(共36张PPT)
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
新课程标准解读 学科核心素养
了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 直观想象
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 数学建模、数学运算
教材梳理 明要点
“天津之眼”摩天轮直径为110米，轮外装挂48个360度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384个人观光，旋转一周所需时间为28分钟，顶点高度为119．8米．
乘客登上摩天轮后，在旋转过程中他距离地面的高度与时间有怎样的关系呢？
?情境导入
[提示]
可将其抽象为一个数学问题，建立三角函数模型来解决．
知识点 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
?新知初探
?预习自测
题型探究 提技能
A．2π s B．π s
C．0．5 s D．1 s
题型一
三角函数模型在物理中的应用
１
１
7
2．如图，一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？
题型二
建立三角函数模型解决实际问题
2
[方法总结2]
解三角函数应用问题的基本步骤
2
如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
3．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
题型三
三角函数模型的拟合问题
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1．5 1．0 0．5 1．0 1．5 1．0 0．5 0．99 1．5
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
3
[方法总结3]
处理数据拟合和预测问题的步骤
1．根据原始数据，绘出散点图．
2．通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行
3
下表所示的是某地2001～2022年的月平均气温(华氏度)．
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21．4 26．0 36．0 48．8 59．1 68．6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73．0 71．9 64．7 53．5 39．8 27．7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
【解析】 (1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如右图所示．
∴T＝12．
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，
∴A＝25．8．
随堂检测 重反馈
【解析】 由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8．故选C．
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b．
(1)这一天的最大用电量为______万度，最小用电量为______万度；
(2)这段曲线的函数解析式为_______________________________．
50
30第五章 5.7
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
【解析】 当t＝ s时，s1＝5·sin＝5·sin ＝－5.s2＝10·cos ＝－5，所以s1＝s2.故选C.
2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】 利用三角函数周期性的变化判断可知，选D.
3．某商品一年内每件出厂价在5万元基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7万元，7月份达到最低价3万元，根据以上条件可以确定f(x)解析式是( )
A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
【解析】 由题意A＝＝2，＝7－3＝4，T＝8，ω＝＝，∴f(x)＝2sin＋5，由x＝3时，f(x)最大，得×3＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋5.故选D.
4．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
【解析】 由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0.故选AD.
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
【解析】 由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．故选D.
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 20.5 ℃.
【解析】 由题意得y＝23＋5cos，当x＝10时y＝20.5.
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间t(s)，纵轴表示振动的位移y(cm)，则这个简谐振动的振幅是 2 ，周期是 0.8 .
【解析】 由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以振幅是2，周期是0.8.
8.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 y＝4sin(x≥0)(答案不唯一) .
【解析】 不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．由题知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(x≥0)．
9．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？
【解析】 (1)由题图知A＝，T＝2×＝，
∴ω＝＝，
所以I＝sin，
又是该函数图象的第二零点，
∴×＋φ＝π，即φ＝，符合|φ|<，
∴I＝sin.
(2)不能．因为由(1)有T＝>，所以不可能．
10.如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
【解析】 (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故B点坐标为.
所以h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.
所以h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，
所以tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
B组·综合运用
11．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
【解析】 令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin ＝，∴d＝2sin ＝2sin ，即d＝f(l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C.
12．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周时用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
【解析】 由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝.由题意可知，当t＝0时，y＝－3得－3＝6sin φ.∵|φ|<，∴φ＝－，故A正确；f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，故C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，故D正确．故选C.
13．(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( )
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
【解析】 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点(14,30)，∴30＝10sin＋20，∴sin＝1，∴φ可以取，∴y＝10sin＋20(0≤x≤24)，B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错．综上，AB正确．
14．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 h＝－6sin t .
C组·拓展提升
15．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为 y＝4sin，t∈[0，＋∞)(答案不唯一) .
【解析】 设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin，将(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，从而可知y＝4sin，t∈[0，＋∞)．
16．已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
【解析】 (1)由函数解析式易知，当x＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃，当x＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(h)．
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