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第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
新课程标准解读 学科核心素养
理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 数学抽象
掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 逻辑推理
会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，能根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 逻辑推理、数学运算
掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，并能熟练运用． 逻辑推理
教材梳理 明要点
在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图所示是某次实验测得的交流电的电压y随时间x变化的图象．
那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
?情境导入
[提示]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可由函数y＝sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到．
知识点一 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．
?新知初探
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
奇偶性
φ＝kπ(k∈Z)
单调性
?预习自测
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝( )
A．5 B．－5
C．4 D．－4
【答案】 C
题型探究 提技能
题型一
三角函数的图象变换
１
[方法总结1]
三角函数图象变换的方法一(先平移后伸缩)和方法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
2．虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
【解析】
１
题型二
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
2
[方法总结2]
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．
【解析】 列表：
描点、连线，如图所示．
2
图象如图．
题型三
由图象求三角函数的解析式
3
[方法总结3]
由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．
1．A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
3
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
题型四
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的性质
4
[方法总结4]
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质注意整体思想的应用，视“ωx＋φ”为一个整体，结合正弦函数y＝sin x的性质灵活应用．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间时，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
4
【解析】 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或sin φ＝－1．
随堂检测 重反馈
【答案】 D
【答案】 D
则根据表格可得出A＝______，ω＝______，φ＝______．
2
3第五章 5.6
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
【解析】 依题意得f(x)＝sin＝sin＝cos 2x.故选A.
2．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【解析】 由函数的图象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.故选B.
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为( )
A．2,2 B．2,1
C．4,2 D．2,4
【解析】 由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，∴ω＝＝2，故选A.
4．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【解析】 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．故选B.
5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
【解析】 将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A错误．令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B错误．令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．故选D.
6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到g(x)＝sin的图象，只需将y＝f(x)的图象上横坐标伸长为原来的 4 倍．
【解析】 ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin.又g(x)＝sin＝sin，∴只需将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象．
7．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为 y＝－cos 2x .
【解析】 把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象．
8．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ － .
【解析】 由题意可得：T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得：φ＝－，据此有：f(x)＝2cos，f＝2cos＝2cos ＝－.
9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
【解析】 方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，
∴A＝.由图象知＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
又＝，
∴图象上的最高点为，
∴＝sin，
即sin＝1，可取φ＝－，
故函数的一个解析式为y＝sin.
方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点，，
根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得
解得
故函数的一个解析式为y＝sin.
10．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
【解析】 (1)列表：
x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．
这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图象．
(2)①把y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；
②把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
③将y＝sin的图象上所有的点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
B组·综合运用
11．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】 画出两函数在[0,2π]上的图象，根据图象即可求解．
因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0,2π]上函数y＝2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.
12．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【解析】 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，函数的图象过点P(0,1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在，上单调递增．故选BD.
13．(多选)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)在上的最小值为－
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为
D．g(x)在上的最大值为1
【解析】 f(x)左移个单位，得到函数g(x)＝sin 2，即g(x)＝sin，当0≤x≤时，≤2x＋≤，故－≤sin≤1，当2x＋＝，x＝时g(x)max＝1，当2x＋＝，x＝时g(x)min＝－.故选AD.
14．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝ － .
【解析】 由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A>0，ω>0)．由△EFG是边长为2的等边三角形，可得A＝，周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sin x，∴f(1)＝－.
C组·拓展提升
15．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为 ②④ .
【解析】 ∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
【解析】 (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．
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