第三章 3.2 3.2.2 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(－2)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0.故选B.
2．若函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．故选A．
3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上( )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与在[－3，－1]上一致，∴f(x)在区间[1,3]上单调递增，又f(x)在区间[－3，－1]上有最大值5，∴f(x)在区间[1,3]上有最小值－5.故选A．
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，则下列结论一定成立的是( )
A． x∈R，f(x)>f(－x)
B． x0∈R，f(x0)>f(－x0)
C． x∈R，f(x)f(－x)≥0
D． x0∈R，f(x0)f(－x0)<0
【解析】 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，故A、B错误；f(x)f(－x)＝f2(x)≥0，故C正确，D错误．故选C．
5．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
【解析】 方法一：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝2－，所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二：(直接法)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋，所以当x>0时，f(x)有最大值.故选B.
6. (多选)一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．这个函数有三个单调递增区间
B．这个函数有两个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
【解析】根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，在其定义域内的最小值不是－7.故选AC．
7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是 f(－2)
【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)8．函数f(x)在R上为偶函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝ ＋1 .
【解析】 ∵f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝＋1，即当x<0时，f(x)＝＋1.
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
【解析】 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，
得f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为 .
10．已知函数f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
【解析】 F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
B组·综合运用
11．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 023)＝k，则f(－2 023)等于( )
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
【解析】 方法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，从而f(－2 023)＝g(－2 023)＋1＝－g(2 023)＋1.又因为f(2 023)＝k，所以g(2 023)＝k－1，从而f(－2 023)＝－(k－1)＋1＝2－k.
方法二：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，所以f(－2 023)＋f(2 023)＝2.又因为f(2 023)＝k，所以f(－2 023)＝2－k.故选D.
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
【解析】 ∵f(x)为奇函数，<0，∴<0，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0，<0.∵奇函数的图象关于原点对称，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减且f(－1)＝0，∴当x<－1时，f(x)>0，<0.综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选C．
13．函数f(x)＝的图象大致为( )
【解析】 f(x)的定义域为R，∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除B，D，又因为f(x)≥0，故选A．
14．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是 (－1,3) .
【解析】 ∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2)．∵|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|<2，即－2C组·拓展提升
15．已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则( )
A．f(25)B．f(25)C．f(－1)D．f(－1)【解析】 ∵f(x＋8)＝f(x)，∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，同理f(80)＝f(0)，又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，∴f(x)在区间[－2,2]上单调递增，∴f(－1)16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－2.试求函数f(x)在[－3,3]上的值域．
【解析】 任取x1，x2，且－3≤x1则x2－x1>0，f(x2－x1)<0，
∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，即f(x2)∴f(x)在[－3,3]上单调递减．
又f(1)＝－2，f(2)＝f(1)＋f(1)＝－4，
∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝－2－4＝－6，又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，又f(x)在[－3,3]上单调递减，
∴函数f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．
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第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 函数的奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
题型探究 提技能
1.(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
题型一
利用奇偶性求函数的解析式
１
[方法总结1]
利用函数奇偶性求解析式的方法
1．“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
2．要利用已知区间的解析式进行代入；
3.利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；
4．允许自变量x取值0的奇函数f(x)一定有f(0)＝0.
【解析】 (1)设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
１
(1)设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＋2g(x)＝2x2＋x－2，则f(x)＝______，g(x)＝____________.
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
x
x2－1
【解析】 (1)∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
由f(x)＋2g(x)＝2x2＋x－2, ①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋2g(－x)＝2(－x)2＋(－x)－2，
即－f(x)＋2g(x)＝2x2－x－2, ②
①②联立，得f(x)＝x，g(x)＝x2－1.
(2)设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
2.已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)C．f(0)题型二
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
2
[方法总结2]
比较大小的求解策略
1．若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
2．若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．
【解析】 ∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)2
设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A．
3.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)题型三
函数奇偶性与单调性的综合应用
3
[方法总结3]
利用函数的奇偶性、单调性解不等式
1．奇函数在连续的区间上，由f(a)与f(b)的大小关系，利用单调性可直接得到a与b的大小的不等式；
2．偶函数在连续的区间上，由f(a)与f(b)的关系，转化为f(|a|)与f(|b|)，进一步得出|a|，|b|的大小的不等式．
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
【解析】 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
3
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－33}．
{x|－33}
随堂检测 重反馈
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 ∵f(x)为奇函数，f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.故选A．
2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
【解析】 当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.故选C．
4．已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________________.
【解析】 由题意可知|a|<3，解得－3(－3,3)