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第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质
第2课时 指数函数的图象和性质(二)
题型探究 提技能
1.比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1)3.10.5,3.12.3；
(2)0.62,0.63；
(3)0.53.2,1.32.1.
题型一
利用指数函数的单调性比较大小
１
[方法总结1]
比较幂大小的一般策略
【解析】 (1)由题意，由于指数函数y＝3.1x在R上单调递增，
且0.5<2.3，故3.10.5<3.12.3.
(2)由题意，由于指数函数y＝0.6x在R上单调递减，
且2<3，故0.62>0.63.
(3)由题意，由于指数函数y＝0.5x在R上单调递减，y＝1.3x在R上单调递增，
故0.53.2<0.50＝1,1.32.1>1.30＝1，故1.32.1>0.53.2.
１
(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
(2)设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
C．a【解析】 (1)∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5>0，∴1.010.6＞1.010.5＞1.010＝1；函数y＝0.6x在区间(－∞，＋∞)上单调递减，0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，综上可得1.010.6＞1.010.5＞1>0.60.5，即b＞a＞c.故选D.
(2)因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a1，所以a题型二
利用指数型函数的单调性解不等式
2
[方法总结2]
解指数不等式的类型及应注意的问题
1．形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论．
2．形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
2
【解析】 (1)由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D.
由于y＝3x在R上单调递增，所以4－x≥－2x，x≥－4，
所以不等式的解集为[－4，＋∞)．
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
题型三
指数函数图象和性质的综合应用
3
[方法总结3]
函数性质的综合应用
1．解题过程中充分应用函数的奇偶性、单调性，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题．
2．一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解．
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以该函数在定义域R上是减函数．
(2)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，
3
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的值域．
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
随堂检测 重反馈
1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不能确定
【解析】 因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以mA．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(1，2)第四章 4.2 4.2.2 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
【解析】 2x＋1<1＝20，因为函数y＝2x在R上为增函数，所以x＋1<0，所以x<－1，所以x的取值范围为(－∞，－1)．故选D.
2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
【解析】 由题意得，y1＝40.9＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，又y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.故选D.
3．函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是( )
A．[3,9] B．
C． D．
【解析】 ∵函数f(x)＝3－x＝x在R上是减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝－2＝9，f(x)min＝f(1)＝，即函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是.故选B.
4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
【解析】 因为f(x)＝3x－x，定义域为R，f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选A．
5．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
【解析】 因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确．
6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】 因为y＝x(x>0)为增函数，所以a>c.因为y＝x(x∈R)为减函数，所以c>b，所以a>c>b.故选A．
7．已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为 2 .
【解析】 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，解得n＝2.
8．函数y＝的定义域是 [4，＋∞) .
【解析】 由题意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3，解得x≥4.
9．比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.50.3和0.81.2.
【解析】 (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<1.53.2.
(2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，
∴0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
又0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.
10．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)【解析】 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝x，
因此由g(2x－1)即2x－1<3x，
得2x－1>3x，解得x<－1.
所以x的取值范围为(－∞，－1)．
B组·综合运用
11．(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是( )
A．1.72.5<1.73 B．0.8－0.1<0.8－0.2
C．1.60.6<0.72.6 D．>
【解析】 ∵函数y＝1.7x在R上为增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正确；∵函数y＝0.8x在R上为减函数，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；∵1.60.6>1.60＝1,0.72.6<0.70＝1，∴1.60.6>0.72.6，C错误；eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))12＝4＝，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))12＝3＝，∵<，∴<，D错误．故选AB.
12．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D．
【解析】 函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.故选C．
13．设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，则x的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,4)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【解析】 当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.
14．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 .
【解析】 由题意知f(x)是R上的减函数，则即≤a<1.故a的取值范围是.
C组·拓展提升
15．定义运算：a?b＝则函数f(x)＝1?2x的值域为 (0,1] .
【解析】 因为a?b＝所以f(x)＝所以f(x)的值域为(0,1]．
16．(2023·新高考Ⅰ卷改)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
【解析】 设t＝x(x－a)，易知函数y＝2t是增函数．因为f(x)＝2x(x－a)在(0,1)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x(x－a)在(0,1)上单调递减．因为函数t＝x(x－a)在上单调递减，所以≥1，即a≥2.
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