第三章 3.2 3.2.2 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
【解析】 由函数奇偶性定义可知，A，B，C项为奇函数，D项为偶函数．故选D.
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.故选C．
3．若函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．不能确定
【解析】 ＝1 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，∴其图象的对称轴为y轴．故选B.
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【解析】 ∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．故选B.
5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．1
【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x>0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4.故选A．
6．(多选)下列命题正确的是( )
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数的图象一定通过原点
C．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0
D．若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
【解析】 函数f(x)＝是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f(x)＝是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C、D正确．故选CD.
7.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是 {x|－5≤x<－2或2【解析】 因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集．因为当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|28.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是 [－3，－1)∪(1,3] .
【解析】 因为当09．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，
不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】 (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，
图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
B组·综合运用
11．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
【解析】 因为y＝f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)，故点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．故选C．
12．函数f(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【解析】 若x是有理数，则－x也是有理数，f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数．故选B.
13．(多选)对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是( )
A．若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B．若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)是R上的增函数
D．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)不是R上的减函数
【解析】 A选项，若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)>f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；D选项，因为2>1，f(2)>f(1)，所以f(x)不是R上的减函数，故D正确．故选BD.
14．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为 0 .
【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝ .
【解析】 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，∵f(a)＝1＋h(a)＝，∴h(a)＝－，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝1－＝.
16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
【解析】 (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
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第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 函数的奇偶性
新课程标准解读 学科核心素养
结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 数学抽象
理解奇函数、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用. 直观想象、逻辑推理
第1课时 奇偶性的概念
教材梳理 明要点
函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
?情境导入
[提示]
函数的奇偶性．
知识点 函数的奇偶性
?新知初探
偶函数 奇函数
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
条件 f(－x)＝______ f(－x)＝________
结论 称函数y＝f(x)为偶函数 称函数y＝f(x)为奇函数
定义域特征 关于原点对称
图象特征 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称
f(x)
－f(x)
[知识点反思]
定义域关于原点不对称的函数一定没有奇偶性；若f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集；若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0，图象经过原点；若奇函数f(x)在x＝0处无意义，图象就不经过原点．
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
?预习自测
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值为( )
C．1 D．2
题型探究 提技能
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|.
题型一
函数奇偶性的判断
１
[方法总结1]
判断函数奇偶性的方法
1．定义法：
2．图象法：即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.此法多用在解选择题、填空题中.
【解析】 (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，
所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
∵定义域不关于原点对称，∴f(x)即不是奇函数，也不是偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，
所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
１
判断下列函数的奇偶性：
(2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数．
(3)函数f(x)＝0的定义域为R，关于原点对称，
由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(4)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，∴f(－1)≠f(1)，
∴y＝2x＋1不是偶函数，又f(－1)≠－f(1)，
∴y＝2x＋1不是奇函数，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(5)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)<0的解集.
利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)<0的解集．
题型二
奇偶函数图象的应用
2
[方法总结2]
利用奇偶函数图象对称性及部分图象，可补出另一部分图象．
【解析】 因为函数f(x)是奇函数，
所以函数f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．
根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．
由图象知不等式f(x)<0的解集为{x|－22
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
【解析】 (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
3.(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，
则a＝______，b＝______.
(2)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝______.
题型三
利用函数的奇偶性求值
3
0
7
[方法总结3]
利用奇偶性求值的常见类型
1．求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数值；
2．求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
(2)令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2.又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.,
3
(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(－3)＝________.
－5
－1
【解析】 (1)根据题意，当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(3)＝9－3－1＝5，又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－3)＝－f(3)＝－5.
随堂检测 重反馈
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
【解析】 ∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.故选C．
2．函数f(x)＝x2(x2＋2)的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
【解析】 因为x∈R，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．故选A．
3．(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
【解析】 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.故选CD.
4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是______.
【解析】 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
0
