第四章 4.3 4.3.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若logab2＝c，则下列等式正确的是( )
A．a2b＝c B．ac＝b2
C．bc＝2a D．ca＝b2
【解析】 由对数式和指数式的关系可得logab2＝c，即ac＝b2.故选B.
2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( )
A．32＝9与log39＝2
B．27＝与log27＝－
C．(－2)5＝－32与log(－2)(－32)＝5
D．100＝1与lg 1＝0
【解析】 对数的底数和真数都不能为负数．故选C．
3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为( )
A． B．
C． D．
【解析】 3a＝10,3b＝7，所以3a－b＝＝.故选A．
4．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为( )
A．1 B．－1
C．5 D．
【解析】 log3(log5a)＝0，log5a＝1，a＝5，log4(log5b)＝0，log5b＝1，b＝5，所以＝1.故选A．
5．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为( )
A．－3 B．
C．3 D．－
【解析】 由得x∈ ；由得x＝3.故选C．
6．log eq \s\do10((－1))(3－2)＝ 2 .
【解析】 原式＝log eq \s\do10((－1))(－1)2＝2.
7．计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝ 0 .
【解析】 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
8．已知方程loga(5x－3x)＝x(a>0，且a≠1)，若x＝2是方程的解，则a＝ 4 ；当a＝2时，方程的解x＝ 1 .
【解析】 因为x＝2是方程的解，所以loga(52－32)＝2 loga16＝2 a＝4.当a＝2时，log2(5x－3x)＝x 5x－3x＝2x x＝1.
9．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
【解析】 (1)由
得即
故x的取值范围是{x|x>1且x≠2}．
(2)由得
故x的取值范围是{x|x>－1且x≠0，x≠1}．
10．计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32；
(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
【解析】 (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log34－1＋20＝3log34÷31＋1＝＋1＝.
B组·综合运用
11．方程9x－6·3x－7＝0，则x＝( )
A．log37 B．log73
C．7 D．－1
【解析】 设3x＝t(t>0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，即3x＝7.所以x＝log37.故选A．
12．(多选)下列等式中正确的是( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
【解析】 对于A，lg(lg 10)＝lg 1＝0；对于B，lg(ln e)＝lg 1＝0；对于C，若lg x＝10，则x＝1010；对于D，若ln x＝e，则x＝ee，故选AB.
13．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝ 12 .
【解析】 ∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝4，又∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
14．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，求x的值．
【解析】 设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
C组·拓展提升
15．求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
【解析】 (1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，
得log2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，则3x＝－2，所以x＝－.
16．设x＝log23，求的值．
【解析】 由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，
∴＝＝(2x)2＋1＋(2－x)2＝32＋1＋2＝.
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第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
新课程标准解读 学科核心素养
理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算. 数学抽象、数学运算
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简运算. 逻辑推理、数学运算
4.3.1 对数的概念
教材梳理 明要点
在指数函数y＝2x中，分别令y的值为1,2,4,8.可求得x的值依次为0,1,2,3.如果令y＝N，即2x＝N，那么x如何表示呢？
?情境导入
[提示]
x＝log2N
1．对数定义：一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝______________，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的________，N叫做________.即ax＝N x＝______________.
2．两类特殊对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为____________.
(2)自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为____________.
?新知初探
logaN
底数
真数
logaN
lg N
ln N
知识点二 对数的基本性质
1．负数和0没有对数(也就是真数大于零)．
2．loga1＝______.
3．logaa＝______.
知识点三 对数恒等式
0
1
N
b
[知识点反思]
对数运算是指数运算的逆运算
1．将ab＝N化为对数式是( )
A．logba＝N B．logaN＝b
C．logNb＝a D．logNa＝b
【解析】 根据对数定义知ab＝N b＝logaN，故选B.
2．对数式loga8＝3改写成指数式为( )
A．a8＝3 B．3a＝8
C．83＝a D．a3＝8
【解析】 根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D.
?预习自测
题型探究 提技能
1.(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是____________ ______________.
(2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
题型一
对数的定义
１
{x|2且x≠3}
[方法总结1]
在进行对数式与指数式的互化时，要注意字母的位置改变；在对数式中除了底数大于0且不等于1的限制外，还需真数大于0，对数式才有意义．
③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
④由ln x＝2，可得e2＝x.
１
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值：
题型二
利用指数式、对数式的互化求值
2
[方法总结2]
利用指数式与对数式的互化求变量值时，要注意变化前后变量取值范围的限制．
(2)由logx 25＝2，得x2＝25.因为x>0，且x≠1，所以x＝5.
(3)由log5 x2＝2，得x2＝52，所以x＝±5.因为52＝25>0，(－5)2＝25>0，所以x＝5或x＝－5.
2
求下列各式中x的值：
3.求下列各式中的x：
(1)log3(log2 x)＝0；(2)log3(log7 x)＝1；(3)lg(ln x)＝1；(4)lg(ln x)＝0.
题型三
对数基本性质的应用
3
[方法总结3]
使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【解析】 (1)由log3(log2 x)＝0得log2 x＝1，∴x＝2.
(2)由log3(log7 x)＝1，得log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.
(3)由lg(ln x)＝1，得ln x＝10，∴x＝e10.
(4)lg(ln x)＝0，ln x＝1，∴x＝e.
3
求值：
题型四
对数恒等式的应用
4
[方法总结4]
运用对数恒等式时注意事项
(1)它们是同底的；
(2)指数中含有对数形式；
(3)其值为对数的真数．
2．对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
4
8
25
随堂检测 重反馈
1．下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①正确；②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C．
2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞,2) B．(2,3)∪(3,5)
C．(2,5) D．(3,4)
4．若log2(log3x)＝0，则x＝______.
【解析】 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
3
