第三章 3.4
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
【解析】 由题意设y＝kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.此时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.故选A．
2．北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表：
运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1000＜x≤1 500 1 500＜x≤2 000 …
邮费y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地，那么他应付的邮费是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
【解析】 当0＜x≤2 000时，邮费y与运送距离x之间的函数关系式为
y＝
∵1 300∈(1 000,1 500]，∴当x＝1 300时，y＝7，故选C．
3．有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0
【解析】 设BC＝x，则得所以04．下表表示一球自一斜面滚下七秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)
t 0 1 2 3 4 5
s 0 10 40 90 160 250
当t＝2.5时，距离s为( )
A．45 B．62.5
C．70 D．75
【解析】 由图表可知，距离s与时间t的关系是s＝10t2，∴当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5，故选B.
5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为( )
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
【解析】 依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元．故选B.
6．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为 800 副．
【解析】 由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少为800副时才不亏本．
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 2 cm2.
【解析】 设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，这两个正三角形面积之和的最小值是2 cm2.
8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝ 100 ，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为 [60,100] .
【解析】 记每小时的油耗为y，根据题意得y＝，则当x＝120时，y＝＝11.5，解得k＝100，所以y＝.y≤9，即≤9，解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60,100]．
9．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
(1)设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位：万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：件)的函数解析式；
(2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
【解析】 (1)由题意，得y1＝150＋0.25x，y2＝＋0.25，y3＝0.35x，y4＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150.
(2)画出y4＝0.1x－150的图象如图．
由图象可知，当x<1 500时，该公司亏损；
当x＝1 500时，公司不赔不赚；当x>1 500时，公司赢利．
10．某市经测算2023年6月每日处理厨余垃圾的成本P(元)与日处理量x(吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益．
(1)设纯收益为y元，写出函数y＝f(x)的解析式；(纯收益＝总收益－成本)
(2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得日纯收益最大？
【解析】 (1)由题意可得f(x)＝100x－P
＝
＝
(2)当0≤x≤20时，f(x)＝60x单调递增，
可得f(x)的最大值为f(20)＝1 200；
当20＜x≤30时，f(x)＝－x2＋24x＋1 000
＝－(x－24)2＋1 288，
当x＝24时，f(x)的最大值为1 288.
因为1 288＞1 200，所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时，获得日纯收益最大．
B组·综合运用
11．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元．每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大( )
A．155元 B．165元
C．178元 D．185元
【解析】 设每辆车的日租金为x元，租赁公司的日收益为W元，则每辆车的日收益为(x－20)元，租赁公司日出租车辆数为200－×4，所以W＝(x－20)＝－x2＋296x－5 600.
所以当x＝＝185时，W取得最大值．
则每辆车的日租金为185元时，租赁公司的日收益最大．故选D.
12．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【解析】 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD.
13．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
【解析】 出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选BCD.
14．两辆车需要尽快通过一段100 m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝，设车辆限速不超过60 m/s，那么两车都通过的最短时间为 4 s.(车的长度忽略不计)
【解析】 设车速为v，则两车安全间距L＝，第二辆车走过的路程为100＋，则两车都通过的时间t＝＝＋(0＜v≤60)．所以t＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即v＝50时等号成立．所以两车都通过的最短时间为4 s.
C组·拓展提升
15．某汽车制造企业计划在2023年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝该企业确定每辆新能源汽车的售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．
(1)求2023年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(其中利润＝销售额－成本)；
(2)2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【解析】 (1)当0L＝600x－10x2－200x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；
当x≥40时，L＝600x－601x－＋4 500－2 500＝2 000－.
∴L＝
(2)当0∴当x＝20时，L取得最大值1 500；
当x≥40时，L＝2 000－≤2 000－2＝1 800，
当且仅当x＝，即x＝100时取等号，
∴当x＝100时，L取得最大值1 800.
∵1 800>1 500，
∴2023年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1 800万元．
16.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A的方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，记运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，点M第一次到达点A时结束．
(1)求y＝f(t)的解析式；
(2)试作出函数f(t)的图象，并写出值域．
【解析】 (1)根据题意，f(t)＝
(2)作出函数的图象，如图，
值域为[0,1]．
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第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
新课程标准解读 学科核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 数学抽象、数学建模
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 数学建模、数学运算
教材梳理 明要点
数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用，数学推动了重大的科学技术进步．函数在数学上占有非常重要的一块，在生活中应用非常广泛，比如个人所得税，电费的缴纳适用分段函数模型．
你还了解哪些函数模型呢？
?情境导入
[提示]
我们学过的有一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型.
知识点 常见的几类函数模型
?新知初探
[知识点反思]
建立函数模型解决实际问题时，注意变量的取值要符合实际问题的意义．
1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．45元
C．54元 D．越高越好
【解析】 设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤ 60，将上式配方得y＝－2(x－45)2＋450，所以当x＝45时，日销售利润最大．故选B.
?预习自测
2．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单
位：小时)的函数，该函数的解析式是___________________.
题型探究 提技能
1.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动：
①买一只茶壶赠送一只茶杯；
②按购买总价的92%付款．
某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠活动？
题型一
一次函数模型
１
[方法总结1]
一次函数模型的特点和求解方法
1．一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线；
2．解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
【解析】 设优惠活动①，②对应的付款分别为y1元，y2元．
由优惠活动①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
由优惠活动②得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．
当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动①应付款y1＝5×40＋60＝260(元)；
采用优惠活动②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6(元)．
由于y2＜y1，故应选择优惠活动②.
１
一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
【解析】 设y＝kx＋b(k≠0)，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.当y＝400时，即400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．故选C．
2.A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；
(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？
题型二
二次函数模型
2
[方法总结2]
二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
所以x的取值范围为{x|10≤x≤90}．
2
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．
(1)求该小商品的日销售额S(元)与销售日期t的函数关系；
(2)求日销售额S(元)的最大值及此时t的值．
题型三
分段函数模型
3
[方法总结3]
应用分段函数时的三个注意点
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏；
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集；
3．分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后取并集．
【解析】 (1)当1≤t≤15，t∈N*时，
(2)当1≤t≤15，t∈N*时，
因此，当t＝10时，S取最大值为1 600；
当16≤t≤30，t∈N*时，S＝15(－2t＋100)＝－30t＋1 500为减函数，
因此，当t＝16时，S取最大值为1 020.综上，销售额S的最大值为1 600，此时t＝10.
3
我国某公司决定将一种智能产品大量投放海外市场，已知该产品年固定研发成本为30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，
(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？求出最大利润.
【解析】 (1)年利润S＝x·G(x)－30－90x
所以S在(0,25]上单调递增，
所以Smax＝－3×252＋160×25－30＝2 095；
因为2 370＞2 095，所以x＝30，Smax＝2 370.
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2 370万元．
随堂检测 重反馈
1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【解析】 设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．故选D.
2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
【解析】 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，由图示知，前4天方案一、二每天回报都高于方案三每天的回报，所以B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．故选D.
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( )
A．3 m B．4 m
C．6 m D．12 m
4.如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费__________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费______元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_________________.
3.6
6
y＝1.2t(t≥3)
【解析】 (1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)易知当t≥3时，图象过点(3，3，6)，(5，6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．