第四章 4.4 4.4.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
【解析】 通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C．
2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．故选C．
3．在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是( )
【解析】 函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0
1，显然y＝ax的图象不符，排除A、B，故选D.
4．已知－1A．0.2a>a>2a B．2a>0.2a>a
C．a>0.2a>2a D．2a>a>0.2a
【解析】 因为－1a>2a.故选A．
5．(多选)能使得不等式log2xA．x>2 B．x>4
C．0【解析】 如图，
结合图象可知，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，有log2x6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 甲 作为函数模型．
【解析】 把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是 y＝x2 .
【解析】 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
8．若x∈(0,1)，则lg x、x、2x的大小关系依次是 2x>x>lg x .
【解析】 结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lg x.
9．已知函数f(x)＝x，g(x)＝log2x，x∈(0，＋∞)．
(1)计算f(4)，f(16)，g(4)，g(16)；
(2)利用图象比较出x和log2x的大小关系．
【解析】 (1)f(4)＝2，f(16)＝4，g(4)＝2，g(16)＝4.
(2)作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4,16)内，x在(16，＋∞)内，x>log2x.
10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形，1.15≈1.61)
【解析】 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则＝.
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
B组·综合运用
11．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
【解析】 分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D.故选A．
12．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．(，2) B．(1，)
C． D．
【解析】 当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C．
13．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法中正确的是( )
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
【解析】 前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B、C正确，故选BC．
14．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 10 000 倍．
【解析】 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A9,5级地震的最大振幅为A5，则有lg A9－lg 0.001＝9，得A9＝106；同理得A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
C组·拓展提升
15．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：
地震强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)，则a＝ ，b＝ .(取lg 2＝0.3)
【解析】 由题表中数据得两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，所以alg 2＝0.2，解得a＝，所以b＝5－lg 1.6＝5－(4lg 2－1)＝5－×＝.则y＝lg x＋，经检验，后两次数据也适合该式．
16．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．
【解析】 (1)由题意知y＝logax是增函数，
∴a>1，
又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，
∴∴a＝2，
∴y＝
(2)由题意得
解得16≤x≤100，
∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．
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第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
新课程标准解读 学科核心素养
了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 数学抽象
理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 逻辑推理
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 数学建模
教材梳理 明要点
投资理财是提高经济收入，改善家庭生活的一个重要途径．现有三种投资方案可供选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，如何选择投资方案使收益最大呢？
?情境导入
[提示]
投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．
知识点 三种函数的性质及增长速度比较
?新知初探
指数函数 对数函数 一元一次函数
解析式 y＝ax(a>1) y＝______________ y＝kx(k>0)
单调性 在(0，＋∞)上单调________
图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升
增长速度
(随x的增大) y的增长速度越来越______ y的增长速度越来越_____ y值逐渐增加
增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
logax(a>1)
递增
快
慢
[知识点反思]
一次函数按同一速度增长，指数函数增长越来越快，呈爆炸性增长，对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．
1．下列说法正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
?预习自测
2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
【答案】 D
题型探究 提技能
1.甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为__________.
题型一
函数模型的增长差异
１
③④⑤
[方法总结1]
三种函数模型的增长规律：
1．对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
2．指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
3．指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
【解析】在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得：①错误：因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)f2(5)，所以当x＝5时，甲在乙的前面．③正确：当01时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面．④正确：当01时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱．⑤正确：当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)、f3(x)、f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲．综上，正确结论的序号为③④⑤.
１
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
【解析】 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C．
2.函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
题型二
指数函数、对数函数与幂函数模型比较
2
[方法总结2]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
【解析】 (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 023)＞g(2 023)．
2
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解析】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)．当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
3.为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据
现有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝mx2＋n(m>0)可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由．
题型三
函数模型的选择
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
3
[方法总结3]
建立函数模型应遵循的三个原则
1．简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
2．可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；
3．反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
3
生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.
(4)
(1)
(3)
(2)
【解析】 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
随堂检测 重反馈
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
【解析】 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．故选D.
2．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
【解析】 ABC均错误，只有D正确．故选D.
3．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是________.
【解析】 由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0②③
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__________________.
【解析】 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x)．
f(x)＞g(x)