第三章 3.2 3.2.1 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
【解析】 由图象可知，f(0)最大，f最小．故选B.
2．函数y＝x＋的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[，＋∞)
【解析】 函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f(2)＝2，其值域为[2，＋∞)．故选B.
3．(多选)函数y＝(x≠1)的定义域为[2,5)，下列说法正确的是( )
A．最小值为 B．最大值为4
C．无最大值 D．无最小值
【解析】 函数y＝＝1＋在[2,5)上是减函数，即在x＝2处取得最大值4，由于x＝5取不到，则最小值取不到．故选BD.
4．若函数y＝2ax－b在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
【解析】 当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a<0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.故选C．
5．(多选)若x∈R且x≠0，f(x)是y＝与y＝x中的较大者，则f(x)( )
A．最大值为1 B．最小值为1
C．最小值为－1 D．无最大值
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝，y＝x的图象，如下图所示，图中实线部分即为f(x)的图象，当x＝－1时，f(x)取得最小值－1，f(x)无最大值，故选CD.
6．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是 1 .
【解析】 函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.
7．已知函数f(x)＝|x2－4x|，x∈[2,5]，则f(x)的最小值是 0 ，最大值是 5 .
【解析】 因为函数f(x)＝|x2－4x|＝对应图象如右图，故f(x)的最小值为f(4)＝0，f(x)的最大值为f(5)＝5.
8．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2) ≤ f(x2－4x＋6)(填“≥”“≤”或“＝”)．
【解析】 ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
9．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
【解析】 (1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以f(x)在上单调递增，
所以f＝，f(2)＝2，
即－2＝，－＝2，所以a＝.
10．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1,3](a，b∈R且a，b为常数)．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；
(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值．
【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1,3]，
函数的对称轴为x＝－b，
当－b＞2即b＜－2时，f(x)max＝f(1)＝2b＋2，
当－b≤2即b≥－2时，f(x)max＝f(3)＝6b＋10，
综上，f(x)max＝
(2)当a＞0，b＝－1时，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1,3]，
函数的对称轴为x＝＞0，当≤1，即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝－4，解得a＝－3，不合题意舍去，当≥3，即0＜a≤时，
f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4，解得a＝成立，
当1＜＜3，即＜a＜1时，
f(x)min＝f＝1－＝－4，
解得a＝，不合题意舍去，
故a的值为.
B组·综合运用
11．函数f(x)＝的最大值是( )
A． B．
C． D．
【解析】 f(x)＝，当分母x2－x＋1取最小值时，f(x)取到最大值，x2－x＋1＝2＋≥，所以f(x)≤.即f(x)的最大值为.故选C．
12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
【解析】 设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为(15－a)辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，其对称轴a＝10.2，∵a∈N，∴a＝10时可求ymax＝45.6万元．故选B.
13．(多选)关于函数f(x)＝的结论，下列说法正确的有( )
A．f(x)的单调增区间是[－1,1]
B．f(x)的单调减区间是[1，＋∞)
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)没有最小值
【解析】 要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误；当x＝－1或x＝3时－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误；令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确．故选AC．
14．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是 (1,3]或{a|1＜a≤3} .
【解析】 画f(x)＝x2－6x＋8的图象，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
【解析】 f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞)上是增函数，在上是减函数，
因此f(x)的单调增区间为，[0，＋∞)，单调减区间为.
(2)∵f＝，f＝，
∴f(x)在区间上的最大值为.
16．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
【解析】 f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．
当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，
函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；
当－1
当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
综上所述，f(x)min＝
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第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
教材梳理 明要点
中国最高的山峰——珠穆朗玛峰，最长的河流——长江，最长的城墙——万里长城，都是由专业人员测量后得出的．珠穆朗玛峰海拔8 848米，最长的河流——长江全长6 363千米，最长的城墙——万里长城历代遗迹总长21 196.18千米．
我们如何得出函数的最大(小)值呢？
?情境导入
[提示]
利用函数图象或函数单调性得出函数的最大(小)值．
知识点 函数的最大值和最小值
?新知初探
最大值 最小值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足
条件 (1) x∈I，都有____________；
(2) x0∈I，使得______________ (3) x∈I，都有____________；
(4) x0∈I，使得_____________
结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称m为函数y＝f(x)的最小值
几何意义 函数图象最高点纵坐标 函数图象最低点纵坐标
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥m
f(x0)＝m
[知识点反思]
研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
1．函数y＝－|x|在R上( )
A．有最大值0，无最小值 B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值 D．以上都不对
【解析】 函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．故选A．
?预习自测
2．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值( )
A．是f(0) B．是f(3)
C．是0 D．不存在
【解析】 ∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D.
题型探究 提技能
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
题型一
利用图象求函数的最值(值域)
１
[方法总结1]
利用图象法求函数最值的一般步骤是：
【解析】 由题意知，当x∈[－1,2]时，
f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；
当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分．所以函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
１
【解析】 作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
先判断函数的单调性，再求最值
题型二
利用单调性求最值
2
[方法总结2]
函数的最大(小)值与单调性的关系
1．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
【解析】 (1)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
证明如下：任取－1因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0 f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
2
(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减，
3.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
题型三
实际生活中的最值问题
3
[方法总结3]
利用二次函数的图象和性质可以解决二次函数在给定区间的最值问题．解应用题的步骤是①审清题意；②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；③总结结论，回归题意．
【解析】 (1)由题意得，总成本为(20 000＋100x)元，
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.
即月产量为300台时，利润最大，最大利润为25 000元．
3
将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
【解析】 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元．
随堂检测 重反馈
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0，2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
【解析】 由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【解析】 ∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为______.
【解析】 函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，函数f(x)单调递增，因为函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．因为当x＝0时，f(0)＝a＝－2，所以f(x)＝－x2＋4x－2，所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
1