第五章 5.4 5.4.2 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】 由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.故选B.
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【解析】 由题意，f(x)是周期为2的偶函数，故选B.
3．对于函数y＝cos，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】 因为函数y＝cos＝sin 2x，T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函数，所以y＝cos是周期为π的奇函数．故选D.
4．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A. B．
C. D．
【解析】 y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B.
5．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【解析】 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.
6．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为 6 .
【解析】 T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，∴整数ω的最大值是6.
7．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是 π(答案不唯一) .
【解析】 因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．
8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则当x<0时，f(x)的解析式为 f(x)＝－sin x(x<0) .
【解析】 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(x)为R上偶函数，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)＝－sin x(x<0)．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
【解析】 (1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cos3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
【解析】 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又∵当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如下图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.
B组·综合运用
11．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝( )
A. B．－
C．0 D．
【解析】 ∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 023)＝
337
＋f(337×6＋1)＝337×0＋f(1)＝sin ＝.故选A.
12．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin＋1
B．y＝cos
C．f(x)＝＋
D．y＝cos
【解析】 由y＝sin＋1＝cos 2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos＝－sin 2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件；对任意x∈R，－1≤sin 2x≤1，∴1＋sin 2x≥0,1－sin 2x≥0.∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；y＝cos是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC.
13．(多选)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
【解析】 φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数；φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD.
14．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若f＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为 4π .
【解析】 因为f＝sin＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为 － .
【解析】 ∵函数f(x)＝sin是奇函数，∴＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－，k∈Z，又∵φ∈.∴k＝0时φ＝－.
16．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则函数f(x)的周期T＝ 4 ，若f(1)＝2，则f(99)＝ .
【解析】 因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.
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第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
新课程标准解读 学科核心素养
了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期． 数学抽象、数学运算
了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性． 逻辑推理、直观想象
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
教材梳理 明要点
春夏秋冬，一年四季更替，以年为周期；月亮盈亏转换，以月为周期；日出日落，一个周期是24小时．正弦函数与余弦函数有周期性吗？
?情境导入
[提示]
正弦函数与余弦函数都是周期函数，都以2π为周期．
知识点一 函数的周期
1．周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且_______________，那么函数f(x)叫做周期函数．_____________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
?新知初探
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
最小的
正数
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
?预习自测
题型探究 提技能
1．求下列函数的周期：
题型一
三角函数的周期
１
[方法总结1]
求三角函数周期的方法
1．定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T．该方法主要适用于抽象函数．
3．图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
１
2．判断下列函数的奇偶性：
题型二
三角函数奇偶性的判断
2
[方法总结2]
三角函数奇偶性的判断，先根据诱导公式将函数式化简，再依据函数奇偶性定义，一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系判断．
2
【解析】 (1)函数的定义域为R，
由f(x)＝cos ·cos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x·cos x
f(－x)＝sin(－2x)·cos(－x)＝－sin 2x·cos x
所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，
此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
3．(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
题型三
三角函数奇偶性与周期性的综合运用
3
[方法总结3]
解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
3
－3
随堂检测 重反馈
2．(多选)如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中是周期函数的图象的是( )
【解析】 观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．故选ABC．
