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第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
新课程标准解读 学科核心素养
能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图象． 数学抽象、直观想象
掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 数学运算
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 逻辑推理
5.4.3 正切函数的图象与性质
教材梳理 明要点
我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．那么正切函数有着怎样的性质呢？
?情境导入
[提示]
借助单位圆，依据正切函数定义画出函数y＝tan x的图象，由图象观察得到函数性质．
知识点 正切函数的图象与性质
1．图象：如图所示．
正切函数y＝tan x的图象叫做正切曲线．
?新知初探
2．性质：如下表所示．
函数
性质 y＝tan x
定义域
值域 R
周期 _____
奇偶性 ___________
单调性
在每一个区间_______________________上单调递增
对称中心
____________
π
奇函数
?预习自测
2．比较大小：tan 135°_________tan 138°．(填“＞”或“＜”)
【解析】 函数y＝tan x在90°～180°上单调递增，所以tan 135°＜
题型探究 提技能
题型一
正切函数的定义域、值域问题
１
１
利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比 较大小
题型二
正切函数的单调性及应用
2
[方法总结2]
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小，先利用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内，再运用单调性比较大小关系．
2
(1)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
题型三
正切函数的周期性与奇偶性
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，则f(x)＝g(x)＋2．
因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asin x＋btan x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数．
因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3，则g(－3)＝3．
故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5．
3
±2
随堂检测 重反馈
(－∞，－1]∪
[1，＋∞)第五章 5.4 5.4.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 ∵函数的图象过点，∴tan＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A.
2．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝( )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
【解析】 ＝，ω＝±1.故选A.
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
【解析】 由f(x)＝tan，知f(x＋2π)＝tan＝tan＝f(x)．∴f(x)的周期为2π，排除B，D.令tan＝0，得－＝kπ(k∈Z)．∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，即图象过点，故选A.
4．函数y＝tan的定义域为，则函数的值域为( )
A. B．
C. D．
【解析】 由tan＝－.故函数的值域为(－，＋∞)．故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝tan x，则下列结论正确的是( )
A．2π是f(x)的一个周期
B．f＝f
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
【解析】 对于函数f(x)＝tan x，它的最小正周期为π，故2π是f(x)的一个周期，故A正确；由于f(x)为奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，故f≠f，B不正确；由函数的图象可得，它的值域为R，故C正确；当x＝时，函数无意义，结合图象可得f(x)的图象关于点对称，故D正确．故选ACD.
6．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是 4 .
【解析】 由题意可得f(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.
7．函数y＝tan的单调递增区间是 ，k∈Z .
【解析】 令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，即函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
8．函数y＝的值域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞) .
【解析】 当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴＜－1；当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1.即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．求下列函数的周期及单调区间．
(1)y＝3tan；
(2)y＝|tan x|.
【解析】 (1)y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝4π，
∴y＝3tan的周期为4π.
由kπ－<－得4kπ－∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，无单调递减区间．
∴y＝3tan的单调递减区间为，无递增区间．
(2)由于
y＝|tan x|＝
∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
10．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1，即x＝－时，ymin＝1；
当tan x＝1，即x＝时，ymax＝5.
B组·综合运用
11．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
【解析】 当＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x即－212．(多选)下列说法正确的是( )
A．tan >tan
B．sin 145°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
D．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞)．
【解析】 tan ＝tan＝tan ，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan 1，故sin 145°13．(多选)关于函数f(x)＝tan，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的定义域为
C．f(x)的图象的对称中心为，k∈Z
D．f(x)在区间(0，π)上单调递增
【解析】 函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，A对；由－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的定义域为，B错；由－＝(k∈Z)，解得x＝kπ＋(k∈Z)，所以，函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，C对；当014．给出下列命题：
(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tan x在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．
其中正确命题的序号是 (1)(3)(4) .
【解析】 y＝tan |x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tan x在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cos x是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
C组·拓展提升
15．若tan≤1，则x的取值范围是 (k∈Z) .
【解析】 令z＝2x－，在上满足tan z≤1的z的值是－16．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
【解析】 (1)当θ＝－时，tan θ＝－，
函数f(x)＝x2－x－1，对称轴为x＝.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
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