第四章 4.4 4.4.2 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,1 000] B．[3,1 000]
C． D．
【解析】 由题意得3－lg x≥0，∴lg x≤3，∴0
2．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
【解析】 由2x2－3x＋1>0得(2x－1)(x－1)>0，解得x<或x>1.设t＝2x2－3x＋1＝22－，所以函数t的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝logt为减函数，故y＝log(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．故选A．
3．若定义在(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．(0，＋∞)
【解析】 当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，故0<2a<1，即04．已知函数f(x)＝loga(3－ax)，当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B．
C． D．(0,1)∪
【解析】 由题设知3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，a>0且a≠1.因为a>0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a>0，所以a<，所以a的取值范围为(0,1)∪.故选D.
5．若函数f(x)＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则b－a的最小值为( )
A． B．3
C．2 D．
【解析】 根据题意，画出函数f(x)的图象如图，令|log2x|＝2可得x＝或x＝4.由图象可知，当值域为[0,2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝，故选A．
6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是 (1,2) .
【解析】 若f(x)，g(x)均为增函数，则即17．若函数y＝log0.5(x2－6x＋13)的定义域为[2,5]，则该函数的值域是 [－3，－2] .
【解析】 y＝log0.5(x2－6x＋13)＝log0.5[(x－3)2＋4]，而当x∈[2,5]时，(x－3)2＋4∈[4,8]，令y＝log0.5t，则t∈[4,8]，因为该函数是减函数，所以该函数的值域是[log0.58，log0.54]，即[－3，－2]．
8．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 (－4,4] .
【解析】 二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－49．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
【解析】 (1)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝log(－x)，
又f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,logx≤2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<0，,－log －x ≤2，))
解得x≥或－4≤x<0.
∴不等式的解集.
10．讨论函数f(x)＝loga(x2－3x－10)(a>0且a≠1)的单调性．
【解析】 由x2－3x－10>0得函数的定义域为{x|x>5或x<－2}，
则当a>1时，若x>5，则u＝x2－3x－10为增函数，
∴f(x)＝loga(x2－3x－10)为增函数．
若x<－2，则u＝x2－3x－10为减函数，
∴f(x)＝loga(x2－3x－10)为减函数．
当05，则f(x)＝loga(x2－3x－10)为减函数；
若x<－2，则f(x)＝loga(x2－3x－10)为增函数．
B组·综合运用
11．若对任意的实数x，都有loga(ex＋3)≥1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A． B．(1,3]
C．(1,3) D．[3，＋∞)
【解析】 ∵loga(ex＋3)≥1＝logaa对任意实数x都成立，∴a>1且a≤ex＋3，又ex＋3>3，∴112．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
【解析】 由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；由于f(x)在(0,1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD.
13．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是( )
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
【解析】 f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3，A正确；令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确；因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4，C正确；f(x)没有最大值，D错误．故选ABC．
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为减函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为 .
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，∴f(|logx|)>f，又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以|logx|<，∴－C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝loga(－x2＋ax－3)，其中a>0，a≠1.
(1)当a＝4时，求f(x)的值域和单调递减区间；
(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝4时，f(x)＝log4(－x2＋4x－3)＝log4[－(x－2)2＋1]，
设t＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
由－x2＋4x－3>0，得x2－4x＋3<0，得1即函数的定义域为(1,3)．
此时t＝－(x－2)2＋1∈(0,1]，
则y＝log4t≤log41，即函数的值域为(－∞，0]．
要求f(x)的单调减区间，等价为求t＝－(x－2)2＋1的单调递减区间，
∵t＝－(x－2)2＋1的单调递减区间为[2,3)．
∴f(x)的单调递减区间为[2,3)．
(2)若f(x)存在单调递增区间，
则当a>1，函数g(x)＝－x2＋ax－3存在单调递增区间即可，则判别式Δ＝a2－12>0，得a>2或a<－2(舍去)，
当00，得a>2或a<－2(舍去)，此时a不成立，
综上，实数a的取值范围是(2，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)由题意可得3－ax＞0，即ax＜3，
因为a＞0，所以解得x<.
故f(x)的定义域为.
(2)假设存在实数a，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2.
设函数g(x)＝3－ax，由a＞0，得－a＜0，
所以g(x)在区间[1,2]上为减函数且g(x)＞0恒成立，
则g(2)＞0，解得0＜a<，
又因为f(x)在区间[1,2]上单调递减，
所以a＞1，即1又因为f(x)在区间[1,2]上的最大值为2，
所以f(x)max＝f(1)＝loga(3－a)＝2，
整理得a2＋a－3＝0，解得a＝(a>0)．
因为3<<4，所以a＝∈，
所以存在实数a＝，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2.
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第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
教材梳理 明要点
知识点一 对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__________.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)(a>0且a≠1)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
?新知初探
增函数
减函数
知识点二 对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
?预习自测
2．函数y＝log0.3(3－2x)在其定义域内是______函数(填“增”或“减”)．
增
题型探究 提技能
1.讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a>0且a≠1)的单调性．
题型一
对数型复合函数的单调性
１
[方法总结1]
求复合函数单调性的具体步骤是：
1．求定义域；
2．拆分函数；
3．分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；
4．按“同增异减”得出复合函数的单调性．
当a>1时,若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当01，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
１
【解析】 由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞,－2)∪(5,＋∞)上的单调递减区间,又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．
2.求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
题型二
对数型复合函数的值域
2
[方法总结2]
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：
1．分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
2．求f(x)的定义域；
3．求u的取值范围；
4．利用y＝logau的单调性求值域．
【解析】 (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴02
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)
3.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
题型三
对数型函数性质的综合应用
3
[方法总结3]
对数函数本身不具有奇偶性，但与有些函数复合后，就具有了奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数．这类函数奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断．
∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
3
已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
【解析】 (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1.
∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上单调递减，
∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，
随堂检测 重反馈
A．(0，＋∞) B．(－∞，1]
C．(0，1] D．[0，1]
2．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
【解析】 当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当02
[0，1)