(共35张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
教材梳理 明要点
?情境导入
[提示]
2α＝α＋α，然后利用和角公式计算．
知识点一 二倍角的正弦、余弦及正切公式
1．sin 2α＝2sin αcos α(S2α)．
2．cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．
知识点二 二倍角公式的转换
1．因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
?新知初探
2．配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2．
3．升幂缩角变换
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α．
?预习自测
2．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为_______ ．
题型探究 提技能
1．求下列各式的值：
题型一
利用二倍角公式给角求值问题
１
[方法总结1]
对于给角求值问题，一般有两类：
1．直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
2．若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
１
求下列各三角函数式的值：
(1)cos 72°cos 36°；
题型二
利用二倍角公式给值求值问题
2
[方法总结2]
解决给值求值问题的方法比较多：
1．可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；
2．利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos 2α与sin2α及cos2α之间的关系，cos α±sin α与sin 2α的关系等．
2
题型三
利用二倍角公式给值求角
3
[方法总结3]
本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．
3
题型四
化简与证明问题
4
[方法总结4]
化简与证明三角函数式的基本思路
可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手，对所给三角函数式进行适当变形．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形．同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简、证明的目的，在化简时，要注意角的取值范围．
4
随堂检测 重反馈第五章 5.5 5.5.1 第4课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．化简＝( )
A．1 B．2
C． D．－1
【解析】 ＝＝2.故选B.
2．(2021·全国高考乙卷文科)cos2－cos2＝( )
A. B．
C． D．
【解析】 由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos ＝.故选D.
3．函数y＝的最小正周期是( )
A. B．
C．π D．2π
【解析】 y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.故选B.
4．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于( )
A. B．－
C． D．－
【解析】 ∵sin 2A＝2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝.∵在△ABC中，0
0，∴cos A>0，∴sin A＋cos A＝＝＝＝.故选A.
5．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( )
A. B．
C． D．
【解析】 ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝－1，又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.故选C.
6．若sin＝，则cos 2θ＝ － .
【解析】 由sin＝cos θ＝，得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
7．计算：tan －＝ －2 .
【解析】 原式＝＝＝－2.
8．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝ .
【解析】 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
9．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan 15°＋tan215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
【解析】 (1)原式
＝
＝
＝
＝＝＝8.
(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.
(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，
y＝cos 10°cos 50°cos 70°，
则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 2α的值；
(3)求α－β的值．
【解析】 (1)tan 2α＝＝.
(2)因为α为锐角，且tan α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
(3)由(2)知，
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
sin(α－β)＝sin[2α－(α＋β)]
＝sin 2α·cos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)
＝×－×＝－，又α，β为锐角，
∴α－β∈，故α－β＝－.
B组·综合运用
11．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于( )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
【解析】 由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.故选C.
12．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin 18°，若a2＋b＝4，则＝( )
A．－ B．
C．－2 D．2
【解析】 ∵a＝2sin 18°，a2＋b＝4，∴b＝4－a2＝4－4sin218°＝4cos218°，∴＝＝＝＝－.故选A.
13．(多选)已知函数f(x)＝是奇函数，则有( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
【解析】 因为f(x)＝＝＝－tan x，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD.
14．若tan＝，则tan 2α＋＝ 2 .
【解析】 由tan＝＝，可求得tan α＝，∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
C组·拓展提升
15．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝ － ；sin θ＝ .
【解析】 ∵θ∈，∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.∴cos 2θ＝－＝－＝－.又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝＝＝，∴sin θ＝.
16．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则sin α＝ ，α＋2β＝ π .
【解析】 由题意得①2＋②2得cos β＝，cos α＝，由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.
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