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第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
教材梳理 明要点
?情境导入
[提示]
都是y＝xα(α是常数)的形式，xα的系数是1；指数α是常数；底数x是自变量．
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是__________，α是________.
?新知初探
y＝xα
自变量
常数
知识点二 幂函数的图象及性质
1．五个幂函数的图象
2．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过(0,0)，(1,1)两点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象过点(1,1)，在区间(0，＋∞)上单调递减，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，且函数在原点无意义．
[知识点反思]
在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．下列所给的函数中是幂函数的为( )
A．y＝2x5 B．y＝x3＋1
C．y＝x－3 D．y＝3x
【解析】 选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式．故选C．
?预习自测
2．已知函数f(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是幂函数，则m的值为( )
A．4 B．3
C．－1 D．－1或4
【解析】 因为f(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是幂函数，所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或－1.故选D.,
题型探究 提技能
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
题型一
幂函数的概念
１
[方法总结1]
幂函数概念的关注点
1．一个必须：必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
2．三条满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
１
有下列函数：
其中，是幂函数的有__________(只填序号)．
④⑤⑥
题型二
幂函数的图象
2
[方法总结2]
解决幂函数图象问题，应依据幂函数性质，结合幂函数的奇偶性得出结论．
2
(1)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．m＞n＞p
B．m＞p＞n
C．n＞p＞m
D．p＞n＞m
二、四
【解析】 (1)由图象知，n＞1,0＜p＜1，m＜0，故n＞p＞m.故选C.
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c
C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
题型三
幂函数性质的应用
3
[方法总结3]
比较幂值大小的2种方法
3
比较下列各组数的大小：
(1)1.10.1,1.20.1；
(2)0.24－0.2,0.25－0.2.
【解析】 (1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，
又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.
角度2 综合应用
(1)求函数f(x)的解析式，并求出它的定义域；
(2)试求满足f(1＋a)＞f(3－a)的实数a的取值范围．
4
[方法总结4]
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
1．充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
2．注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想．
故函数f(x)的定义域为[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增，
4
若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________________.
【解析】 设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2，所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
(2，＋∞)
随堂检测 重反馈
A．0 B．1
C．2 D．3
2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
【解析】 由幂函数图象特点知选B.
3
4．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________.第三章 3.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题意，得∴∴m＋n＝3.故选C．
2．幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x2m－1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为( )
A．1 B．0或2
C．0 D．2
【解析】 因为f(x)是幂函数，所以m2－2m＋1＝1，解得m＝0或2，当m＝0时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数，符合题意，所以m＝2.故选D.
3．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是( )
【解析】 函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象．故选C．
4．(多选)若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则函数f(x)具有的性质是( )
A．在定义域内是减函数
B．图象过点(1,1)
C．是奇函数
D．其定义域是R
【解析】 幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则＝2α，解得α＝－1.故f(x)＝x－1.所以函数在(0，＋∞)和(－∞，0)内都单调递减，函数为奇函数，且函数的图象经过(1,1)点，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选BC．
5．当0
A．h(x)C．g(x)【解析】 特值法．取x＝代入排除A、B、C，可知D正确．故选D.
6．下列幂函数在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－1
【解析】 函数y＝x在区间(0，＋∞)内单调递增，故排除A；函数y＝x2在区间(0，＋∞)内单调递增，故排除B；函数y＝x3在区间(0，＋∞)内单调递增，故排除C；函数y＝x－1＝在区间(0，＋∞)内单调递减，故D满足题意．
7．已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝ －3 .
【解析】 由题意得m2＋3m＋1＝1，∴m2＋3m＝0，∴m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1＝，其图象不过原点，∴m＝－3.
8．已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是 (－∞，0) .
【解析】 因为0<4.1<4.3，而4.1α>4.3α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，故α<0.
9．比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1.
【解析】 (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－<－，所以－1>－1.
10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3(－2＜m＜2，且m∈Z)满足：
①在区间(0，＋∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
【解析】 因为－2＜m＜2，且m∈Z，
所以m＝－1或0或1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足．
当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，∴f(x)＝x3，
因为函数f(x)在区间[0,3]上单调递增，
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
B组·综合运用
11．(多选)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是( )
A．－1 B．1
C． D．3
【解析】 α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．故选BCD.
12．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有( )
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>1
D．若0【解析】 将点(4,2)代入函数f(x)＝xα得：2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.显然f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以A正确；f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B错误；当x>1时，>1，即f(x)>1，所以C正确；当0易知13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是 9 .
【解析】 由题意可知函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，∴2＝4α，∴α＝.∴y＝x.∴当y＝3时，x＝3，∴x＝9.
14．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)【解析】 因为f(x)＝x＝(x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(10－2a)C组·拓展提升
15．已知幂函数f(x)＝(－3m2－2m＋2)x1＋3m在(0，＋∞)上为增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－(2a＋1)x＋a2－1在区间(a,2a－1)上单调递减，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)∵幂函数的解析式为f(x)＝(－3m2－2m＋2)x1＋3m，
∴－3m2－2m＋2＝1，解得m＝－1或m＝.
当m＝－1时，f(x)＝x－2，在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意，舍去；
当m＝时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上为增函数，符合题意，
∴f(x)＝x2.
(2)∵g(x)＝f(x)－(2a＋1)x＋a2－1＝x2－(2a＋1)x＋a2－1在区间(a,2a－1)上单调递减，
又∵函数g(x)的减区间为，
∴(a,2a－1) ，
∴解得1则实数a的取值范围是.
16．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间．
【解析】 (1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，
所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，
所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．由题意及图象可知
h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
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