
C． D．－1
【解析】 f＝＝，∴f(x)＝，故选B.
13．已知f(＋1)＝，求f(x)．
【解析】 令＋1＝t则t≥1，x＝(t－1)2，故f(t)＝(t≥1)，因为t－1≠0，解得t≠1，故t＞1，故f(x)＝(x＞1)．
14．已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x，求f(x)．
【解析】 因为2f(x)－f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，
得2f(－x)－f(x)＝－3x，②
联立①②解得f(x)＝x.
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
【解析】 因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，
所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝，
所以f(－3)＝＝6，
所以f[f(－3)]＝f(6)＝＝.
16．在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1,2)，________.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,4]上的值域．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】 (1)选条件①，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c.
因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1，
所以ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1，
所以解得
因为函数f(x)的图象经过点(1,2)，
所以f(1)＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3.
故f(x)＝x2－2x＋3.
选条件②，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋1)＝f(1－x)知函数f(x)对称轴为x＝1，
又函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－.
由题意可得解得
故f(x)＝x2－2x＋3.
选条件③，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(0)＝3，所以c＝3.
因为f(x)≥2＝f(1)恒成立，
∴函数f(x)图象对称轴为x＝1，
所以解得
故f(x)＝x2－2x＋3.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11.
所以f(x)在[－1,4]上的值域为[2,11]．
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