第四章 4.2 4.2.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝
C．y＝5x＋1 D．y＝52x
【解析】 根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D.
2．已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝( )
A．2 B．
C．0 D．
【解析】 f(－1)＝2－1＝，f[f(－1)]＝f＝3＝.故选B.
3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2017年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕( )
A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷
C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷
【解析】 2023年需退耕8×(1＋10%)6＝8×1.16，故选C．
4．已知函数f(x)＝若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A． B．
C．1 D．2
【解析】 根据题意可得f(－1)＝21＝2，∴f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝，故选A．
5．(多选)函数f(x)是指数函数，则下列等式中正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
【解析】 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．故选ABD.
6．已知函数y＝(a2－1)ax＋b是指数函数，则a＝ ，b＝ 0 .
【解析】 ∵y＝(a2－1)ax＋b是指数函数，∴且b＝0，解得a＝，b＝0.
7．已知函数f(x)满足：对任意实数x1
8．某林场计划第一年造林1 000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林 1 728 公顷．
【解析】 设年份为x，造林面积为y公顷，因为林场计划第一年造林1 000公顷，以后每年比前一年多造林20%，所以y＝1 000×(1＋20%)x－1，故当x＝4时，y＝1 000×(1＋20%)3＝1 728，所以第四年该林场造林1 728公顷．
9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并证明．
【解析】 (1)因为函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数，
所以a2＋a－5＝1且a＞0且a≠1，解得a＝2，
故f(x)＝2x.
(2)F(x)为奇函数，证明如下：
F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x的定义域为R，且对 x∈R，－x∈R，
F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，
故F(x)为奇函数．
10．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)
【解析】 根据题意得：1期到期本利和为：y＝a(1＋r)，
2期到期本利和为：y＝a(1＋r)2，
3期到期本利和为：y＝a(1＋r)3，
所以y＝a(1＋r)x(x∈N*)．
将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入得，
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 118.
所以本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N*)，5期后的本利和约为1 118元．
B组·综合运用
11．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( )
A． 克 B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D． 克
【解析】 设这种放射性元素，每年衰减p，则(1－p)100＝，1－p＝，故1克这种元素，3年后剩余1×(1－p)3＝3＝＝.故选D.
12．夏天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
【解析】 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N＋)，根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.故选C．
13．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是 (1,2) .
【解析】 由题意得014．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a>0，且a≠1)(x∈N*)．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为 元．
【解析】 由题意得∴∴y＝128·x，∴x＝4，y＝128×4＝.
C组·拓展提升
15．新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型：f(t)＝，当f(t)＝0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为多少？(参考数据：e1.1≈3)
【解析】 f(t)＝＝0.1，
则1＋e－0.22(t－40)＝10，
所以e－0.22(t－40)＝9≈e2.2，解得t≈30.
16．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N，求函数y＝f(x)的一个解析式．
【解析】 当x增加1时函数值以为衰减率衰减，
所以f(x)为指数衰减型函数，
令f(x)＝kx，因为f(0)＝3，所以k＝3，
所以f(x)＝.
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第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
新课程标准解读 学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 数学抽象
通过教材实例体会指数函数模型的实际应用. 数学建模
教材梳理 明要点
考古学家发现，当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
?情境导入
知识点一 指数函数
函数__________________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是______.
知识点二 指数型函数模型
形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的，称为指数型函数模型．
?新知初探
y＝ax(a>0，且a≠1)
R
[知识点反思]
指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则就不是指数函数．
1．下列函数中一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2
C．y＝3－x D．y＝－2·3x
?预习自测
2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%,5年后支取，本利和为人民币( )
A．2(1＋0.3)5万元 B．2(1＋0.03)5万元
C．2(1＋0.3)4万元 D．2(1＋0.03)4万元
【解析】 由题意可得，5年后支取，本利和应为人民币2(1＋0.03)5万元．故选B.
题型探究 提技能
1.(1)(多选)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1
题型一
指数函数的概念
１
[方法总结1]
指数函数的解析式必须具有三个特征：
1．底数a为大于0且不等于1的常数．
2．指数位置是自变量x.
3．ax的系数是1.
１
(1)下列函数中是指数函数的是( )
(2)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A．a＝1或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0且a≠1
题型二
指数函数解析式
2
[方法总结2]
求指数函数解析式的步骤
1．设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)；
2．利用已知条件求底数a；
3．写出指数函数的解析式．
2
64
角度1 增长型指数函数模型
3.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
【解析】 由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B.
题型三
指数型函数的实际应用
角度2 衰减型指数函数模型
4.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3
[方法总结3]
关于指数型函数模型
设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长(衰减)到y，则y＝N(1±p)x(x∈N*)．
3
已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2021年底的生产成本为6 400元/件，那么2024年底的生产成本为______________元/件．
【解析】 2024年底生产成本6 400×(1－25%)3＝2 700元．
2 700
随堂检测 重反馈
1．下列函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－8)x B．y＝2x2－1
【解析】 选项A中底数－8<0，所以不是指数函数；选项B中指数不是自变量x，所以不是指数函数；选项C中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；只有选项D符合指数函数定义．故选D.
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
【解析】 A与D中函数不是指数函数，把x＝3代入B与C的函数解析式中，检验知选项B中f(3)＝8.故选B.
4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝______.
－1
2