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第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
教材梳理 明要点
?情境导入
知识点一 无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是________________.
知识点二 实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
?新知初探
一个确定的实数
[知识点反思]
指数幂的发展
?预习自测
题型探究 提技能
1.计算下列各式：
题型一
无理数指数幂的运算
１
[方法总结1]
在无理数指数幂的运算中，若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
１
题型二
实数指数幂的综合应用
2
[方法总结2]
整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
2
∴(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝(m2＋2)2＝m4＋4m2＋4，∴a2＋a－2＝m4＋4m2＋2.,
随堂检测 重反馈
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( )
A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
【答案】 A
4第四章 4.1 4.1.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．化简[]的结果为( )
A．5 B．
C．－ D．－5
【解析】 原式＝()＝(5)＝5＝5＝.故选B.
2．(eq \r(x·\r(3,x－2)))化成分数指数幂为( )
A．x B．x
C．x D．x
【解析】 原式＝(x·x)＝(x)＝x×＝x.故选B.
3．若3x－2y＝2，则＝( )
A． B．
C．5 D．25
【解析】 ＝52y－3x＝5－2＝.故选B.
4．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)的结果为( )
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
【解析】 原式＝(－6·a－3－1b)÷(4a－4b)
＝－a－4＋4·b＝－b2.故选A．
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A． B．10
C．20 D．100
【解析】 ∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m，
∴m2＝10，∴m＝.故选A．
6．计算：(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0＝ 64 .
【解析】 原式＝(0.33)－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
7．化简eq \r(3,a·\r(a－3))÷(a>0)的结果是 1 .
【解析】 eq \r(3,a·\r(a－3))÷＝eq \r(3,a·a)÷eq \r(a·a)＝÷＝a÷a＝1.
8．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝ 20 .
【解析】 32a－b＝＝＝＝20.
9．计算下列各式：
(1)＋5－2×25－4×0；
(2)0.5＋(0.1)－2＋－3π0＋.
【解析】 (1)原式＝＋2×(52)－(22)×1
＝＋×5－23×1
＝＋－8＝－7.
(2)原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
10．已知函数f(x)＝(a>0，a≠1，a为常数，x∈R)．
(1)若f(m)＝6，求f(－m)的值；
(2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值．
【解析】 (1)∵f(m)＝6，∴＝6，
∴f(－m)＝＝6.
(2)∵f(1)＝3，∴＝3，∴a＋a－1＝6，
∴f(2)＝＝＝17.
∵(a＋a)2＝a＋a－1＋2＝8，
∴a＋a＝2，
∴f＝eq \f(a＋a,2)＝.
B组·综合运用
11．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【解析】 由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.故选D.
12．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．当a<0时(a2)＝a3
B.＝|a|
C．函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是[2，＋∞)
D．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
【解析】 取a＝－2，可验证A不正确；当a<0，n为奇数时，B不正确；y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域应是∪，C不正确；由100a＝5，得102a＝5，又10b＝2，两式相乘得102a＋b＝10，即2a＋b＝1，D正确．故选ABC．
13．(多选)下列各式中一定成立的有( )
A．7＝n7m B．＝
C．＝(x＋y) D．＝
【解析】 A中应为7＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．故选BD.
14．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝ 8 .
【解析】 由根与系数的关系，得α＋β＝－，所以α＋β＝＝(2－2)＝23＝8.
C组·拓展提升
15．已知x＋y＝10，xy＝9，且x【解析】 因为eq \f(x－y,x＋y)＝eq \f( x－y 2, x＋y x－y )
＝eq \f( x＋y －2 xy ,x－y)，①
又因为x＋y＝10，xy＝9，②
所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝102－4×9＝64.
因为x将②③式代入①式得eq \f(x－y,x＋y)＝eq \f(10－2×9,－8)＝－.
16．已知a＞0，且a2x＝＋1，求下列代数式的值：
(1)；
(2).(注：立方和公式a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2))
【解析】 (1)因为a＞0，且a2x＝＋1，
所以a－2x＝＝＝－1，
所以＝
＝＝＝＋1.
(2)因为a＞0，且a2x＝＋1，a－2x＝－1，
所以＝
＝a2x－1＋a－2x＝＋1－1＋－1＝2－1.
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