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第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
新课程标准解读 学科核心素养
理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1， ＝tan α．
逻辑推理、数学运算
会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 逻辑推理、数学运算
5.2.2 同角三角函数的基本关
教材梳理 明要点
三角函数值是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．
问题
x，y之间满足什么关系呢？
?情境导入
[提示]
|MP|2＋|OM|2＝|OP|2，x2＋y2＝1．
知识点 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：_________________，α∈R，sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α 的平方”．
?新知初探
sin2α＋cos2α＝1
【解析】 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，所以B成立，而A、C、D都不成立．故选B．
?预习自测
题型探究 提技能
题型一
利用同角基本关系式求值
１
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
１
角度2 利用弦切互化求值
2
2
题型二
利用同角三角函数基本关系化简
3
[方法总结3]
三角函数式的化简过程中常用的方法
1．化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称；
2．对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式；
3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
3
题型三
三角恒等式的证明
4
[方法总结4]
利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法：
1．从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
2．左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
3．化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
3
随堂检测 重反馈第五章 5.2 5.2.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A. B．－
C． D．－
【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.∵∴sin α＝－.故选B.
2．已知＝－，则＝( )
A. B．－
C．2 D．－2
【解析】 由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A.
3．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
【解析】 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－－＝－3.故选B.
4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 (sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．故选B.
5．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α的值为( )
A. B．
C．3 D．4
【解析】 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，又sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝.故选B.
6．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝ 60° .
【解析】 ∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.
7．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ .
【解析】 由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.
8．若＝1，则tan α的值为 3 .
【解析】 ＝1化为＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.
9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
【证明】 左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋
＝＋＝右边．
即原等式成立．
10．(1)已知0(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．
【解析】 (1)由sin x＋cos x＝，①
两边平方，得1＋2sin xcos x＝，
则sin xcos x＝－.
∵0∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x
＝1＋2×＝，
∴sin x－cos x＝.②
由①②解得∴tan x＝－.
(2)由tan x＝2，
得sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x
＝
＝＝＝.
B组·综合运用
11．若π<α<，＋的化简结果为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.故选D.
12．若＝2，则sin θ·cos θ＝( )
A．－ B．
C．± D．
【解析】 由＝2，得tan θ＝4，
sin θcos θ＝＝＝.故选D.
13．(多选)＋的值可能为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 令f(x)＝＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝3，当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝1，当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－3，当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－1.故选BD.
14．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，求sin α，tan α的值．
【解析】 由题意可得
解得sin α＝，cos α＝－，则
tan α＝＝－1.
C组·拓展提升
15．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
【解析】 (1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α
＝tan α
＝tan α
＝·
＝·＝－1.
(2)证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
16．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值；
(2)求tan θ＋的值．
【解析】 (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：
∵sin2θ＋cos2θ＝1，
即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④
∴将②③代入④，得－＝1，
即9k2－8k－20＝0，解得k＝－或k＝2(舍去)．
∴k＝－.
(2)tan θ＋＝＋
＝，
由(1)知sin θ·cos θ＝＝－，
∴tan θ＋＝＝－.
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