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第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
新课程标准解读 学科核心素养
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 数学抽象
体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 数学抽象、数学建模
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 数学抽象、数学运算
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
教材梳理 明要点
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图．医生会根据心电图图形的整体形态来给出心脏健康状况的诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．
?情境导入
如果测量时的每一个时间t构成的集合记为M，测量的每一个指标值v构成的集合记为N，那么集合M中的元素t与集合N中的元素v有什么关系呢？
[提示]
集合M中的任意一个元素t，在集合N中都有唯一的元素v与之对应．
知识点 函数的概念
?新知初探
函数概念 一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的_____ ___________，按照某种________的对应关系f，在集合B中都有____________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
符号表示 y＝f(x)，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的______________叫做函数的定义域
值域 与x的值相对应的y值叫做__________，函数值的集合___________叫做函数的值域
实数集
任意
一个数x
确定
唯一确定
取值范围A
函数值
{f(x)|x∈A}
[知识点反思]
1．函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
2．y＝f(x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，除f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
?预习自测
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y －1 0 1
A．{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}
【解析】 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．故选D.
【解析】 由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
{x|x<4}
题型探究 提技能
1.(1)下列对应关系式中是从集合A到集合B的函数的是( )
题型一
函数概念的理解
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图形，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
１
[方法总结1]
判断一个对应关系是否是函数的方法
依据函数定义中的任意性、存在性、唯一性逐一验证判断，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．故选C.
１
(多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是( )
A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温
B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)
C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号
D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税
【解析】 ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误．故选ABD.
2.求下列函数的定义域：
题型二
求函数的定义域
2
[方法总结2]
求函数的定义域的方法：
如果仅有函数解析式而没有特别说明，则函数定义域就是使解析式有意义的自变量的集合，可依据①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0等限制条件列出不等式组解得；如果是实际问题，还需要考虑自变量的实际含义的限制．
【解析】 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
故原函数的定义域为{x|x<－2或－2故原函数的定义域为{x|x<1或12
A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x≤0}
C．{x|x>－1} D．{x|－1(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
题型三
求函数值
3
[方法总结3]
求函数值的方法
f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．
特别要注意替换x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义．
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
3
(1)求f(3)，g(3)的值；
(2)求f[g(2)]的值．
随堂检测 重反馈
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}；图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值；②符合函数定义，定义域为M，值域也恰为N，故只有一个表示集合M到集合N的函数关系，故选B.
2．对于函数f：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( )
A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
【解析】 函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值．故选C.
4．下列对应关系是从集合P到集合Q上的函数的是_______.
①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．
②
【解析】 对①，0∈P，但|0| Q，所以对应关系f不能构成集合P上的函数．对②， x∈P，都有且只有唯一元素y在集合Q中与之对应，所以能构成集合P上的函数．对③，P中的元素不是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系．故填②.第3章 3.1 3.1.1 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．(多选)下列各图中，可能表示函数y＝f(x)的图象的是( )
【解析】 结合函数的定义可知，A、C、D均可能，只有B是有的一个x对应两个y，不满足函数的定义，故选ACD.
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝1
【解析】 由f(1)＝－2得a＋b＝－2，由f(－1)＝0得－a＋b＝0，∴a＝－1，b＝－1，故选B.
3．已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．至多有一个
【解析】 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，当a是定义域内的值时，有一个交点，当a不是定义域内的值时，直线x＝a与函数图象没有交点，故选D.
4．函数y＝－x2＋2x的定义域为{－1,0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－3,0,1} B．{－3,0,1,3}
C．{y|－3≤y≤0} D．{y|－3≤y≤1}
【解析】 由对应关系y＝－x2＋2x得：当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2×(－1)＝－3；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－12＋2×1＝1；当x＝2时，y＝－22＋2×2＝0；当x＝3时，y＝－32＋2×3＝－3.所以值域为{－3,0,1}．故选A.
5．函数f(x)＝的定义域为( )
A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x>2，且x≠3} D．{x|x≥2，且x≠3}
【解析】 由题意可知∴
∴x>2，且x≠3，故选C.
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为 {x|0＜x＜1或1＜x≤2} .
【解析】 观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为{x|0＜x＜1或1＜x≤2}，即为定义域．
7．已知函数f(x)＝，f(a)＝3，则实数a＝ 12 .
【解析】 f(a)＝＝3，解得a＝12.
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为 {－1,1,3,5,7} .
【解析】 ∵x＝1,2,3,4,5，且f(x)＝2x－3，∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
9．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，求此函数的定义域．
【解析】 ∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，
∴x<5.又两边之和大于第三边，
∴2x>10－2x，∴x>，
∴此函数的定义域为.
10．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－4)，f的值．
【解析】 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－5}，
使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}．
(2)f(－4)＝＋＝1－＝.
f＝＋＝－
＝－.
B组·综合运用
11．(多选)下列各式中，是函数的有( )
A．y＝1 B．y＝x2
C．y＝1－x D．y＝＋
【解析】 根据题意，依次分析选项：对于A，y＝1，是常数函数，是函数；对于B，y＝x2，是二次函数，是函数；对于C，y＝1－x，是一次函数，是函数；对于D，y＝＋，有不等式组无解，x的取值范围为空集，不是函数．故选ABC.
12．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋2，且f[f(1)]＝1，那么a的值是( )
A．－ B．－1
C．－或－1 D．或1
【解析】 ∵f(1)＝12＋a－1＋2＝a＋2，∴f[f(1)]＝f(a＋2)＝(a＋2)2＋(a－1)(a＋2)＋2＝2a2＋5a＋4＝1.∴2a2＋5a＋3＝0，即(2a＋3)(a＋1)＝0，∴a＝－或a＝－1，故选C.
13．(多选)下列两个集合间的对应关系中，是A到B的函数的有( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
【解析】 A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．故选AD.
14．一个变量y随另一变量x变化，对应关系是“2倍加1”：
(1)填表.
x … 1 2 3 4 …
y … 3 5 7 9 …
(2)根据表格填空：x＝2α时，y＝ 4α＋1 .
(3)写出解析式：y＝ 2x＋1 .
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝ ，函数g(x)的定义域是 {x|x≥3，且x≠4} .
【解析】 g(x)＝f(x－3)＝＝；解不等式组∴x≥3，且x≠4.
16．给定数集A＝R，B＝{x|x≤0}，方程u2＋2v＝0.
(1)任给u∈A，对应关系f使方程的解v与u对应，判断v＝f(u)是否为函数；
(2)任给v∈B，对应关系g使方程的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．
【解析】 (1)由u∈R，对应关系f使方程的解v与u对应v＝－u2，
每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f(u)是函数．
(2)因为v∈B＝{x|x≤0}，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，
此时存在v，使得2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．
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