第四章 4.5 4.5.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
【解析】 由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度越来越快，符合指数型函数模型，且图象过点(1,2)，所以图象由指数函数y＝2t来模拟比较好．故选A．
2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低( )
A．10% B．15%
C．20% D．35%
【解析】 设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．
3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时，在18 ℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36 ℃的保鲜时间是( )
A．4小时 B．8小时
C．16小时 D．32小时
【解析】 依题意得解得∴y＝2 eq \s\up10(－x＋6).当x＝36时，y＝2 eq \s\up10(－×36＋6)＝22＝4，故选A．
4．某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：
甲：Q＝av2＋bv＋c，乙：Q＝av3＋bv2＋cv，
丙：Q＝0.5v＋a，丁：Q＝klogav＋b.其中a，b，c均不为0，其中最符合实际的函数模型为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】 依题意可知该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[0,120]；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点．当v＝0时，Q＝klogav＋b没有意义，排除丁，函数Q＝av2＋bv＋c不经过坐标原点，排除甲，函数Q＝0.5v＋a单调递减，排除丙，故最符合实际的函数模型为乙．故选B.
5．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lg I．在2021年3月下旬，A地区发生里氏3.1级地震，B地区发生里氏7.3级地震，则B地区地震所散发出来的相对能量是A地区地震所散发出来的相对能量的________倍( )
A．7 B．106
C．107 D．108
【解析】 设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I1，里氏7.3级地震所散发出来的能量为I2，则3.1＝0.6lg I1…①，7.3＝0.6lg I2…②，②－①得：4.2＝0.6lg ，解得：＝107.故选C．
6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是 y＝x(x∈N＋) .
【解析】 依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N＋)．
7．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生f(t)＝ae亿元社会经济效益．则该市经过 12 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．
【解析】 设投资t年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有ae＝8a，解得t＝12，所以再过12年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．
8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是 ① .
【解析】 若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型．
9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多少时间？(参考数据：lg 11≈1.04，lg 2≈0.30)
【解析】 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，
即＝.
两边取对数，求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.
10．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1)秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
【解析】 因为刹车反应时间为(－1)秒，
所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，
当车速为60千米/小时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·602＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．
B组·综合运用
11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2021年 B．2022年
C．2023年 D．2024年
【解析】 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－＝≈＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2023年超过200万元．故选C．
12．(多选)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是( )
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年
D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
【解析】 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年比较平缓，故C错误；2018年“生活价格指数”降低，而“收入指数”上升．因此生活水平有较大改善，故D正确，故选ABD.
13．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为 1.75 万件．
【解析】 由题意得解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
14．生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5 730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有 2 161 年．(参考数据：lg 0.77＝－0.113 5，lg 0.5＝－0.301 0，结果精确到年)
【解析】 设生物死亡的年数为x年，由题意得＝77%，∴＝log0.77＝＝＝，∴x＝5 730×≈2 161.∴该古墓距出土时约有2 161年．
C组·拓展提升
15．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【解析】 (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．
由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．
g(x)＝2(x≥0)．
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.
∴总利润y＝8.25万元．
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.
∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．
16．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解析】 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
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第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
新课程标准解读 学科核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 数学建模
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 数学运算
教材梳理 明要点
根据计算方法不同，利息可以划分为单利和复利．单利是指在借贷期限内，只在原来的本金上计算利息；复利是指在借贷期限内，除了在原来本金上计算利息外，还要把本金所产生的利息重新计入本金，重复计算利息．比如，如果投资的平均年回报率为10%，那么只要7.2年后本金就可以翻一番．如果投资10万元，7.2年后就变成20万元，14.4年后变成40万元，21.6年之后变成80万元，28.8年之后就可以达到160万元．由此可见复利的威力巨大．那么这是如何计算的呢？
?情境导入
[提示]
解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到．
知识点 指数函数与对数函数模型
?新知初探
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
[知识点反思]
若已知的数据较多，可以绘出散点图，观察图象的增长(减少)的趋势特征，选择函数模型，再通过具体数据验证．
1．某厂2023年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2035年的产值(单位：万元)是( )
A．a(1＋n%)13 B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11 D．a(1－n%)12
【解析】 2023年的产值为a万元，2024年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2025年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2035年的产值为a(1＋n%)12.故选B.
?预习自测
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__________只．
【解析】 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)，所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.,
300
题型探究 提技能
1.一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2 KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为y KB.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)如果病毒占据内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB,1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．
题型一
指数函数模型的应用
１
[方法总结1]
指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
【解析】 (1)因为在刚开机时它占据内存2 KB，然后每3分钟后所占的内存是原来的2倍，所以，一个三分钟后它占据的内存为2×2＝22 KB；
两个三分钟后它占据的内存为2×2×2＝23 KB；
三个三分钟后它占据的内存为23×2＝24 KB；
……
所以，本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．
１
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
题型二
对数函数模型的应用
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍
利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商
2
[方法总结2]
对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
【解析】 (1)由题意，x0＝2，x＝8 100，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
2
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．
故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要24 300个单位．
3.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100 ℃的水泡制，等到茶水温度降至60 ℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
题型三
实际问题中的函数模型选择问题
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：
①y＝kx＋b(k<0，x≥0)；
②y＝kax＋b(k>0,0
③y＝loga(x＋k)＋b(a>1，k>0，x≥0)．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2 min的数据求出相应的解析式；
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.)
3
[方法总结3]
通过收集数据直接解决问题的一般步骤
【解析】 (1)选择②y＝kax＋b(k>0,0由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①.
故应选择②y＝kax＋b(k>0,0所以函数模型的解析式为：y＝80×0.9x＋20.,
所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54 min能达到最佳饮用口感．
(3)由y＝80×0.9x＋20为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20 ℃.
3
1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星(后被命名为谷神星)存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号(x) 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星)
离太阳的距离(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论)；
①y＝ax＋b；
②y＝a×2x＋b；
③y＝alog2x＋b.
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；(误差小于0.2的为吻合)
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
【解析】 (1)散点图如图所示：
根据散点图可知，模型②符合题意．
(2)将(1,0.7)，(2,1)，(3,1.6)分别代入y＝a×2x＋b，
所以y＝0.15×2x＋0.4(x∈N*)
当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差5.21－5.2＝0.01<0.2，吻合，
当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差10.01－10＝0.01<0.2，吻合，
所以，模型与数据吻合．
(3)当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，
即谷神星距太阳的距离为2.8 AU.
随堂检测 重反馈
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【解析】 随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．
x 4 5 6 7 8 9 10
y 18 21 24 27 30 33 36
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．20% B．50%
2 500